北京西城区2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案 21页

北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 1页（共 21页） 北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2021.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上 作答无效。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 （1）已知集合 { | 1 3}A x x    ， { | 0 4}B x x  ≤ ，则 A B  （A） (0,3) （B） ( 1,4) （C） (0,4] （D） ( 1,4] （2）在复平面内，复数 z 所对应的点的坐标为 (1, 1) ，则 z z  （A） 2 （B） 2i （C） 2 （D） 2i （3）已知 ( )f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么 （A） (2) 2f  （B） (2) 2f   （C） (2) 2f   （D） (2) 2f   （4）已知 (4,8)A ， (2,4)B ， (3, )C y 三点共线，则 y 的值为 （A） 4 （B）5 （C） 6 （D） 7 （5）已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的焦距等于实轴长的 2 倍，则其渐近线的方程为 （A） 3y x  （B） 2y x  （C） 3 3y x  （D） 1 2y x  （6）已知半径为 2 的圆经过点 (1,0) ，其圆心到直线3 4 12 0x y   的距离的最小值为 （A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3 北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 2页（共 21页） （7）已知函数 ( ) sin 2 , [ , ]f x x x a b  ，则“ 2b a  ≥ ”是“ ( )f x 的值域为[ 1,1] ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： 2log (1 )SC W N   ，其中 C 为最大数据传 输速率，单位为 bit / s ；W 为信道带宽，单位为 Hz； S N 为信噪比. 香农公式在 5G 技术中发 挥着举足轻重的作用. 当 99S N  ， 2000HzW  时，最大数据传输速率记为 1C ；当 9999S N  ， 3000HzW  时，最 大数据传输速率记为 2C ，则 2 1 C C 为 （A）1 （B） 5 2 （C） 15 4 （D） 3 （9）设函数 ( )f x 和 ( )g x 的定义域为 D ，若存在非零实数 c D ，使得 ( ) ( ) 0f c g c  ，则称函数 ( )f x 和 ( )g x 在 D 上具有性质 P. 现有三组函数： ① ( )f x x ， 2( )g x x ② ( ) 2 xf x  ， ( ) exg x   ③ 2( )f x x  ， ( ) 2xg x  其中具有性质 P 的是 （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ （10）在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,M N 分别为 1 1 1,BD B C 的中点，点 P 在正方体的 表面上运动，且满足 MP CN ，则下列说法正确的是 （A）点 P 可以是棱 1BB 的中点 （B）线段 MP 的最大值为 3 2 （C）点 P 的轨迹是正方形 （D）点 P 轨迹的长度为 2+ 5 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 5( 2)x  的展开式中 x 的系数是_______. （12）数列{ }na 是公差为 2 的等差数列，记{ }na 的前 n 项 和为 nS ，且 1 3 4, ,a a a 成等比数列，则 1a  _______； nS  _______. （13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的 长度为_______. （14）已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，过点 ( 1,4)M  作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 A ， 且满足| | | |AF AM ，则抛物线 C 的方程为_______；设直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B ， 则点 B 的纵坐标为______. （15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份前 6 天每天的供应量和销售量，结果如下表： 6 月1 日 6 月 2 日 6 月 3 日 6 月 4 日 6 月 5 日 6 月 6 日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记 ( )V t 为 6 月 t 日冰激凌的供应量， ( )W t 为 6 月 t 日冰激凌的销售量，其中 1,2, ,30t   . 用销售指数 ( ) ( 1) ( 1)( , ) 100%( ) ( 1) ( 1) W t W t W t nP t n V t V t V t n               , ( 1, )n n N≥ 来评价从 6 月 t 日开始连续 n 天的冰激凌的销售情况. 当 1n  时， ( ,1)P t 表示 6 月 t 日的日销售指数. 给出下列四个结论： ① 在 6 月1日至 6 日这 6 天中， (4,1)P 最小， (5,1)P 最大； ② 在 6 月1日至 6 日这 6 天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； ③ (1,3) (4,3)P P ； ④ 如果 6 月 7 日至12 日冰激凌每天的供应量和销售量与 6 月1日至 6 日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任意 {1,2,3,4,5,6,7}t  ，都有 ( ,6) (1,12)P t P . 其中所有正确结论的序号是______. 4 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 2AB AC  ， 1 4AA  ， AB AC ， 1BE AB 交 1AA 于点 E ， D 为 1CC 的中点. （Ⅰ）求证： BE  平面 1AB C ； （Ⅱ）求二面角 1C AB D  的余弦值. （17）（本小题 13 分） 已知 ABC△ 的面积为 4 2 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）b 和 c 的值； （Ⅱ）sin( )A B 的值． 条件①: 6a  , 1cos 3C   ；条件②: A C , 7cos 9B   . 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 5 （18）（本小题 14 分） 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又 有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的 绝对值小于 1 亿立方米的概率； （Ⅱ）从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设 X 为蓄水量超过 33 亿立方米 的年份个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） （19）（本小题 15 分）已知函数 3( )f x x x  . （Ⅰ）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的单调区间和极值； （Ⅲ）设函数 ( )( ) 2sin f xt x x x   ， (0, )x  ，试判断 ( )t x 的零点个数，并证明你的结论. 6 （20）（本小题 15 分）已知椭圆 2 2 : 14 2 x yC   . （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率和长轴长； （Ⅱ）已知直线 2y kx  与椭圆C 有两个不同的交点 ,A B ， P 为 x 轴上一点. 是否存在实数 k ， 使得 PAB△ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标； 若不存在，说明理由. （21）（本小题 15 分）对于数列{ }na ，定义 1* 1 1, , 1, . n n n n n a aa a a      ≥ 设 *{ }na 的前 n 项和为 * nS . （Ⅰ）设 2n n na  ，写出 * 1a ， * 2a ， * 3a ， * 4a ； （Ⅱ）证明：“对任意 *nN ，有 * 1 1n nS a a  ”的充要条件是“对任意 *nN ，有 1| | 1n na a   ”； （Ⅲ）已知首项为 0，项数为 1( 2)m m ≥ 的数列{ }na 满足： ①对任意1 n m≤ ≤ 且 *nN ，有 1 { 1,0,1}n na a    ；② * m mS a . 求所有满足条件的数列{ }na 的个数. 7 北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2021.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上 作答无效。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 （1）已知集合 { | 1 3}A x x    ， { | 0 4}B x x  ≤ ，则 A B  （A） (0,3) （B） ( 1,4) （C） (0,4] （D） ( 1,4] 解析：注意求的是并集，不是交集，选 D. （2）在复平面内，复数 z 所对应的点的坐标为 (1, 1) ，则 z z  （A） 2 （B） 2i （C） 2 （D） 2i 解析： 1z i  ， 2(1 ) (1 ) 1 2z z i i i        ，选 A. （3）已知 ( )f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么 （A） (2) 2f  （B） (2) 2f   （C） (2) 2f   （D） (2) 2f   解析：1 ( 2) 2f   ，奇函数， 2 (2) 1f    ，选 C. （4）已知 (4,8)A ， (2,4)B ， (3, )C y 三点共线，则 y 的值为 （A） 4 （B）5 （C） 6 （D） 7 解析：三点共线，则 AB ACk k ，即 8 4 8 24 2 4 3 y    ，解得 6y  ，选 C. 8 （5）已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的焦距等于实轴长的 2 倍，则其渐近线的方程为 （A） 3y x  （B） 2y x  （C） 3 3y x  （D） 1 2y x  解析： 2 2 2 4c a a   ，即 2c a ，则 2 2 3b c a a   ，渐近线 3by x xa     ，选 A. （6）已知半径为 2 的圆经过点 (1,0) ，其圆心到直线3 4 12 0x y   的距离的最小值为 （A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3 解析：北京高考题改编，距离最小值为点到线的距离减半径，即 2 2 3 12 2 1 3 ( 4)      ，选 B. （7）已知函数 ( ) sin 2 , [ , ]f x x x a b  ，则“ 2b a  ≥ ”是“ ( )f x 的值域为[ 1,1] ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：后推前， 2 2 Tb a    ，正确；前推后，例如 0a  ， 2b  时，值域为[0,1] ，选 B. （8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： 2log (1 )SC W N   ，其中 C 为最大数据传 输速率，单位为 bit / s ；W 为信道带宽，单位为 Hz； S N 为信噪比. 香农公式在 5G 技术中发 挥着举足轻重的作用. 当 99S N  ， 2000HzW  时，最大数据传输速率记为 1C ；当 9999S N  ， 3000HzW  时，最 大数据传输速率记为 2C ，则 2 1 C C 为 （A）1 （B） 5 2 （C） 15 4 （D） 3 解析： 1 22000log (1 99)C   ， 2 23000log (1 9999)C   ，则 2 100 1 3 3log 10000 2 32 2 C C      ，D. （9）设函数 ( )f x 和 ( )g x 的定义域为 D ，若存在非零实数 c D ，使得 ( ) ( ) 0f c g c  ，则称函数 ( )f x 和 ( )g x 在 D 上具有性质 P. 现有三组函数： ① ( )f x x ， 2( )g x x ② ( ) 2 xf x  ， ( ) exg x   ③ 2( )f x x  ， ( ) 2xg x  其中具有性质 P 的是 （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ 解析：由题，即 ( ) ( )g x f x  有非零解， 2x x  ， 2 2xx  有非零解， 1( )2 x xe  没有非零解，选 B. （10）在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,M N 分别为 1 1 1,BD B C 的中点，点 P 在正方体的 表面上运动，且满足 MP CN ，则下列说法正确的是 （A）点 P 可以是棱 1BB 的中点 （B）线段 MP 的最大值为 3 2 （C）点 P 的轨迹是正方形 （D）点 P 轨迹的长度为 2+ 5 解析：动点问题不如建系. 1 1 1( , , )2 2 2M ， 1( ,1,1)2N ， (0,1,0)C ，设 ( , , )P x y z ， 则 1 1 1 1 1 3( ,0,1) ( , , ) 02 2 2 2 2 4CN MP x y z x z           ，线段 MP 的最大值为 3 2MQ MH  ， 选 B. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 5( 2)x  的展开式中 x 的系数是_______. 解析： 4 1 4 5 ( 2) 80C x x    ，故系数为 80. （12）数列{ }na 是公差为 2 的等差数列，记{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1 3 4, ,a a a 成等比数列，则 1a  _______； nS  _______. 解析：由题， 2 1 1 1( 4) ( 6)a a a    ，解得 1 8a  ； 故 2 2 1 ( 1) 8 ( 2) 10 ( )2 2n n n n nS na d n n n n N            . （13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的 长度为_______. 解析：画正方体，右后提点即可，最长棱为体对角线， 2 2 22 2 2 2 3   . （14）已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，过点 ( 1,4)M  作 y 轴的垂线交抛物线 C 于点 A ， 且满足| | | |AF AM ，则抛物线 C 的方程为_______；设直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B ， 则点 B 的纵坐标为______. 解析：北京抛物线大概率考定义. 由定义， 12 p  ， 2p  ，则抛物线 C 的方程为 2 4y x ； 焦点弦， 2 1 2y y p   ，故 24 2By   ，所以 1By   . （15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份前 6 天每天的供应量和销售量，结果如下表： 6 月1 日 6 月 2 日 6 月 3 日 6 月 4 日 6 月 5 日 6 月 6 日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记 ( )V t 为 6 月 t 日冰激凌的供应量， ( )W t 为 6 月 t 日冰激凌的销售量，其中 1,2, ,30t   . 用销售指数 ( ) ( 1) ( 1)( , ) 100%( ) ( 1) ( 1) W t W t W t nP t n V t V t V t n               , ( 1, )n n N≥ 来评价从 6 月 t 日开始连续 n 天的冰激凌的销售情况. 当 1n  时， ( ,1)P t 表示 6 月 t 日的日销售指数. 给出下列四个结论： ① 在 6 月1日至 6 日这 6 天中， (4,1)P 最小， (5,1)P 最大； ② 在 6 月1日至 6 日这 6 天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； ③ (1,3) (4,3)P P ； ④ 如果 6 月 7 日至12 日冰激凌每天的供应量和销售量与 6 月1日至 6 日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任意 {1,2,3,4,5,6,7}t  ，都有 ( ,6) (1,12)P t P . 其中所有正确结论的序号是______. 解析：此题送分题，就是计算，没时间的话，填个①，有时间再回头看②③④. 对于①， ( )( ,1) ( ) W tP t V t  ，最大为 (5)(5,1) 1(5) WP V   ，最小为 (4) 4(4,1) (4) 5 WP V   ，①正确； 对于②，由①， 6 月 2 日和 6 月 5 日日销售指数不同，但该天销售量相同，②错误； 对于③， (1) (2) (3) 255(1,3) (1) (2) (3) 280 W W WP V V V     ， (4) (5) (6) 255(4,3) (4) (5) (6) 290 W W WP V V V     ，③错误； 对于④， ( ) ( 1) ( 5)( ,6) ( ) ( 1) ( 5) W t W t W tP t V t V t V t             ， (1) (2) (12)(1,12) (1) (2) (12) W W WP V V V         ， 因为 ( )V t 以 2 为周期， ( )W t 以 3 为周期，又 6 2 3  ，故④正确； 综上，填①④. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 2AB AC  ， 1 4AA  ， AB AC ， 1BE AB 交 1AA 于点 E ， D 为 1CC 的中点. （Ⅰ）求证： BE  平面 1AB C ； （Ⅱ）求二面角 1C AB D  的余弦值. 解：（Ⅰ）因为三棱柱 1 1 1ABC A B C 为直三棱柱，所以 1AA  平面 ABC ， 所以 1AA AC . ……………1 分 因为 AC AB ， 1AB AA A ，所以 AC  平面 1 1AA B B . ……………3 分 因为 BE  平面 1 1AA B B ，所以 AC BE .……………4 分 因为 1BE AB ， 1AC AB A ， 所以 BE  平面 1AB C . ……………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1, ,AB AC AA 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系 A xyz ． 则 (0 0 0)A ，， , 1 (2,0, 4)B , (0,2,2)D , (2,0,0)B .……7 分 设 (0,0, )E a ，所以 1=(0 2 , 2) =(2 , 0 , 4) =( 2 0 , )AD AB BE a  , ， ， , ， 因为 1AB BE  ，所以 4 4 0a   ，即 1a  . ……………8 分 所以平面 1AB C 的一个法向量为 =( 2 0 ,1)BE  , ． ……………9 分 设平面 1AB D 的法向量为 ( , , )x y zn ， 所以 1 0, 0. AD AB        n n 所以 2 2 0, 2 4 0. y z x z      即 , 2 . y z x z      ……………10 分 令 1z   ，则 2, 1x y  ，所以平面 1AB D 的一个法向量为 (2,1, 1) n . ……………11 分 所以 5 30cos , = 6| || | 6 5 BEBE BE        nn n . ……………12 分 由已知，二面角 1C AB D  为锐角，所以二面角 1C AB D  的余弦值为 30 6 .……13 分 （17）（本小题 13 分）已知 ABC△ 的面积为 4 2 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个 作为已知，求： （Ⅰ）b 和 c 的值； （Ⅱ）sin( )A B 的值． 条件①: 6a  , 1cos 3C   ；条件②: A C , 7cos 9B   . 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 若选择条件①： 解：（Ⅰ）在 ABC△ 中，因为 1cos 3C   ， 所以 ( , )2C   ， 2 2 2sin 1 cos 3C C   . ……………2 分 因为 1 sin 4 22S ab C  ， 6a  ，所以 2b  . ……………4 分 由余弦定理， 2 2 2 2 cos 48c a b ab C    ， ……………5 分 所以 4 3c  . ……………6 分 （Ⅱ）由正弦定理 sin sin sin a b c A B C   ，可得 6 2 4 3 sin sin 2 2 3 A B   . …………7 分 所以 6sin 3A  ， 6sin 9B  . ……………9 分 因为 , (0, )2A B  ，所以 3cos 3A  ， 5 3cos 9B  . ……………11 分 所以 sin( ) sin cos cos sinA B A B A B   6 5 3 3 6 4 2 3 9 3 9 9      .……13 分 若选择条件②： 解：（Ⅰ）在 ABC△ 中，因为 A C ，所以 a c . 因为 7cos 9B   ，所以 ( , )2B   ， 2 4 2sin 1 cos 9B B   . ………2 分 因为 21 1 4 2sin 4 22 2 9S ac B c    ， 所以 3 2a c  . ……………4 分 由余弦定理， 2 2 2 2 cos 64b a c ac B    ，所以 8b  . ……………6 分 （Ⅱ）由正弦定理得 sin sin a b A B  ， 所以 3 2 4 2 1sin sin 8 9 3 aA Bb     . ……………8 分 因为 (0, )2A  ，所以 2 2 2cos 1 sin 3A A   . ……………10 分 所以 sin( ) sin cos cos sinA B A B A B   1 7 2 2 4 2 23( )3 9 3 9 27        . ……………13 分 （18）（本小题 14 分）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之 一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水 量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （Ⅰ）从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的 绝对值小于 1 亿立方米的概率； （Ⅱ）从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设 X 为蓄水量超过 33 亿立方米 的年份个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 解：（Ⅰ）设事件 A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”， 从 2010 年到 2019 年的样本数据中随机选取连续两年共有 9 种可能，…2 分 由图表可知，事件 A 包含“2011 年和 2012 年”，“2014 年和 2015 年”，“2018 年和 2019 年”.…3 分 所以 3 1( ) 9 3P A   . ……………4 分 （Ⅱ）由表可知，2014 到 2019 年的样本数据中，蓄水量超过 33 亿立方米有 2 年，蓄水量不超过 33 亿立方米有 4 年.随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2. ……………5 分 0 2 2 4 2 6 C C 6 2( 0) C 15 5P X     ， 1 1 2 4 2 6 C C 8( 1) C 15P X    ， 2 0 2 4 2 6 C C 1( 2) C 15P X    . ……………8 分 所以随机变量 X 的分布列为： ……9 分 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 所以 2 8 1 2( ) 0 1 25 15 15 3E X        . ……………11 分 （Ⅲ）从 2016 年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. ……………14 分 三个数两两差距都相对较大 （19）（本小题 15 分） 已知函数 3( )f x x x  . （Ⅰ）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的单调区间和极值； （Ⅲ）设函数 ( )( ) 2sin f xt x x x   ， (0, )x  ，试判断 ( )t x 的零点个数，并证明你的结论. 解：含三角问题，朝阳区的最爱.之前写过一篇文这种类型题的策略，链接在文章顶部. （Ⅰ）由 3( )f x x x  ，得 2( ) 3 1f x x   ． ……………1 分 因为 (1) 0f  ， (1) 2f   ， ……………3 分 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2 2y x  . …………4 分 （Ⅱ）令 ( ) 0f x  ，得 23 1 0x   ，解得 3 3x   或 3 3x  ． 当 x 变化时， ( )f x 和 ( )f x 变化情况如下表： x 3( , )3    3 3  3 3( , )3 3  3 3 3( , )3   ( )f x  0  0  ( )f x ↗ 2 3 9 ↘ 2 3 9  ↗ ……………7 分 所以， ( )f x 的单调递减区间是 3 3( , )3 3  ，单调递增区间是 3( , )3    ， 3( , )3   ； ( )f x 在 3 3x   处取得极大值 2 3 9 ，在 3 3x  处取得极小值 2 3 9  .……9 分 （Ⅲ） (0, )x  , ( ) 0t x  ，即 2 1 2 0sin x x    ，等价于 2 1 2sin 0x x   .……10 分 设 2( ) 1 2sing x x x   , (0, )x  ，则 ( ) 2 2cosg x x x   . 当 [ , )2x   时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在区间[ , )2   上单调递增. 又 2 ( ) 3 02 4g     ， 2( ) 1 0g      ， 所以 ( )g x 在区间[ , )2   上有一个零点. ……………11 分 当 (0, )2x  时,设 ( ) ( ) 2 2cosh x g x x x   . ( ) 2 2sin 0h x x    ，所以 ( )g x 在区间 (0, )2  上单调递增. ………12 分 又 (0) 2 0g    ， ( ) 02g     ，所以存在 0 (0, )2x  ，使得 0( ) 0g x  . 所以，当 0(0, )x x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减； 当 0( , )2x x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增. ……………13 分 又 (0) 1 0g    ， 2 ( ) 3 02 4g     ， 所以 ( )g x 在区间 (0, )2  上无零点. ……………14 分 综上所述，函数 ( )t x 在定义域内只有一个零点. ……………15 分 （20）（本小题 15 分） 已知椭圆 2 2 : 14 2 x yC   . （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率和长轴长； （Ⅱ）已知直线 2y kx  与椭圆C 有两个不同的交点 ,A B ， P 为 x 轴上一点. 是否存在实数 k ， 使得 PAB△ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标； 若不存在，说明理由. 解：圆锥曲线左膀右臂：向量、斜率，说白了就是转化. （Ⅰ）由题意： 2 4a  ， 2 2b  ，所以 2a  . ……………1 分 因为 2 2 2a b c  ，所以 2 2c  ， 2c  . ……………2 分 所以 2 2 ce a   . ……………3 分 所以椭圆 C 离心率为 2 2 ，长轴长为 4 . ……………4 分 （Ⅱ）联立 2 2 2, 14 2 y kx x y     消 y 整理得： 2 2(2 1) 8 4 0k x kx    . ……………5 分 因为直线与椭圆交于 ,A B 两点，故 0＞ ，解得 2 1 2k ＞ . ……………6 分 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 2 8 2 1 kx x k    ， 1 2 2 4 2 1x x k   .……………8 分 设 AB 中点 0 0( , )G x y ， 则 1 2 0 2 4 2 2 1 x x kx k     ， 0 0 2 22 2 1y kx k     ， 故 2 2 4 2( , )2 1 2 1 kG k k    . ……………9 分 假设存在 k 和点 ( ,0)P m ，使得 PAB△ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则 PG AB ，故 1PG ABk k   ， 所以 2 2 2 2 1 14 2 1 k kk mk      ，解得 2 2 2 1 km k   ，故 2 2( 0)2 +1 kP k  ， .…………10 分 又因为 2APB   ，所以 0PA PB   . 所以 1 1 2 2( , ) ( , ) 0x m y x m y    ，即 1 1 1 2( )( ) 0x m x m y y    . 整理得 2 2 1 2 1 2( 1) (2 )( ) 4 0k x x k m x x m       . 所以 2 2 2 2 4 8( 1) (2 ) 4 02 1 2 1 kk k m mk k          ， ……………12 分 代入 2 2 2 1 km k   ，整理得 4 1k  ，即 2 1k  . ……………14 分 当 1k   时， P 点坐标为 2( ,0)3 ；当 1k  时， P 点坐标为 2( ,0)3  . 此时， PAB△ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形. ……………15 分 （21）（本小题 15 分）对于数列{ }na ，定义 1* 1 1, , 1, . n n n n n a aa a a      ≥ 设 *{ }na 的前 n 项和为 * nS . （Ⅰ）设 2n n na  ，写出 * 1a ， * 2a ， * 3a ， * 4a ； （Ⅱ）证明：“对任意 *nN ，有 * 1 1n nS a a  ”的充要条件是“对任意 *nN ，有 1| | 1n na a   ”； （Ⅲ）已知首项为 0，项数为 1( 2)m m ≥ 的数列{ }na 满足： ①对任意1 n m≤ ≤ 且 *nN ，有 1 { 1,0,1}n na a    ；② * m mS a . 求所有满足条件的数列{ }na 的个数. 解：21 题，大部分学生的目标是 10 分.第一问 4 分必得，二三问放在一起目标分 6 分.不要直接放弃. （Ⅰ）因为 1 1 2a  ， 2 1 2a  ， 3 3 8a  ， 4 1 4a  ， 5 5 32a  ， 根据题意可得 * 1 1a  ， * 2 1a   ， * 3 1a   ， * 4 1a   . ……………4 分 （Ⅱ）必要性：对 1n  ，有 * 1 2 1S a a  ，因此 * * 2 1 1 1| | | | | | 1a a S a    . ……5 分 对任意 *nN 且 2n ≥ ，有 * 1 1n nS a a  ， * 1 1n nS a a   ， 两式作差，得 * * 1 1n n n nS S a a    ，即 * 1n n na a a  ， 因此 * 1| | | | 1n n na a a    . ……………7 分 综上，对任意 *nN ，有 1| | 1n na a   . 充分性：若对任意 *nN ，有 1| | 1n na a   ，则 * 1n n na a a  ， 所以 * * * * 1 2 2 1 3 2 1 1 1( ) ( ) ( )n n n n nS a a a a a a a a a a a               . 综上，“对任意 *nN ， * 1 1n nS a a  ”的充要条件是“对任意 *nN ， 1| | 1n na a   ”. ……………10 分 （Ⅲ）构造数列{ }nb ： 1 0b  ， 1 1 1 1 , | | 1, 1, 0. n n n n n n n n a a a ab b a a            则对任意1 n m≤ ≤ 且 *nN ，有 * * n nb a ， 1| | 1n nb b   . 结合（Ⅱ）可知， * * * * * * * 1 2 1 2 1 1 1m m m m mS a a a b b b b b b             . 又 * m mS a ，因此 1m mb a  . 设 2 1 3 2 1, , , m ma a a a a a   中有 k 项为 0 ， 则 1 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )m m ma a a a a a a a         1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )m mb b b b b b b k         1mb k  ma k  . 即 1m ma a k    . 因为 1 { 1,0,1}m ma a    ，所以 0k  或1. ……………13 分 若 0k  ，则 1 0m ma a   ， 与 2 1 3 2 1, , , m ma a a a a a   中有 0 项为 0 ，即 0k  矛盾，不符题意. 若 1k  ，则 1 1m ma a    . 所以，当 1 1m ma a    ， 2 1 3 2 1, , , m ma a a a a a    中有一项为 0 ，其余 2m  项为 1 时，数列{ }na 满足条件. 2 1 3 2 1, , , m ma a a a a a    中有一项为 0 ，共 1m  种取法；其余 2m  项每项 有1或 1 两种取法， 所以，满足条件的数列{ }na 的个数为 2( 1) 2mm   . ……………15 分