2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10 9页

www.ks5u.com ‎10．2　复数的运算 ‎10．2.1　复数的加法与减法 ‎[课程目标] 1.能利用复数的代数形式进行加法、减法运算；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．‎ 知识点一　　复数的加法 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数的加法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.‎ ‎(2)复数加法的交换律与结合律：对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．怎样应用复数的加法法则进行运算？‎ 提示：(1)复数加法法则规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个复数．复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．‎ ‎(2)在这个规定中，当b＝d＝0时，与实数的加法法则一致．‎ 知识点二　　复数加法的几何意义 ‎[填一填]‎ 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是，如图所示．‎ 由复数加法的几何意义可以得出||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.‎ 知识点三　　复数的减法 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi.复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2)．‎ ‎(2)如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.‎ ‎[答一答]‎ ‎2．怎样应用复数的减法法则进行运算？‎ 提示：(1)两个复数相减，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减．‎ ‎(2)两个复数的差仍是复数．‎ ‎(3)复数的减法运算法则可以推广到多个复数相减的情形，即若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1－z2－…－zn＝(a1－a2－…－an)＋(b1－b2－…－bn)i(ai，bi∈R，i＝1,2,3，…，n)．‎ 知识点四　　复数减法的几何意义 ‎[填一填]‎ 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是，如图所示．‎ 由复数减法的几何意义可以得出 ‎||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.‎ ‎1．复数的加减运算．‎ ‎(1)若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行；‎ ‎(2)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．‎ ‎2．复平面内两点间距离公式的复数表示．‎ 复平面内两点间的距离公式d＝|z1－z2|.‎ 其中z1、z2是复平面内的两点Z1、Z2所对应的复数，d表示Z1和Z2之间的距离．‎ 类型一　　复数的加减运算 ‎[例1]　计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；‎ ‎(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；‎ ‎(3)(a＋bi)－(‎2a－3bi)－3i(a，b∈R)．‎ ‎[分析]　利用复数加减运算的法则计算．‎ ‎[解]　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.‎ ‎(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.‎ ‎(3)(a＋bi)－(‎2a－3bi)－3i＝(a－‎2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知i是虚数单位，复数z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虚部是(　C　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B. C．－1 D．－i 解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.故复数z的虚部为－1.‎ ‎(2)已知复数z1＝7－6i，z2＝4－7i，则z1－z2＝(　A　)‎ A．3＋i B．3－i C．11－13i D．3－13i 解析：z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i.‎ 类型二　　复数加减运算的几何意义 ‎[例2]　如图所示，已知平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎(1)所表示的复数，所表示的复数；‎ ‎(2)对角线所表示的复数；‎ ‎(3)对角线所表示的复数及的长度．‎ ‎[分析]　要求某个向量所对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出所求的结论．‎ ‎[解]　(1)∵＝－，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎(2)∵＝－，‎ ‎∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎(3)∵对角线＝＋，‎ ‎∴它所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，‎ ‎∴||＝＝.‎ ‎1.正确理解复数与向量的一一对应关系，可将复数问题转化为向量问题.‎ ‎2.求复数，可先求对应的向量，利用数形结合思想得出数量关系.‎ ‎[变式训练2]　已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i,4－4i,2＋6i.求第四个顶点对应的复数．‎ 解：如图，设这个平行四边形已知的三个顶点分别为Z1，Z2，Z3，它们对应的复数分别是z1＝2i，z2＝4－4i，z3＝2＋6i，第四个顶点所对应的复数为z4，则 ‎①当这个平行四边形是以和为一组邻边时，有＝＋，‎ ‎∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，‎ 即z4＝(z2＋z3)－z1＝6.‎ ‎②当这个平行四边形是以和为一组邻边时，有＝＋.∴z4－z2＝(z1－z2)＋(z3－z2)．‎ ‎∴z4＝(z1＋z3)－z2＝－2＋12i.‎ ‎③当这个平行四边形是以和为一组邻边时，有＝＋.∴z4－z3＝(z1－z3)＋(z2－z3)．‎ ‎∴z4＝(z1＋z2)－z3＝2－8i.‎ 综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或－2＋12i或2－8i.‎ 类型三　　复数加减法的几何意义的应用 ‎[例3]　已知复数z1＝2－2i.‎ ‎(1)求|z1|；‎ ‎(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．‎ ‎[分析]　(1)|z|＝1的几何意义是什么？(到原点的距离等于1的点)(2)|z－z1|的几何意义是什么？(z对应的点Z与z1对应的点Z1间的距离)‎ ‎[解]　(1)由于z1＝2－2i，所以|z1|＝2.‎ ‎(2)如图，|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1在坐标系中的对应点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点Z1(2，－2)到圆上点的距离的最大值．由图可知，|z－z1|max＝2＋1.‎ ‎[变式训练3]　已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．‎ 解：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，‎ ‎∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．‎ 又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，‎ ‎∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，‎ 即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.‎ 方法二：由已知，得复数z的对应的点在复平面内，以原点为圆心，半径为2的圆上，设ω＝1＋i＋z，‎ 所以z＝ω－1－i.‎ 所以|z|＝|ω－(1＋i)|＝2，‎ 所以复数ω对应的点在复平面内，以(1，)为圆心，半径为2的圆上，此时圆上的点A对应的复数ωA的模有最大值，圆上的点B对应的复数ωB的模有最小值，如图，故|1＋i＋z|max＝4，|1＋i＋z|min＝0.‎ ‎1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　B　)‎ A．8i B．6‎ C．6＋8i D．6－8i 解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.‎ ‎2．复数z＝(5＋2i)－(2－i)，则|z|＝(　B　)‎ A．5 B．3 C．18 D．25‎ 解析：依题意z＝5－2＋(2＋1)i＝3＋3i，‎ 所以|z|＝＝3.故选B.‎ ‎3．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在(　B　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．‎ ‎4．如图，在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－‎2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b的值为－4‎ ‎.‎ 解析：由复数加法的几何意义，＝＋，‎ ‎∴－‎2a＋3i＝(2＋i)＋(－b＋ai)，‎ 即－‎2a＋3i＝(2－b)＋ai.‎ 根据复数相等的充要条件，得解得 ‎∴a－b＝－4.‎