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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版全称量词与存在量词、逻辑联结词学案文

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‎§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.‎ ‎2.理解全称量词和存在量词的意义.‎ ‎3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点;命题的真假判断常以函数、不等式为载体,考查学生的推理判断能力,题型为选择、填空题,低档难度.‎ ‎1.全称量词与存在量词 ‎(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.‎ ‎2.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题.‎ ‎3.命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.‎ ‎(2)p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:非p或非q.‎ ‎4.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.‎ ‎(2)简单复合命题的真值表:‎ p q 綈p 綈q p或q p且q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 知识拓展 ‎1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p或q:p,q中有一个为真,则p或q为真,即有真为真.‎ ‎(2)p且q:p,q中有一个为假,则p且q为假,即有假即假.‎ ‎(3)綈p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.‎ ‎3.命题的否定和否命题的区别:命题“若p,则q”的否定是“若p,则綈q”,否命题是“若綈p,则綈q”.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“3≥‎2”‎是真命题.( √ )‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )‎ ‎(3)若命题p,q中至少有一个是真命题,则p或q是真命题.( √ )‎ ‎(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题.( × )‎ ‎(5)命题綈(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题綈p,綈q,p或q,p且q中真命题的个数为(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ 答案 B 解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.‎ ‎3.命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________.‎ 答案 存在一个正方形,这个正方形不是矩形 ‎题组三 易错自纠 ‎4.已知命题p,q,“綈p为真”是“p且q为假”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由綈p为真知,p为假,可得p且q为假;反之,若p且q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎5.下列命题中, 为真命题的是(  )‎ A.任意x∈R,-x2-1<0‎ B.存在x∈R,x2+x=-1‎ C.任意x∈R,x2-x+>0‎ D.存在x∈R,x2+2x+2<0‎ 答案 A ‎6.若“任意x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 答案 1‎ 解析 ∵函数y=tan x在上是增函数,‎ ‎∴ymax=tan =1.‎ 依题意知,m≥ymax,即m≥1.‎ ‎∴m的最小值为1.‎ 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎1.设命题p:函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1),则下列命题是真命题的为(  )‎ A.p且q B.p或q C.p且(綈q) D.綈q 答案 B 解析 函数y=log2(x2-2x)的递增区间是(2,+∞),‎ 所以命题p为假命题.‎ 由3x>0,得0<<1,‎ 所以函数y=的值域为(0,1),‎ 故命题q为真命题.‎ 所以p且q为假命题,p或q为真命题,p且(綈q)为假命题,綈q为假命题.故选B.‎ ‎2.(2017·山东)已知命题p:任意x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是(  )‎ A.p且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且q D.(綈p)且(綈q)‎ 答案 B 解析 ∵x>0,∴x+1>1,∴ln(x+1)>ln 1=0.‎ ‎∴命题p为真命题,∴綈p为假命题.‎ ‎∵a>b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,‎ 此时a2<b2,‎ ‎∴命题q为假命题,∴綈q为真命题.‎ ‎∴p且q为假命题,p且(綈q)为真命题,(綈p)且q为假命题,(綈p)且(綈q)为假命题.故选B.‎ ‎3.已知命题p:若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q:在空间中,对于三条不同的直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.对以上两个命题,有以下命题:‎ ‎①p且q为真;②p或q为假;③p或q为真;④(綈p)或(綈q)为假.‎ 其中,正确的是________.(填序号)‎ 答案 ②‎ 解析 命题p是假命题,这是因为α与γ也可能相交;命题q也是假命题,这两条直线也可能异面,相交.‎ 思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式;‎ ‎(2)判断其中命题p,q的真假;‎ ‎(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.‎ 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是(  )‎ A.任意x∈R,2x-1>0 B.任意x∈N+,(x-1)2>0‎ C.存在x∈R,lg x<1 D.存在x∈R,tan x=2‎ 答案 B 解析 当x∈N+时,x-1∈N,可得(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,故B不正确;易知A,C,D正确,故选B.‎ 命题点2 含一个量词的命题的否定 典例 (1)命题“任意x∈R,x>‎0”‎的否定是(  )‎ A.存在x∈R,x<0 B.任意x∈R,x≤0‎ C.任意x∈R,x<0 D.存在x∈R,x≤0‎ 答案 D 解析 全称命题的否定是特称命题,“>”的否定是“≤”.‎ ‎(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“存在x∈R,1<f(x)≤‎2”‎的否定形式是(  )‎ A.任意x∈R,1<f(x)≤2‎ B.存在x∈R,1<f(x)≤2‎ C.存在x∈R,f(x)≤1或f(x)>2‎ D.任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>2‎ 答案 D 解析 特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>‎2”‎.‎ 思维升华 (1)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.‎ ‎(2)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;‎ ‎②对原命题的结论进行否定.‎ 跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是(  )‎ A.存在x∈R,使得sin x+cos x= B.任意x∈(0,+∞),ex>x+1‎ C.存在x∈(-∞,0),2x<3x D.任意x∈(0,π),sin x>cos x 答案 B 解析 ∵sin x+cos x=sin≤<,故A错误;设f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=0,‎ ‎∴任意x∈(0,+∞),f(x)>0,‎ 即ex>x+1,故B正确;‎ 当x<0时,y=2x的图像在y=3x的图像上方,故C错误;∵当x∈时,sin x0‎ C.任意x∈R,ex-x-1>0‎ D.任意x∈R,ex-x-1≥0‎ 答案 C 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“任意x∈R,ex-x-1>‎0”‎,故选C.‎ ‎题型三 含参命题中参数的取值范围 典例 (1)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p且q是真命题,则实数a的取值范围是________________.‎ 答案 [-12,-4]∪[4,+∞)‎ 解析 若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,‎ 即a≤-4或a≥4;若命题q是真命题,‎ 则-≤3,即a≥-12.‎ ‎∵p且q是真命题,∴p,q均为真,‎ ‎∴a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).‎ ‎(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________.‎ 答案  解析 当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,‎ g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,‎ 得0≥-m,所以m≥.‎ 引申探究 本例(2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是________________.‎ 答案  解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m,‎ 由f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,‎ ‎∴m≥.‎ 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假,利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.‎ 跟踪训练 (1)已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+≤‎0”‎是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1) B.(-1,3)‎ C.(-3,+∞) D.(-3,1)‎ 答案 B 解析 原命题的否定为任意x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,其为真命题,即Δ=(a-1)2-4×2×<0,则-2<a-1<2,即-1<a<3.‎ ‎(2)已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[2,+∞) B.(-∞,-2]‎ C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,2]‎ 答案 A 解析 依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.‎ 因此由p,q均为假命题,‎ 得即m≥2.‎ 常用逻辑用语 考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等偏下.解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系.‎ 一、命题的真假判断 典例 (1)(2017·佛山模拟)已知a,b都是实数,那么“>”是“ln a>ln b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p:任意x∈R,3x<5x;命题q:存在x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p且q B.(綈p)且q C.p且(綈q) D.(綈p)且(綈q)‎ 解析 (1)由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>,故必要性成立.当a=1,b=0时,满足>,但ln b无意义,所以ln a>ln b不成立,故充分性不成立.‎ ‎(2)若x=0,则30=50=1,∴p是假命题,‎ ‎∵方程x3=1-x2有解,∴q是真命题,‎ ‎∴(綈p)且q是真命题.‎ 答案 (1)B (2)B 二、充要条件的判断 典例 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“”,命题乙是“{x|log3(2x+1)≤0}”,则下列说法正确的是(  )‎ A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,又不是乙的必要条件 ‎(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设p:0<r<3,q:圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 (1)≥0等价于x(x+1)(x-1)≥0且x≠1,‎ 解得-1≤x≤0或x>1.‎ 由log3(2x+1)≤0,得0<2x+1≤1,得-‎3”‎是“x2>‎9”‎的充要条件,命题q:“a2>b‎2”‎是“a>b”的充要条件,则下列判断正确的是(  )‎ A.p或q为真 B.p且q为真 C.p真q假 D.p或q为假 答案 D 解析 ∵p假,q假,∴p或q为假.‎ ‎2.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=‎ 对称,则下列判断正确的是(  )‎ A.p为真 B.綈q为假 C.p且q为假 D.p或q为真 答案 C 解析 函数y=sin 2x的最小正周期为=π,故命题p为假命题;x=不是y=cos x的对称轴,故命题q为假命题,故p且q为假.故选C.‎ ‎3.(2017·唐山一模)已知命题p:存在x∈N,x30恒成立;②存在x∈Q,x2=2;③存在x∈R,x2+1=0;④任意x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.‎ 答案 0‎ 解析 ∵x2-3x+2=0的判别式Δ=(-3)2-4×2>0,‎ ‎∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,‎ ‎∴①为假命题;‎ 当且仅当x=±时,x2=2,‎ ‎∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题;‎ 对任意x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;‎ ‎4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,‎ 即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,‎ ‎∴④为假命题.‎ ‎∴①②③④均为假命题.‎ 故真命题的个数为0.‎ ‎12.已知命题“任意x∈R,x2-5x+a>‎0”‎的否定为假命题,则实数a的取值范围是____________.‎ 答案  解析 由“任意x∈R,x2-5x+a>‎0”‎的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+a,则其图像恒在x轴的上方,故Δ=25-4×a<0,‎ 解得a>,即实数a的取值范围为.‎ ‎13.已知命题p:-40,若綈p是綈q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是______.‎ 答案 [-1,6]‎ 解析 p:-40等价于20,则命题“p且(綈q)”是假命题;‎ ‎②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;‎ ‎③命题“若x2-3x+2=0,则x=‎1”‎的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠‎0”‎.‎ 其中正确结论的序号为________.‎ 答案 ①③‎ 解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,‎ 所以p且(綈q)为假命题,故①正确;‎ ‎②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;‎ ‎③正确,所以正确结论的序号为①③.‎ ‎15.已知命题p:存在x∈R,ex-mx=0,命题q:任意x∈R,x2+mx+1≥0,若p或(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是________.‎ 答案 [0,2]‎ 解析 若p或(綈q)为假命题,则p假q真.‎ 由ex-mx=0,可得m=,x≠0,‎ 设f(x)=,x≠0,则 f′(x)==,‎ 当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)=在(1,+∞)上是递增函数;当01,x≥2).‎ ‎(1)若存在x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为________________;‎ ‎(2)若任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2, +∞),使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为_______________.‎ 答案 (1)[3,+∞) (2)(1,]‎ 解析 (1)因为f(x)==x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以若存在x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).‎ ‎(2)因为当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),‎ 则 解得a∈(1,].‎