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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:10

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www.ks5u.com ‎10.2 复数的运算 ‎10.2.1 复数的加法与减法 ‎[课程目标] 1.能利用复数的代数形式进行加法、减法运算;2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ 知识点一  复数的加法 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数的加法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.‎ ‎(2)复数加法的交换律与结合律:对任意复数z1,z2,z3,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).‎ ‎[答一答]‎ ‎1.怎样应用复数的加法法则进行运算?‎ 提示:(1)复数加法法则规定:实部与实部相加,虚部与虚部相加.很明显,两个复数的和仍然是一个复数.复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.‎ ‎(2)在这个规定中,当b=d=0时,与实数的加法法则一致.‎ 知识点二  复数加法的几何意义 ‎[填一填]‎ 如果复数z1,z2所对应的向量分别为与,则当与不共线时,以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则z1+z2所对应的向量就是,如图所示.‎ 由复数加法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.‎ 知识点三  复数的减法 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2).‎ ‎(2)如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.‎ ‎[答一答]‎ ‎2.怎样应用复数的减法法则进行运算?‎ 提示:(1)两个复数相减,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.‎ ‎(2)两个复数的差仍是复数.‎ ‎(3)复数的减法运算法则可以推广到多个复数相减的情形,即若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,…,zn=an+bni,则z1-z2-…-zn=(a1-a2-…-an)+(b1-b2-…-bn)i(ai,bi∈R,i=1,2,3,…,n).‎ 知识点四  复数减法的几何意义 ‎[填一填]‎ 如果复数z1,z2所对应的向量分别为与,设点Z满足=,则z1-z2所对应的向量就是,如图所示.‎ 由复数减法的几何意义可以得出 ‎||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.‎ ‎1.复数的加减运算.‎ ‎(1)若有括号,括号优先;若无括号,可从左到右依次进行;‎ ‎(2)算式中出现字母时,首先确定其是否为实数,再提取各复数的实部与虚部,将它们分别相加减.‎ ‎2.复平面内两点间距离公式的复数表示.‎ 复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|.‎ 其中z1、z2是复平面内的两点Z1、Z2所对应的复数,d表示Z1和Z2之间的距离.‎ 类型一  复数的加减运算 ‎[例1] 计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);‎ ‎(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];‎ ‎(3)(a+bi)-(‎2a-3bi)-3i(a,b∈R).‎ ‎[分析] 利用复数加减运算的法则计算.‎ ‎[解] (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.‎ ‎(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.‎ ‎(3)(a+bi)-(‎2a-3bi)-3i=(a-‎2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i(a,b∈R).‎ ‎[变式训练1] (1)已知i是虚数单位,复数z=(4+i)+(-3-2i)的虚部是( C )‎ A.1            B. C.-1 D.-i 解析:z=(4+i)+(-3-2i)=(4-3)+(1-2)i=1-i.故复数z的虚部为-1.‎ ‎(2)已知复数z1=7-6i,z2=4-7i,则z1-z2=( A )‎ A.3+i B.3-i C.11-13i D.3-13i 解析:z1-z2=(7-6i)-(4-7i)=(7-4)+[-6-(-7)]i=3+i.‎ 类型二  复数加减运算的几何意义 ‎[例2] 如图所示,已知平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,试求:‎ ‎(1)所表示的复数,所表示的复数;‎ ‎(2)对角线所表示的复数;‎ ‎(3)对角线所表示的复数及的长度.‎ ‎[分析] 要求某个向量所对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出所求的结论.‎ ‎[解] (1)∵=-,∴所表示的复数为-3-2i.‎ ‎∵=,∴所表示的复数为-3-2i.‎ ‎(2)∵=-,‎ ‎∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.‎ ‎(3)∵对角线=+,‎ ‎∴它所对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,‎ ‎∴||==.‎ ‎1.正确理解复数与向量的一一对应关系,可将复数问题转化为向量问题.‎ ‎2.求复数,可先求对应的向量,利用数形结合思想得出数量关系.‎ ‎[变式训练2] 已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i,4-4i,2+6i.求第四个顶点对应的复数.‎ 解:如图,设这个平行四边形已知的三个顶点分别为Z1,Z2,Z3,它们对应的复数分别是z1=2i,z2=4-4i,z3=2+6i,第四个顶点所对应的复数为z4,则 ‎①当这个平行四边形是以和为一组邻边时,有=+,‎ ‎∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),‎ 即z4=(z2+z3)-z1=6.‎ ‎②当这个平行四边形是以和为一组邻边时,有=+.∴z4-z2=(z1-z2)+(z3-z2).‎ ‎∴z4=(z1+z3)-z2=-2+12i.‎ ‎③当这个平行四边形是以和为一组邻边时,有=+.∴z4-z3=(z1-z3)+(z2-z3).‎ ‎∴z4=(z1+z2)-z3=2-8i.‎ 综上所述,这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或-2+12i或2-8i.‎ 类型三  复数加减法的几何意义的应用 ‎[例3] 已知复数z1=2-2i.‎ ‎(1)求|z1|;‎ ‎(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.‎ ‎[分析] (1)|z|=1的几何意义是什么?(到原点的距离等于1的点)(2)|z-z1|的几何意义是什么?(z对应的点Z与z1对应的点Z1间的距离)‎ ‎[解] (1)由于z1=2-2i,所以|z1|=2.‎ ‎(2)如图,|z|=1可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1在坐标系中的对应点为Z1(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点Z1(2,-2)到圆上点的距离的最大值.由图可知,|z-z1|max=2+1.‎ ‎[变式训练3] 已知|z|=2,求|z+1+i|的最大值和最小值.‎ 解:方法一:设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2知x2+y2=4,故z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,‎ ‎∴|z+1+i|表示圆上的点到点(-1,-)的距离.‎ 又∵点(-1,-)在圆x2+y2=4上,‎ ‎∴圆上的点到点(-1,-)的距离的最小值为0,最大值为圆的直径4,‎ 即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.‎ 方法二:由已知,得复数z的对应的点在复平面内,以原点为圆心,半径为2的圆上,设ω=1+i+z,‎ 所以z=ω-1-i.‎ 所以|z|=|ω-(1+i)|=2,‎ 所以复数ω对应的点在复平面内,以(1,)为圆心,半径为2的圆上,此时圆上的点A对应的复数ωA的模有最大值,圆上的点B对应的复数ωB的模有最小值,如图,故|1+i+z|max=4,|1+i+z|min=0.‎ ‎1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=( B )‎ A.8i B.6‎ C.6+8i D.6-8i 解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6.‎ ‎2.复数z=(5+2i)-(2-i),则|z|=( B )‎ A.5 B.3 C.18 D.25‎ 解析:依题意z=5-2+(2+1)i=3+3i,‎ 所以|z|==3.故选B.‎ ‎3.已知复数z1=1+3i,z2=3+i(i为虚数单位).在复平面内,z1-z2对应的点在( B )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵z1=1+3i,z2=3+i,∴z1-z2=-2+2i,故z1-z2在复平面内对应的点(-2,2)在第二象限.‎ ‎4.如图,在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-‎2a+3i,zC=-b+ai,a,b∈R,则a-b的值为-4‎ ‎.‎ 解析:由复数加法的几何意义,=+,‎ ‎∴-‎2a+3i=(2+i)+(-b+ai),‎ 即-‎2a+3i=(2-b)+ai.‎ 根据复数相等的充要条件,得解得 ‎∴a-b=-4.‎