【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-7正弦定理与余弦定理学案 16页

第7讲　正弦定理与余弦定理 ‎1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R ‎(R为△ABC外接圆半径)‎ a2＝b2＋c2－2bccos__A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos__B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos__C 变形形式 a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，‎ c＝2Rsin__C；‎ sin A＝，sin B＝，‎ sin C＝；‎ a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；‎ ＝ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形中常用的面积公式 ‎(1)S＝ah(h表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝bcsin A＝acsin__B＝absin C；‎ ‎(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(　　)‎ ‎(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)‎ ‎(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.(　　)‎ ‎(4)在△ABC中，a2＋b20，cos B＝.又00，则cos B＝，故a＝5.‎ ‎(2)由(1)知，sin B＝，由S＝acsin B＝9，得c＝6.‎ 由b2＝a2＋c2－2accos B＝13，得b＝.‎ 故△ABC的周长为11＋.‎ ‎1．(2018·长沙市统一模拟考试)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为(　　)‎ A．6sin＋3 B．6sin＋3‎ C．2sin＋3 D．2sin＋3‎ 解析：选C.设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin，于是△ABC的周长为2[sin A＋sin]＋3＝2sin＋3.选C.‎ ‎2．(2018·安徽江南十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.‎ 由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.‎ 所以S1＝absin C＝···c2·sin C ‎＝sin A·sin B·sin C·，‎ S2＝πR2＝·，‎ 所以＝＝＝，故选D.‎ ‎3．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．‎ 解析：在△ABD中，设BD＝x，则 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，‎ 即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°，‎ 整理得x2－10x－96＝0，‎ 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．‎ 在△BCD中，由正弦定理：＝，所以BC＝·sin 30°＝8.‎ 答案：8 ‎4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为________．‎ 解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝ ‎，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.‎ 答案：3‎ ‎5.(2018·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.‎ ‎(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；‎ ‎(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．‎ 解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°，‎ 在△ABC中，＝⇒BC＝5.‎ 因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，‎ 在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.‎ 在△BCD中，CD＝＝5.‎ ‎(2)AC＋AB>BC＝10，‎ cos 60°＝⇒(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，‎ 而AB·AC≤，‎ 所以≤，‎ 解得AB＋AC≤20，‎ 故AB＋AC的取值范围为(10，20]．‎ ‎6．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsin A＋4sin C＝4csin A.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为，b＋c＝4，判断△ABC的形状，并说明理由．‎ 解：(1)由正弦定理可知，sin A＝，sin C＝，‎ 则acsin A＋4sin C＝4csin A⇔a2c＋4c＝4ac，‎ 因为c≠0，所以a2c＋4c＝4ca⇔a2＋4＝4a⇔(a－2)2＝0，可得a＝2.‎ ‎(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，‎ 所以S△OBC＝BC·OD.‎ 又因为S△OBC＝，BC＝2，‎ 所以OD＝，‎ 在Rt△BOD中，tan∠BOD＝＝＝＝，‎ 又0°<∠BOD<180°，所以∠BOD＝60°，‎ 所以∠BOC＝2∠BOD＝120°，‎ 因为O在△ABC内部，‎ 所以∠A＝∠BOC＝60°，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A.‎ 所以4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又b＋c＝4，‎ 所以bc＝4，所以b＝c＝2，‎ 所以△ABC为等边三角形．‎