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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版算法、推理与证明、复数学案

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考向一 复数 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1.【复数的除法运算】【2017课标II改编】 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由复数除法的运算法则有 .‎ ‎2. 【复数的概念、复数的运算】【2017山东,改编】已知,i是虚数单位,若,则a= .‎ ‎【答案】1或-1‎ ‎【解析】由得,所以.‎ ‎3.【复数的几何意义】【2017课标3,改编】复平面内表示复数的点位于 .‎ ‎【答案】第三象限 ‎【解析】由题意 ,在第三象限. 所以填第三象限.‎ ‎4.【复数的运算、复数的模】【2016新课标改编】设其中,实数,则( )‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为所以.‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 近五年对复数考查的重点内容有 复数的基本概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算,考查的热点是复数的乘除运算.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】若复数满足,则的共轭复数的虚部是( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【趁热打铁】知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 因为,选B.[ 学 ]‎ ‎【例2】【2018届河北省武邑中学高三上学期第五次调研】已知为虚数单位, 为复数的共轭复数,若,则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限[ 学 ]‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,由,得,即,则,即在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.‎ ‎【趁热打铁】设是实数,若复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上,则的值为( )‎ A. B.0 C.1 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,对应的点,因此,得 ‎,故答案为B.‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.利用复数的四则运算求复数的一般思路 ‎ ‎(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可.‎ ‎(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.‎ ‎(3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.‎ ‎2. 判断复数对应的点在复平面内的位置的方法 首先将复数化成a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号 确定点所在的象限.‎ ‎3.(1)与共轭复数有关的问题一般都要先设出复数的代数形式,再用待定系数法解决.‎ ‎(2)与复数的概念有关的问题,一般是先化简,把复数的非代数形式化为代数形式.‎ ‎(3)熟记复数的四则运算法则及一些运算结果,有助于提高运算速度,如 ,.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】已知,映射的实部,则的像为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【规范解答】由题意得 的实部,因此的像为,选C.‎ ‎【反思提高】1.复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.‎ ‎2.复数的代数运算多用于次数较低的运算,但应用i、ω的性质可简化运算.注意下面结论的灵活运用 (1)(1±i)2=±2i;(2)=i,=-i;(3)ω2+ω+1=0,ω3=1,其中ω=-±i.(4)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).‎ ‎3.注意利用共轭复数的性质,将 转化为,即复数的模的运算,常能使解题简捷.‎ ‎【误区警示】‎ 在进行复数的运算时,不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中 ,如下面的结论,‎ 当 ∈C时,不是总成立的 (1)( m)n= mn(m,n为分数);(2)若 m= n,则m=n( ≠1);(3)若 + =0,则 1= 2=0.‎ 考向二 算法 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1.【循环结构,输出、输入问题】【2017课标3,改编】执行右图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( )‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎2.【循环结构,条件补全】【2017课标1,文10】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )‎ A.A>1 000和n=n+1‎ B.A>1 000和n=n+2‎ C.A1 000和n=n+1‎ D.A1 000和n=n+2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 程序框图是高考命题的高频考点,高考对程序框图的考查经常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题.以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全是高考的热点,题目多以选择题、填空题的形式出现,中等难度. 预测2018年考查的主要题目类型重点是 程序框图的执行问题;程序框图的补全问题.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】按照如图的程序框图执行,若输出结果为31,则处条件可以是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知,,,,,,,符合条件输出,故选C.‎ ‎【趁热打铁】若下图,给出的是计算 值的程序框图,其中判断框内可填入的条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎[ 学 ]‎ ‎…‎ 依此类推,第1008次循环 i=2016,S=,‎ i=2018,不满足条件,退出循环,输出s的值,‎ 所以i≤2017或i<2017.‎ 故答案为 C.‎ ‎【例2】【2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(一)】‎ 已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的实数的值为( )‎ A. -3 B. -3或9 C. 3或-9 D. -9或-3‎ ‎【答案】B ‎【趁热打铁】执行如图所示的程序框图,输出的 值是 ( )‎ A. 4 B. 5 C. 6 D.7‎ ‎ 【答案】B ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.执行循环结构 首先,要分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体;其次,注意控制循环的变量是什么,何时退出循环;最后,要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的. ‎ ‎2.解答补全问题时,首先,根据输出的结果,计算出需要循环的次数;然后,计算出最后一次循环变量对应的数值;最后,通过比较得出结论.特别要注意对问题的转化,问题与框图的表示的相互转化.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】某程序框图如图所示,若使输出的结果不大于 37,‎ 则输入的整数i的最大值为( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【规范解答】这是一个循环结构,循环的结果依次为 ‎ ‎.所以i的最大值为 ‎【反思提高】1.解答有关程序框图的问题,要读懂程序框图,熟练掌握程序框图的三种基本结构.注意逐步执行,并且将每一次执行的结果都写出 ,要注意在哪一步结束循环以防止运行程序不彻底.循环结构常常用在一些有规律的 学计算中,如累加求和、累乘求积、多次输入等.‎ ‎2.程序框图中只要有了循环结构,就一定会涉及条件结构和顺序结构.对于循环结构,要注意当型与直到型的区别,搞清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键.‎ ‎【误区警示】‎ 算法初步问题,往往比较简单,正答率较高,出现的问题往往有执行程序不完整、计算错误等,本题中不能正确的依次计算,而出现误选.‎ 考向三 推理与证明 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1.【合情推理】【2017课标II,理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说 你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩。根据以上信息,则( )‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎2.【归纳推理】【2016高考山东文数】观察下列等式 ‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎……‎ 照此规律,_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 通过类比,可以发现,最前面的数字是,接下 是和项数有关的两项的乘积,即,故答案为.‎ ‎3.【等差数列、数列的求和、不等式证明】【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设,求证 是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设 ,求证 ‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 ‎【解析】‎ ‎(I)证明 由题意得,有,因此,所以是等差数列.‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 推理问题是高考的重点考查内容,高考对推理问题的考查主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题.近年 也出现了以实际生活为背景的合情推理问题.预测2018年考查通过与数列、立体几何、解析几何等结合在一起的归纳推理、类比推理问题.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2018届北京市东城区高三第一学期期末】在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系 同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和.丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为( )‎ A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙 ‎【答案】A ‎【解析】因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和,甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和,所以乙的阅读量大于丙的阅读量,甲的阅读量大于丁的阅读量,因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和,所以丁的阅读量大于乙阅读量且丁的阅读量大于丙的阅读量,这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙,故选A. ‎ ‎【趁热打铁】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时,‎ ‎ 甲说 我去过的城市比乙多,但没去过城市;‎ ‎ 乙说 我没去过城市.‎ ‎ 丙说 我们三个去过同一城市.‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为__________‎ ‎【答案】A ‎【解析】由丙说可知,乙至少去过A,B,C中的一个城市,由甲说可知,甲去过A, C且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市,且没去过C城市,故乙只去过A城市.‎ ‎【例2】如图是 格工作者经常用 解释 络运作的蛇形模型 数字出现在第行;数字出现在第行,数字(从左至右) 出现在第行; 数字出现在第行,依此类推,则第行从左到右第个数字为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】前行共有第行最左端的数为第行从左到右第个数字为.‎ ‎【趁热打铁】观察下列式子 ,,,…,根据上述规律,第个不等式应该为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由归纳推理易知,答案为。‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.运用归纳推理得出一般结论时,要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进行综合分析,归纳发现其一般结论.‎ ‎2.若已给出的式子较少,规律不明显,则可多写出几个式子,从中发现一般结论.‎ ‎3.进行类比推理时,首先要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.‎ ‎4.归纳推理的关键是找规律,类比推理的关键是看共性.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明 对任意,都有,使得成等比数列.‎ ‎【反思提高】‎ ‎1.区分两种合情推理的思维过程 ‎ ‎(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,归纳推理的思维过程 ‎ 实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 ‎(2)类比推理的思维过程 ‎ 实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比.主要有以下两点 (1)找两类对象的对应元素,如 三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;(2)找对应元素的对应关系,如 两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.‎ ‎2.一般地,对于结论是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的数学问题,或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题,宜考虑用反证法,这体现了“正难则反”的思想,用反证法解题时,推导出矛盾是关键一步,途径很多,可以与已知矛盾,与假设矛盾、与已知事实相违背等,但推导出的矛盾必须是明显的.‎ ‎【误区警示】‎ ‎1.归纳推理的前提是一些特殊的情况,所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行;归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象,因此所得结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是或然的,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的.归纳推理的一般过程 ‎ ‎(1)通过观察个别情况,发现相同的性质;‎ ‎(2)推出一个明确表述的一般性结论.‎ ‎2.在数学中,类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段,并且应用广泛,数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想,然后再加以证明的.进行类比推理,重要的是要找准合适的类比对象,如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积;同时还要注意不仅可进行形式的类比,还可进行方法的类比.类比推理的一般步骤 ‎ ‎(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;‎ ‎(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想),但结论不一定正确,有待进一步证明.‎