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  • 2021-06-16 发布

黑龙江省实验中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题

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黑龙江省实验中学2019-2020学年度高三期末考试 文科数学试题 考试时间:120分钟 总分:150分 一、选择题(本大题共12小题,共60分)‎ ‎1. 若集合,,则集合中的元素的个数为( )‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎2. 在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为,则对应的复数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知直线平面,直线平面,给出下列命题:‎ ‎①;②;③;④.‎ 其中正确命题的序号是( )‎ A. ①②③ B. ②③④ D. ①③ D. ②④‎ ‎4. 设为所在平面内一点,若,则下列关系中正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5. 程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》卷八中第33问:“今有三角果一垛,底阔每面七个.问该若干?”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图,求得该垛果子的总数为( )‎ A. 120 B. 84 C. 56 D. 28‎ ‎6. 从装有大小形状材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球,则这两个小球同色的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知函数的最大值为3,的图象的相邻两条对称轴间的距离为2,与轴的交点的纵坐标为1,则( )‎ A. 1 B. -1 C. D. 0‎ ‎8. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率;先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1、2表示没有击中目标,3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20随机数:‎ ‎7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698‎ ‎0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281‎ 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )‎ A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7‎ ‎9. 已知双曲线的离心率为,过右焦点作渐近线的垂线,垂足为,若的面积为,其中为坐标原点,则双曲线的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 在等比数列中,,公比.若,则( )‎ A. 12 B. 11 C. 10 D. 9‎ ‎11. 已知抛物线的焦点,准线为,点在抛物线上,为与轴的交点,且,则( )‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎12. 已知函数,若函数是奇函数,且曲线在点的切线与直线垂直,则( )‎ A. -32 B. -20 C. 25 D. 42‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为______.‎ ‎14. 若,满足约束条件,则的最小值为______.‎ ‎15. 某学校高三学年有420名学生,现采用系统抽样方法抽取21人做问卷调查,将420人按1,2,…,420随机编号,则抽取的21人中,编号落入区间的人数为______.‎ ‎16. 已知是定义在上的奇函数,当时,,函数.如果,,使得,则实数的取值范围是______.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17. 在平面直角坐标系中,已知曲线:,以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线:.‎ ‎(1)试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;‎ ‎(2)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值.‎ ‎18. 在公差不为0的等差数列中,,,成公比为的等比数列,又数列满足.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎19. 如图,在直三棱柱中,,是的中点,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若异面直线和所成角的余弦值为,求四棱锥的体积.‎ ‎20. 已知在中,角,,的对边分别为,,,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求面积的最大值.‎ ‎21. 已知椭圆:的离心率为,且过点.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)是否存在直线:与相交于,两点,且满足:①与(为坐标原点)的斜率之和为2;②直线与圆相切,若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎22. 已知函数,,为自然对数的底数.‎ ‎(1)当时,证明:,;‎ ‎(2)若函数在上存在极值点,求实数的取值范围.‎ 黑龙江省实验中学2019-2020学年度高三期末考试 文科数学试题 一、选择题(本大题共12小题,共60分)‎ ‎1-5:CDCAB 6-10:CDBCB 11-12:CA ‎4. A .‎ ‎5. B 模拟程序的运行,可得:,,,‎ 执行循环体,,,;不满足判断条件,执行循环体,,,;‎ 不满足判断条件,执行循环体,,,;‎ 不满足判断条件,执行循环体,,,;‎ 不满足判断条件,执行循环体,,,;‎ 不满足判断条件,执行循环体,,,;‎ 不满足判断条件,执行循环体,,,;‎ 满足判断条件,退出循环,输出的值为84.‎ ‎6. C 记3个红球分别为,,,3个黑球分别为,,,则随机取出两个小球共有15种可能:‎ ‎,,,,,,,,,,,,,,,其中两个小球同色共有6种可能,‎ ‎,,,,,,根据古典概型概率公式可得所求概率为.‎ ‎7. D ,的最大值为3,∴,∴;‎ 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2,可得函数的最小正周期为4,即,∴,再根据的图象与轴的交点纵坐标为1,可得,∴,∴,故函数的解析式为,.‎ ‎8. B 由题设可知两次以上没击中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281,共八种,即,,故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.‎ ‎9. C 由题意可得①,可得,设,渐近线为,‎ 可得到渐近线的距离为,由勾股定理得 ‎,‎ 因为的面积为,所以②.又③,由①②③解得,,,‎ 所以双曲线的方程为.‎ ‎10. B 由等比数列的性质可知.‎ ‎11. C 过作准线的垂线,垂足为,则,‎ 在中,∵,∴,‎ ‎∴,把代入抛物线方程,解得.∴.‎ ‎12. A 因为函数是奇函数,所以,所以.由题得,∴,因为切线与直线垂直,所以,所以,所以.‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13. 14. -4 15. 7 16. ‎ ‎13. ‎ 解:由题意结合几何概型计算公式可知,至少需要等待15秒才出现绿灯的概率:.‎ ‎14. -4‎ 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,‎ 目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率,‎ 据此可知目标函数在点处取得最小值,联立直线方程:,可得点的坐标为:,‎ 据此可知目标函数的最小值为:.‎ ‎15. 7‎ 因为,而,故抽取的人中编号落入区间中的人数是7人.‎ ‎16. ‎ 由题意得:在上的值域为的值域的子集.‎ 易得,,从而,解得.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(1)(为参数);(2).‎ ‎(1)由条件得,将,代入上式得,∴直线的直角坐标方程为:.由得,∴曲线的参数方程为:(为参数).‎ ‎(Ⅱ)设点的坐标,则点到直线的距离为,‎ ‎∴当时,,此时点的坐标为.‎ ‎18.(1);(2)‎ ‎(1)公差不为0的等差数列中,,,成公比为的等比数列,‎ 可得,,可得,,化简可得,‎ 即有;‎ ‎(2)由(1)可得,;前项和 ‎.‎ ‎19.(1)见证明;(2)3‎ ‎(1)连结,交于点,连结.在直三棱柱中,四边形为平行四边形,‎ 所以为的中点,又为的中点,所以,又平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2)因为,为锐角,‎ 所以为异面直线和所成的角,所以由条件知,‎ 在中,,,,,.又平面,平面,,所以,,‎ ‎,所以.‎ ‎20.(1);(2)‎ 解:(1)由题意及正、余弦定理,‎ 整理得,∴.‎ ‎(2)由题意得,∴,‎ ‎∵,∴,∴.‎ 由余弦定理得,∴,∴,‎ 当且仅当时乖号成立.‎ ‎∴.∴面积的最大值为.‎ ‎21.(1);(2)‎ 解:(1)由已知得,,解得,,‎ ‎∴椭圆的方程为;‎ ‎(2)把代入的方程是:,‎ 设,,则,,①‎ 由已知得,‎ ‎∴,②‎ 把①代入②得,‎ 即,③‎ 又,‎ 由,得或,‎ 由直线与圆相切,则④‎ ‎③④联立得(舍去)或,∴,‎ ‎∴直线的方程为.‎ ‎22.(1)证明:当时,,则,‎ 当时,,则,又因为,‎ 所以当时,,仅时,,‎ 所以在上是单调递减,所以,即.‎ ‎(2),因为,所以,,‎ ‎①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.‎ ‎②当时,在区间上单调递增,‎ 因为,.‎ 当时,时,,‎ 所以在上单调递减,没有极值点.‎ 当时,,所以存在,使,‎ 当时,,时,,‎ 所以在处取得极小值,为极小值点.‎ 综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.‎