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- 2021-06-16 发布
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高中数学选修 4-4 全套教案
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课题:1、平面直角坐标系
教学目的:
知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
能力与与方法:体会坐标系的作用
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:体会直角坐标系的作用
教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境 1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安
全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位
置机器运动的轨迹。
情境 2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看
台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景
图案,需要缺点不同的画布所在的位置。
问题 1:如何刻画一个几何图形的位置?
问题 2:如何创建坐标系?
二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定
2、平面直角坐标系
在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条
直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对
(x,y)确定
3、空间直角坐标系
在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,
并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点 P
都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定
三、讲解新课:
1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足:
任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例 1 选择适当的平面直角坐标系,表示边长为 1 的正六边形的顶点。
*变式训练
如何通过它们到点 O 的距离以及它们相对于点 O 的方位来刻画,即用”距离和方向”
确定点的位置?
例 2 已知 B 村位于 A 村的正西方 1 公里处,原计划经过 B 村沿着北偏东 60 0 的方向设一
条地下管线 m.但在 A 村的西北方向 400 米出,发现一古代文物遗址 W.根据初步勘探的结
果,文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区.试问:埋设地下管线 m 的计划需要
修改吗?
*变式训练
1.一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、B 两地相距
800 米,并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程
2.在面积为 1 的 PMN 中, 2tan,2
1tan MNPPMN ,建立适当的坐标系,
求以 M,N 为焦点并过点 P 的椭圆方程
例 3 已知 Q(a,b),分别按下列条件求出 P 的坐标
(1)P 是点 Q 关于点 M(m,n)的对称点
(2)P 是点 Q 关于直线 l:x-y+4=0 的对称点(Q 不在直线 1 上)
*变式训练
用两种以上的方法证明:三角形的三条高线交于一点。
思考
通过平面变换可以把曲线 14
)1(
9
)1( 22
yx 变为中心在原点的单位圆,请求出该复合
变换?
四、巩固与练习
五、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立直角坐标系;
2.建标法的基本步骤;
3.什么时候需要建标。
五、课后作业:课本 P14 页 1,2,3,4
六、课后反思:
建标法,学生学习有印象,但没有主动建标的意识,说明学生数学学习缺乏系统性,
需要加强训练。
课题:2、平面直角坐标系中的伸缩变换
教学目标:
知识与技能:平面直角坐标系中的坐标变换
过程与方法:体会坐标变换的作用
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识
教学重点:理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换
教学难点:会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题
授课类型:新授课
教学措施与方法:启发、诱导发现教学.
教学过程:
一、阅读教材 P4—P8
问题探究 1:怎样由正弦曲线 siny x 得到曲线 sin 2y x ?
思考:“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么?
问题探究 2:怎样由正弦曲线 siny x 得到曲线 3siny x ?
思考:“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的 3 倍”的实质是什么?
问题探究 3:怎样由正弦曲线 siny x 得到曲线 3sin 2y x ?
二、新课讲解:
定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换
的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换
注 (1)
(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;
(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例 1、在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
'
'
2
3
x x
y y
后的图形。
(1)2x+3y=0; (2) 2 2 1x y
例 2、在同一平面坐标系中,经过伸缩变换
yy
xx ,3 后,曲线 C 变为曲线 99 22 yx ,
求曲线 C 的方程并画出图象。
三、知识应用:
1、已知 xxfxxf sin)(,sin)( 21 ( )0 )(2 xf 的图象可以看作把 )(1 xf 的图象在其所
' ( 0): ' ( 0)
x x
y y
0, 0
在的坐标系中的横坐标压缩到原来的
3
1 倍(纵坐标不变)而得到的,则 为( )
A.
2
1 B .2 C.3 D. 3
1
2、在同一直角坐标系中,经过伸缩变换
yy
xx
3
5 后,曲线 C 变为曲线 2 22 8 1,x y 则
曲线 C 的方程为( )
A. 2 225 36 1x y B. 2 29 100 1x y C. 2 210 24 1x y D. 2 22 8 125 9x y
3、在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
yy
xx
3
1
2
1
后的图形。
(1) ;025 yx
(2) 122 yx 。
四、知识归纳:设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
),0(,
),0(,:
yy
xx 的作用下,点 P(x,y)对应到点 ),( yxP ,称 为平面直角坐标系
中的坐标伸缩变换
五、作业布置:
1、抛物线 2 4y x 经过伸缩变换
1
4
1
3
x x
y y
后得到
2、把圆 2 2 16x y 变成椭圆
2
2 116
yx 的伸缩变换为
3、在同一坐标系中将直线3 2 1x y 变成直线 ' '2 2x y 的伸缩变换为
4、把曲线 3sin 2y x 的图象经过伸缩变换
1
2
4
x x
y y
得到的图象所对应的方程为
5、在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换
2
1
2
x x
y y
后,曲线 C 变为 2 216 4 0x y x ,
则曲线 C 的方程
六、反思:
二 极坐标系
课题:1、极坐标系的的概念
教学目的:
知识目标:理解极坐标的概念
能力目标:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐
标系中刻画点的位置的区别.
德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:理解极坐标的意义
教学难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引
爆?
情境 2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处。
(1)他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该位
置惟一确定吗?
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描
述?
问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎
样的坐标系呢?
问题 2:如何刻画这些点的位置?
这一思考,能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况下用距离与角度来刻画
点的位置的方便性,为引入极坐标提供思维基础.
二、讲解新课:
从情镜 2 中探索出:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用
方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立:
在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计算角度
的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。
(其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。)
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M,用 表示线段 OM 的长度,
用 表示从 OX 到 OM 的角度, 叫做点 M 的极径,
叫做点 M 的极角,有序数对(,)就叫做 M 的极坐标。
特别强调:由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围
是[0,2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)建立
一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中,极径允许取负值,极角也可以去任意的正角或负角
当<0 时,点 M (,)位于极角终边的反向延长线上,且 OM= 。
M (,)也可以表示为 ))12(,()2,( kk 或 )( zk
4、数学应用
例 1 写出下图中各点的极坐标(见教材 14 页)
A(4,0)B(2 )C( )
D( )E( )F( )
G( )
1 平面上一点的极坐标是否唯一?
2 若不唯一,那有多少种表示方法?
③坐标不唯一是由谁引起的?
3 不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定:极点的极坐标是 =0, 可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A(3,0) B(6,2 )C(3,
2
)D(5,
3
4 )E(3,
6
5 )F(4, )G(6,
3
5
点的极坐标的表达式的研究
例 2 在极坐标系中,(1)已知两点 P(5,
4
5 ),Q )4,1( ,求线段 PQ 的长度;
(2)已知 M 的极坐标为(,)且= 3
, R ,说明满足上述条件的点 M 的位置。
变式训练
1、若 ABC 的的三个顶点为 .),6
7,3(),6
5,8(),2
5,5( 判断三角形的形状 CBA
2、若 A、B 两点的极坐标为 ),(),,( 2211 求 AB 的长以及 AOB 的面积。(O 为极点)
例 3 已知 Q(,),分别按下列条件求出点 P 的极坐标。
(1) P 是点 Q 关于极点 O 的对称点;
(2) P 是点 Q 关于直线
2
的对称点;
(3) P 是点 Q 关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点 )6,8( 关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
)6,8(),6
5,8(),6
5,8(),6,8( DCBA
2 在极坐标系中,如果等边 ABC 的两个顶点是 ),4
5,2(),4,2( BA 求第三个顶点 C 的坐标。
三、巩固与练习
四、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立极坐标系。 2.极坐标系的基本
要素是:极点、极轴、极角和度单位。3.极坐标中的点与坐标的对应关系。
五、课后作业:
六.课后反思:本节学习内容对学生来说是全新的,因而学生学习的兴趣很浓,课堂气
氛很好。部分学生还未能转换思维,感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。
课题:2、极坐标与直角坐标的互化
教学目的:
知识目标:掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标:会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点:互化关系式的掌握
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境 1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境 2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题 1:如何进行极坐标与直角坐标的互化?
问题 2:平面内的一个点的直角坐标是 )3,1( ,这个点如何用极坐标表示?
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置,标出极径和极角,借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课:
直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度
单位。平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 ),( yx 和 ),( ,则由三角函数的定
义可以得到如下两组公式:
{
sin
cos
y
x {
x
y
yx
tan
222
说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2 通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取 ≥
0,0 ≤ ≤ 2 。
3 互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三.举例应用:
例 1.(1)把点 M 的极坐标 )3
2,8( 化成直角坐标
(2)把点 P 的直角坐标 )2,6( 化成极坐标
变式训练
在极坐标系中,已知 ),6,2(),6,2( BA 求 A,B 两点的距离
例 2.若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系.
(1)已知 A 的极坐标 ),3
5,4( 求它的直角坐标,
(2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为 )15,0()2,2( 和
求它们的极坐标. ( >0,0≤ <2 )
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定 >0,0≤ < 2 )
)4,3(),4,3(),2,0(),1,1( DCBA
例 3.在极坐标系中,已知两点 )3
2,6(),6,6( BA .
求 A,B 中点的极坐标.
变式训练
在极坐标系中,已知三点 )6,32(),0,2(),3,2( PNM .判断 PNM ,, 三点是否在一条直线
上.
四、巩固与练习:课后练习
五、小 结:本节课学习了以下内容:
1.极坐标与直角坐标互换的前提条件;
2.互换的公式;
3.互换的基本方法。
五、课后作业:
六、课后反思:在教师的引导下,学生能积极应对互化的原因、方法,也能较好地模仿
操作,但让学生独立自主完成新的问题的解答,明显有困难,需要教师的点拨引导。这
点可采取的措施是:小组讨论,共同寻找解决问题的方法,很有效。但教学时间不足。
三 简单曲线的极坐标方程
课 题: 1、圆的极坐标方程
教学目标:
1、掌握极坐标方程的意义
2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程
教学重点、极坐标方程的意义
教学难点:极坐标方程的意义
教学方法:启发诱导,讲练结合。
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用?
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程
极坐标系的建立是否可以求曲线方程?
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置?
2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义
3、求曲线方程的步骤
4、极坐标与直角坐标的互化关系式:
二、讲解新课:
1、引例.如图,在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点,
的极坐标(,)满足的条件?
解:设 M (,)是圆上 O、A 以外的任意一点,连接 AM,
则有:OM=OAcosθ,即:ρ=2acosθ ①,
2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗?
可以验证点 O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式.
等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.
反之,适合等式①的点都在这个圆上.
3、定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),( f 的点
在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个
极坐标方程的曲线。
例 1、已知圆 O 的半径为 r,建立怎样的坐标系,
可以使圆的极坐标方程更简单?
①建系;
②设点;M(ρ,θ)
③列式;OM=r, 即:ρ=r
④证明或说明.
变式练习:求下列圆的极坐标方程
(1)中心在C(a,0),半径为 a;
(2)中心在(a,/2),半径为 a;
(3)中心在C(a,0),半径为 a
答案:(1)=2acos (2) =2asin (3) 0cos( )a =2
例 2.(1)化在直角坐标方程 0822 yyx 为极坐标方程,
(2)化极坐标方程 )3cos(6 为直角坐标方程。
三、课堂练习:
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的方程是 (C)
. 2cos . 2sin4 4
. 2cos 1 . 2sin 1
A B
C D
2.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少? 2
2
sin (4)
3.说明下列极坐标方程表示什么曲线
(1) =2cos( - ) (2) =cos( - )4 3
(3) =3 =6
2 2
2 2
4
2 3 0
2 0
x y x y
x y
x y
x
.填空:
(1)直角坐标方程 的 极坐标方程为_______
(2)直角坐标方程 - +1 的极坐标方程为_______
(3)直角坐标方程 9的极坐标方程为_____
(4)直角坐标方程 3的极坐标方程为_______
四、课堂小结:
1.曲线的极坐标方程的概念.
2.求曲线的极坐标方程的一般步骤.
五、课外作业:教材 28P 1,2
1.在极坐标系中,已知圆C的圆心 )6,3( C ,半径 3r ,
(1)求圆C的极坐标方程。
(2)若Q 点在圆C上运动, P 在OQ 的延长线上,且 2:3: OPOQ ,求动点 P 的
轨迹方程。
课题:2、直线的极坐标方程
教学目标:
知识与技能:掌握直线的极坐标方程
过程与方法:会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:理解直线的极坐标方程,直角坐标方程与极坐标方程的互化
教学难点:直线的极坐标方程的掌握
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教学过程:
一、探究新知:
阅读教材 P13-P14
探究 1、直线l 经过极点,从极轴到直线l 的角是
4
,如何用极坐标方程表示直线l
思考:用极坐标表示直线时方程是否唯一?
探究 2、如何表示过点 ( ,0)( 0)A a a ,且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程,化为直角坐
标方程是什么?过点 ( ,0)( 0)A a a ,平行于极轴的直线l 的极坐标方程呢?
二、知识应用:
例 1、已知点 P 的极坐标为(2, ) ,直线l 过点 P 且与极轴所成的角为
3
,求直线l 的极
坐标方程。
例 2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程
(1) 5 ( )4 R (2) (2cos 5sin ) 4 0 (3) sin( ) 43
例 3、判断直线 2sin( )4 2
与圆 2cos 4sin 的位置关系。
4
O
l
x
三、巩固与提升:
P15 第 1,2,3,4 题
四、知识归纳:
1、直线的极坐标方程
2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
3、直线与圆的简单综合问题
五、作业布置:
1、在直角坐标系中,过点(1,0) ,与极轴垂直的直线的极坐标方程是( )
A sin 1 B sin C cos 1 D cos
2、与方程 ( 0)4
表示同一曲线的是 ( )
A ( )4 R B 5 ( 0)4
C 5 ( )4 R D ( 0)4
3、在极坐标系中,过点 (2, )2A 且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是
4、在极坐标系中,过圆 4cos 的圆心,且垂直于极轴的直线方程是
5、在极坐标系中,过点 3(2, )4A 且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是
6、已知直线的极坐标方程为 2sin( )4 2
,求点 7(2, )4A 到这条直线的距离。
7、在极坐标系中,由三条直线 0, , cos sin 13
围成图形的面积。
六、反思:
四 柱坐标系与球坐标系简介
课题:球坐标系与柱坐标系
教学目的:
知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点:利用它们进行简单的数学应用
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境:我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题:如何在空间里确定点的位置?有哪些方法?
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课:
1、球坐标系
设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,连接 OP,记| OP |= r ,OP 与 OZ
轴正向所夹的角为 ,P 在 oxy 平面的射影为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转
过的最小正角为 ,点 P 的位置可以用有序数组 ),,( r 表示,我们把建立上述对应关
系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组 ),,( r 叫做点 P 的球坐标,其中 r ≥0,0≤ ≤ ,0≤ <2 。
空间点 P 的直角坐标 ),,( zyx 与球坐标 ),,( r 之间的变换关系为:
cos
sinsin
cossin
2222
rz
ry
rx
rzyx
2、柱坐标系
设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示
点在
平面 oxy 上的极坐标,点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的
坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点 P 的柱坐标,其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为:
3、数学应用
例 1 建立适当的球坐标系,表示棱长为 1 的正方体的顶点.
变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为 1 的正方体的顶点.
例 2.将点 M 的球坐标 )6
5,3,8( 化为直角坐标.
变式训练
1.将点 M 的直角坐标 )2,1,1( 化为球坐标.
2.将点 M 的柱坐标 )8,3,4( 化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点 ),,( aaa a( >0)的球坐标是什么?
例 3.球坐标满足方程 r=3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
标满足方程 =2 的点所构成的图形是什么?
例 4.已知点 M 的柱坐标为 ),3,4,2( 点 N 的球坐标为 ),2,4,2( 求线段 MN 的长度.
思考:
在球坐标系中,集合
20,20,62),,( rrM 表示的图形的体
积为多少?
三、巩固与练习
四、小 结:本节课学习了以下内容:
1.球坐标系的作用与规则;
2.柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业:教材 P15 页 12,13,14,15,16
zz
y
x
sin
cos
六、课后反思:本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来,学生容易理解。但以后少
用,可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。
第二章 参数方程
【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方
程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念
一、教学目标:
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方
程,体会参数的意义。
2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。
教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。
三、教学方法:启发诱导,探究归纳
四、教学过程
(一).参数方程的概念
1.问题提出:铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为 0 ,与地面成
角,如何来刻画铅球运动的轨迹呢?
2.分析探究理解:
(1)、斜抛运动:
为参数)t
gttvy
tvx
(
2
1sin
cos
2
0
0
(2)、抽象概括:参数方程的概念。说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。
(2)参数是联系变量 x,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。
(3)平抛运动:
x
y
O
v=v0
x
y
500
O
A
v=100m/s
为参数)t
gty
tx
(
2
1500
100
2
(4)思考交流:把引例中求出的铅球运动的轨迹
的参数方程消去参数 t 后,再将所得方程与原方程进行比较,体会参数方程的作用。
(二)、应用举例:
例 1、已知曲线 C 的参数方程是
12
3
2ty
tx (t 为参数)(1)判断点 1M (0,1),
2M (5,4)与曲线 C 的位置关系;(2)已知点 3M (6,a)在曲线 C 上,求 a 的值。
分析:只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。
反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。
例 2、设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆做匀速(角速度)运动,角速度为 60
rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。
解析:如图,运动开始时质点位于 A 点处,此时 t=0,设动点 M(x,y)对应时刻 t,由图
可知
2cos
602sin{x
y
t
又 ,得参数方程为
60
60
2cos
2sin
( 0){x t
y t
t
。
3000
2500
2000
1500
1000
500
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
Y
-4000
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
4000
5000
X
c
1
A
M
反思归纳:求曲线的参数方程的一般步骤。
(三)、课堂练习:
(四)、小结:1.本节学习的数学知识;2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教
师引导,抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。
(五)、作业:
补充:设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度 h=588m 处投弹(设投弹
的初速度等于飞机的速度,且不计空气阻力)。(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程;(2)
试 问 飞 机 在 离 目 标 多 远 ( 水 平 距 离 ) 处 投 弹 才 能 命 中 目 标 。 简 解 :( 1 )
)(9.4588
150
2
为参数tty
tx
。(2)1643m。
五、教学反思:
第二课时 圆的参数方程及应用
一、教学目标:
知识与技能:分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几
何性质求最值(数形结合)
过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二、重难点:教学重点:能选取适当的参数,求圆的参数方程
教学难点:选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法:启发、诱导发现教学.
四、教学过程:
(一)、圆的参数方程探求
1、根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。
)(sin
cos 为参数
ry
rx 这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。
说明:(1)参数θ的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。(2)随着选取的参数不同,
参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。(3)在建立曲线的参数方程时,要注
明参数及参数的取值范围。
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
c
1
A
P
C
3、若如图取