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- 2021-06-16 发布
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[练案54]第五讲 椭圆
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·上海浦东新区模拟)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( D )
A．k>4 B．k＝4
C．k<4 D．0b>0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所球椭圆方程为＋＝1.
3．(2020·河南中原名校模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是( B )
A． B．12
C．16(2＋) D．16(2－)
[解析] ∵椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×(2×3)×4＝12，故选B.
4．(2020·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
- 8 -
[解析] 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.
5．(2019·惠州二模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析]
如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.
6．(2020·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设P(x0，y0)，则×＝－，
化简得＋＝1，
则＝，e＝＝＝，故选D.
7．(2019·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为( A )
- 8 -
A． B．
C． D．
[解析] 直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒(c)2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝，故选A.
8．(2019·辽宁省大连市模拟)过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为( D )
A．12 B．14
C．16 D．18
[解析] 设椭圆另一个焦点为F′，则|PF|＝|F′Q|，
∴|PF|＋|FQ|＝|F′Q|＋|FQ|＝2a＝10，
又|PQ|＝2|OQ|≥8(当Q为短轴端点时取等号)
∴△PFQ周长的最小值为8.故选D.
9．(2019·广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( C )
A．2 B．3
C．6 D．8
[解析] 设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又因为点F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.
10．(2019·南昌二模)已知椭圆C：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( B )
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋x＝1，＋x＝1，两式相减得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝＝－9，∴直线AB的方程为y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0，故选B.
二、多选题
- 8 -
11．(2020·山东济宁期末)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( BC )
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
[解析] 依题意可得c＝＝，则C的焦距为2，e＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝(x＋)2＋≥>，所以圆D在C的内部，且PQ的最小值为－＝，故选BC.
12．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是( ABD )
A．a1＋c1>2(a2＋c2) B．a1－c1＝a2－c2
C．a1c2>a2c1 D．e1＝
[解析] 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1；因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝a＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－a－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；因为e1＝＝＝，所以D正确；故选ABD.
三、填空题
13．(2019·重庆一中、湖北鄂州期中)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足∠F1PF2＝120°，则|PF1|·|PF2|的值为__36__.
[解析] 由题意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b2＝36.
14．(2020·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为 － .
[解析] 设另一个焦点为F，如图所示，
- 8 -
∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC为等腰直角三角形．
∴1＋1＋＝4a，则a＝.
∴|AF|＝2a－1＝，
∴1＋()2＝4c2，
∴c＝，∴e＝＝－.
四、解答题
15．已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
(3)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析] (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则c＝，＝，
所以a＝2，b＝1，所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由消去y，
得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
则Δ>0，得m2<5.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，
|PQ|＝＝2.
解得m＝±，满足(*)，所以m＝±.
(3)显然直线x＝0不满足题设条件，
- 8 -
可设直线l：y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，
整理得(k2＋)x2＋4kx＋3＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，
由Δ＝(4k)2－4(k2＋)×3＝4k2－3>0得，
k>或k<－.①
又∠AOB为锐角，∴·>0，
∴·＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
∴＋>0，即k2<4，∴－2b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为( A )
A．－1 B．
C． D．
- 8 -
[解析] 由题意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－c，
由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2⇒e2＋2e－2＝0，
解得：e＝－1，故选A.
3．(2019·河北唐山一模)椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2垂直x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由得y＝±，由题意可知＝tan 30°＝，∴＝，即＝.解得e＝，故选D.
4．(2019·年全国)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( B )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析] 如图，由已知可设|F2B|＝n，
则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，
由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，
在△AF1B中，由余弦定理推论得
cos∠F1AB＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理得
4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.
∴2a＝4n＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，
∴所求椭圆方程为＋＝1，故选B.
5．(2019·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4，A(，0)，A1(－，0)，点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切．
- 8 -
(1)求证：|PA1|＋|PA|为定值，并求出点P的轨迹C1的方程；
(2)若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．
[解析] (1)设点P(x，y)，记线段PA的中点为M，
则两圆的圆心距d＝|OM|＝|PA1|＝2－|PA|，
所以|PA1|＋|PA|＝4>2，
故点P的轨迹C1是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，C1的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线PQ的方程为x＝my＋，
代入＋y2＝1消去x，
整理得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
△POQ的面积S＝|OA||y1－y2|
＝2·.
令t＝(0
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