高中数学第二章数列2_2等差数列习题课——等差数列习题课学案新人教B版必修51 3页

2.2 等差数列习题课——等差数列习题课 1．进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前 n 项和公式． 2．理解等差数列的性质，等差数列前 n 项和公式的性质的应用． 3．掌握等差数列前 n 项和之比的问题，及其实际应用． 题型一 已知 Sn 求 an 【例 1】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－3 2 n2＋205 2 n，求数列{an}的通项公式 an. 分析： 求 a1 → n≥2 时求 an → n＝1 时验证 an → 通项公式 an 反思：数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系 已知数列{an}的通项就可以求数列{an}的前 n 项和 Sn；反过来，若已知前 n 项和 Sn 也可 以求数列{an}的通项公式 an. ∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)． 在 n≥2 的条件下，把上面两式相减可得：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，当 n＝1 时，a1＝S1，所 以 an 与 Sn 有如下关系： an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2. 注意：an＝Sn－Sn－1 并非对所有的 n∈N＋都成立，而只对 n≥2 的正整数成立．由 Sn 求通 项公式 an 时，要分 n＝1 和 n≥2 两种情况，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若 不能，则用分段函数的形式表示． 题型二 数列{|an|}的求和问题 【例 2】在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前 n 项和． 分析：先分清哪些项是负的，然后再分段求出前 n 项的绝对值之和． 反思：等差数列各项取绝对值后组成的数列{|an|}的前 n 项和，可分为以下情形： (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接 求解． (2)在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始 其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理． (3)在等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负 数，同样可以把数列{an}分成两段处理． 总之，解决此类问题的关键是找到数列{an}的正负分界点． 题型三 等差数列前 n 项和的比值问题 【例 3】等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若Sn Tn ＝ 2n 3n＋1 ，求an bn . 分析：本题可把“项比”转化成“和比”，也可把“和比”转化为“项比”． 反思：本题的关键是建立通项和前 n 项和的内在联系，解法一侧重于待定系数法，而解 法二应用整体代换思想． 1 已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12 的值是( )． A．15 B．30 C．31 D．64 2 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则 S6 等于( )． A．12 B．18 C．24 D．42 3 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这 个数列有( )． A．13 项 B．12 项 C．11 项 D．10 项 4 设 2a＝3,2b＝x,2c＝12，且 a，b，c 成等差数列，则 x 的值为________． 5 设等差数列{an}满足 a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值． 答案： 典型例题·领悟 【例 1】解：a1＝S1＝－3 2 ×12＋205 2 ×1＝101. 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1 ＝(－3 2 n2＋205 2 n)－[－3 2 (n－1)2＋205 2 (n－1)] ＝－3n＋104. ∵n＝1 也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－3n＋104(n∈N＋)． 【例 2】解：数列{an}的公差 d＝a17－a1 17－1 ＝－12－(－60) 16 ＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由 an＜0，得 3n－63＜0，即 n＜21. ∴数列{an}的前 20 项是负数，从第 21 项开始都为非负数． 设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和，当 n≤20 时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an ＝－Sn＝－[－60n＋n(n－1) 2 ×3]＝－3 2 n2＋123 2 n； 当 n＞20 时， Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝－60n＋n(n－1) 2 ×3－2×(－60×20＋20×19 2 ×3) ＝3 2 n2－123 2 n＋1 260. ∴数列{|an|}的前 n 项和 Sn′＝ －3 2 n2＋123 2 n，n≤20， 3 2 n2－123 2 n＋1 260，n＞20. 【例 3】解：解法一：设 Sn＝an2＋bn，Tn＝pn2＋qn，a，b，p，q 为常数 则Sn Tn ＝an＋b pn＋q ＝ 2n 3n＋1 ， 所以 3an2＋(3b＋a)n＋b＝2pn2＋2qn， 从而 3a＝2p， 3b＋a＝2q， b＝0， 即 a＝2q， b＝0， p＝3q. 所以 Sn＝2qn2，Tn＝3qn2＋qn. 当 n＝1 时，a1 b1 ＝S1 T1 ＝1 2 ； 当 n≥2 时，an bn ＝Sn－Sn－1 Tn－Tn－1 ＝2n－1 3n－1 . 当 n＝1 时，a1 b1 ＝1 2 也适合上式， 所以an bn ＝2n－1 3n－1 . 解法二：an bn ＝2an 2bn ＝a1＋a2n－1 b1＋b2n－1 ＝ a1＋a2n－1 2 (2n－1) b1＋b2n－1 2 (2n－1) ＝S2n－1 T2n－1 ＝ 2(2n－1) 3(2n－1)＋1 ＝2n－1 3n－1 . 随堂练习·巩固 1．A ∵a7＋a9＝a4＋a12＝16，a4＝1，∴a12＝15. 2．C 由题意知 S2＝2，S4－S2＝8.∵{an}是等差数列，∴S6－S4，S4－S2，S2 成等差数列．∴S6 －S4＝14.∴S6＝24. 3．A 4．6 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b，∴2a＋c＝22b.∵2a＋c＝2a·2c＝3×12＝36,22b ＝(2b)2＝x2，∴x2＝36.∴x＝±6.又∵x＝2b＞0，∴x＝6. 5．解：(1)由 an＝a1＋(n－1)d，及 a3＝5，a10＝－9，得 a1＋2d＝5， a1＋9d＝－9， 解得 a1＝9， d＝－2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝11－2n. (2)由(1)知 Sn＝na1＋n(n－1) 2 d＝10n－n2.因为 Sn＝－(n－5)2＋25，所以当 n＝5 时，Sn 取得最大值．