人教版高中数学选修4-4评估验收卷（二）word版含解析 13页

评估验收卷(二) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列点不在直线 x＝－1－ 2 2 t， y＝2＋ 2 2 t (t 为参数)上的是( ) A．(－1，2) B．(2，－1) C．(3，－2) D．(－3，2) 解析：直线 l 的普通方程为 x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标 不适合方程 x＋y－1＝0. 答案：D 2．直线 x＝1＋1 2t， y＝－3 3＋ 3 2 t (t 为参数)和圆 x2＋y2＝16 交于 A，B 两 点，则 AB 的中点坐标为( )[来源:学.科.网] A．(3，－3) B．(－ 3，3) C．( 3，3) D．(3，－ 3) 解析：把 x＝1＋1 2t， y＝ 3（－3＋1 2t）(t 为参数)代入 x2＋y2＝16 中，得 1 ＋t＋1 4t2＋3 9－3t＋1 4t2 ＝16， 即 t2－8t＋12＝0. 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝8， 所以 AB 的中点对应的参数 t＝t1＋t2 2 ＝4. 所以 x＝1＋1 2 ×4＝3， y＝－3 3＋ 3 2 ×4＝－ 3， 即 AB 的中点坐标为(3，－ 3)． 答案：D 3．已知某曲线的参数方程是 x＝1 2 a＋1 a ， y＝1 2 a－1 a (其中 a 是参数)，则 该曲线是( ) A．线段 B．圆 C．双曲线 D．圆的一部分 解析：消参可得 x2－y2＝1， 又|x|＝1 2 |a＋1 a|≥1，当且仅当 a＝1 a 时“＝”成立，所以 x≤－1 或 x≥1，该曲线为双曲线． 答案：C 4．设 r>0，那么直线 xcos θ＋ysin θ＝r 与圆 x＝rcos φ， y＝rsin φ (φ是参 数)的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．视 r 的大小而定 解析：易知圆的圆心在原点，半径是 r，则圆心(0，0)到直线的 距离为 d＝ |0＋0－r| cos2θ＋sin2θ ＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相 切． 答案：B 5．直线 l 的参数方程为 x＝a＋t， y＝b＋t (t 为参数)，l 上的点 P1 对应的 参数是 t1，则点 P1 与点 P(a，b)之间的距离是( ) A．|t1| B．2|t1| C. 2|t1| D. 2 2 |t1| 解析：点 P1 与点 P 之间的距离为 （a＋t1－a）2＋（b＋t1－b）2＝ t21＋t21＝ 2|t1|.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 答案：C 6．已知圆的渐开线 x＝r（cos φ＋φsin φ）， y＝r（sin φ－φcos φ） (φ为参数)上有一点 的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( ) A．π B．3π C．4π D．9π 解析：把已知点(3，0)代入参数方程得 3＝r（cos φ＋φsin φ）， ① 0＝r（sin φ－φcos φ）， ② 由②可得φ＝0，则把φ＝0 代入①得 r＝3，所以基圆的面积为 9π. 答案：D 7．已知圆 C 的参数方程为 x＝－1＋cos α， y＝1＋sin α (α为参数)，当圆心 C 到直线 kx＋y＋4＝0 的距离最大时，k 的值为( ) A.1 3 B.1 5 C．－1 3 D．－1 5 解析：圆 C 的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心 C(－1，1)．直线 kx＋y＋4＝0 过定点 A(0，－4)，故 当 CA 与直线 kx＋y＋4＝0 垂直时，圆心 C 到直线的距离最大，因为 kCA＝－5，所以－k＝1 5 ，所以 k＝－1 5. 答案：D 8．曲线 x＝－2＋5t， y＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( ) A. 0，2 5 、 1 2 ，0 B. 0，1 5 、 1 2 ，0 C．(0，－4)、(8，0) D. 0，5 9 、(8，0) 解析：当 x＝0 时，t＝2 5 ，而 y＝1－2t，即 y＝1 5 ， 故曲线与 y 轴的交点为 0，1 5 ； 当 y＝0 时，t＝1 2 ，而 x＝－2＋5t，即 x＝1 2 ，故曲线与 x 轴的交 点为 1 2 ，0 .[来源:Z§xx§k.Com] 答案：B 9．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建 立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方 程是 x＝t＋1， y＝t－3 (t 为参数)，圆 C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( ) A. 14 B．2 14 C. 2 D．2 2 解析：由题意得，直线 l 的普通方程为 y＝x－4， 圆 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4， 圆心到直线 l 的距离 d＝|2－0－4| 2 ＝ 2， 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 22－（ 2）2＝2 2.[来源:学科网] 答案：D 10．若点 P(3，m)在以点 F 为焦点的抛物线 x＝4t2， y＝4t (t 为参数) 上，则|PF|等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：消参得抛物线的普通方程为 y2＝4x，所以其焦点 F(1，0)， 准线方程为 x＝－1， 由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4. 答案：C 11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是椭圆x2 2 ＋y2 3 ＝1 上的一个动点，则 S＝x＋y 的取值范围为( ) A．[ 5，5] B．[－ 5，5] C．[－5，－ 5] D．[－ 5， 5] 解析：因椭圆x2 2 ＋y2 3 ＝1 的参数方程为 x＝ 2cos φ， y＝ 3sin φ (φ为参数)， 故可设动点 P 的坐标为( 2cos φ， 3sin φ)，因此 S＝x＋y＝ 2cos φ ＋ 3sin φ＝ 5( 2 5cos φ＋ 3 5sin φ)＝ 5sin(φ＋γ)，其中 tan γ＝ 6 3 ，所 以 S 的取值范围是[－ 5， 5 ]，故选 D. 答案：D 12．已知直线 l 的参数方程是 x＝1＋1 2t， y＝ 3 2 t (t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为ρ ＝2cos θ＋4sin θ，则直线 l 被圆所截得的弦长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意知，直线 l 的普通方程为 3x－y－ 3＝0， 由极坐标与直角坐标的关系知， 圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.设直线 l 与圆 C 交于 A、 B 两点，AB 的中点为 M，则在 Rt△AMC 中， |AC|＝ 5，|CM|＝| 3－2－ 3| 3＋1 ＝1， 所以|AM|＝ 5－1＝2， 所以|AB|＝2|AM|＝4.故截得的弦长为 4. 答案：D 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填 在题中横线上) 13．曲线 C： x＝2cos θ， y＝3sin θ (θ为参数)上的点到其焦点的距离的最 小值为________． 解析：曲线 C 的普通方程为x2 4 ＋y2 9 ＝1，所以 a＝3，b＝2，c＝ a2－b2＝ 5，所以椭圆 C 上的点到焦点的距离的最小值为 3－ 5. 答案：3－ 5 14 ． 在 直 角 坐 标 系 Oxy 中 ， 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 是 x＝cos θ， y＝sin θ＋1(θ为参数)，若以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为____________________． 解析：由题意知曲线 C：x2＋(y－1)2＝1， 即 x2＋y2－2y＝0，由 x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ得 ρ2－2ρsin θ＝0，化简得ρ＝2sin θ. 答案：ρ＝2sin θ 15．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数 方程中，使圆的半径最大的摆线上 ，参数φ＝π 4 对应的点的坐标为 __________________． 解析：摆线方程为 x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ） (φ为参数)， 将点(π，0)代入可得 π＝r（φ－sin φ）， 0＝r（1－cos φ） 得 cos φ＝1，则φ＝2kπ，k∈Z. 故 r＝ π 2kπ ＝ 1 2k(k∈Z)，又 r>0，所以 k∈N*， 当 k＝1 时，r 最大为1 2 ， 再把φ＝π 4 代入摆线方程得 x＝1 2 π 4 －sin π 4 ， y＝1 2 1－cos π 4 ， 故 x＝π－2 2 8 ， y＝2－ 2 4 . 答案： π－2 2 8 ，2－ 2 4 16．在直角坐标系 Oxy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线 C1： x＝3＋cos θ， y＝4＋sin θ (θ为参数) 和曲线 C2：ρ＝1 上，则|AB|的最小值为________． 解析：因为 C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1， 所以两圆圆心之间的距离为 d＝ 32＋42＝5. 因为 A 在曲线 C1 上，B 在曲线 C2 上， 所以|AB|min＝5－2＝3. 答案：3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17 ． ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 某 圆 的 极 坐 标 方 程 为 ρ2 － 4 2ρcos θ－π 4 ＋6＝0. (1)求圆的直角坐标方程和一个参数方程； (2)设 P(x，y)为圆上任意点，求 xy 的最大值，最小值． 解：(1)圆的极坐标方程可化为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化 为直角坐标方程为 x2＋y2－4x－4y＋6＝0，变为标准方程为(x－2)2 ＋(y－2)2＝2，圆心为(2，2)，半径为 2. 故其一个参数方程为 x＝2＋ 2cos θ， y＝2＋ 2sin θ (θ为参数)． (2)由(1)可得 xy＝(2＋ 2cos θ)(2＋ 2sin θ)＝ 4＋2 2(sin θ＋cos θ)＋2sin θcos θ. 令 sin θ＋cos θ＝t，t∈[－ 2， 2]， 则 2sin θcos θ＝t2－1， 则 xy＝t2＋2 2t＋3＝(t＋ 2)2＋1，t∈[－ 2， 2]， 故当 t＝－ 2时，xy 取得最小值 1， 当 t＝ 2时，xy 取得最大值 9. 18．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参 数方程为 x＝2＋2t， y＝1－t (t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为 x＝2cos θ， y＝sin θ (θ 为参数)，试在椭圆上求一点 P，使得点 P 到直线 l 的距离最小． 解：直线 l 的普通方程为 x＋2y－4＝0，设 P(2cos θ，sin θ)， 则点 P 到直线 l 的距离为 d＝|2cos θ＋2sin θ－4| 5 ＝ 1 5 4－2 2sin θ＋π 4 ， 所以当 sin θ＋π 4 ＝1 时，d 有最小值． 此时 sin θ＝sin θ＋π 4 －π 4 ＝ sin θ＋π 4 cosπ 4 －cos θ＋π 4 sinπ 4 ＝ 2 2 . cos θ＝cos θ＋π 4 －π 4 ＝ cos θ＋π 4 cosπ 4 ＋sin θ＋π 4 sinπ 4 ＝ 2 2 . 所以点 P 的坐标为 2， 2 2 ， 故所求点的坐标为 2， 2 2 . 19．(本小题满分 12 分)已知曲线 C：x2 4 ＋y2 9 ＝1，直线l：x＝2＋t， y＝2－2t (t 为参数)．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A， 求|PA|的最大值与最小值． 解：(1)曲线 C 的参数方程为 x＝2cos θ， y＝3sin θ (θ为参数)． 直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 5 5 |4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA|＝ d sin 30°＝2 5 5 |5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且 tan α＝4 3. 当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 5 5 . 当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 5 5 . 20．(本小题满分 12 分)已知曲线 C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ， 设直线 l 的参数方程是 x＝－3 5t＋2， y＝4 5t (t 为参数)． (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 是曲线 C 上一动点，求|MN| 的最大值． 解：(1)曲线 C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ. 又 x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0. (2)将直线 l 的参数方程化为普通方程， 得 y＝－4 3(x－2)． 令 y＝0，得 x＝2，即 M 点的直角坐标为(2，0)． 因为曲线 C 为圆，圆心 C 的直角坐标为(0，1)， 半径 r＝1，则|MC|＝ 5. 所以|MN|≤|MC|＋r＝ 5＋1. 故|MN|的最大值为 5＋1. 21．(本小题满分 12 分)已知直线 l： x＝m＋tcos α， y＝tsin α (t 为参数) 经过椭圆 C： x＝2cos φ， y＝ 3sin φ (φ为参数)的左焦点 F. (1)求 m 的值； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求|FA|·|FB|的最大值，最 小值． 解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1， 则 F 的坐标为(－1，0)， 又直线 l 过点(m，0)，故 m＝－1. (2)把 x＝m＋tcos α，y＝tsin α代入椭圆 C 的普通方程，化简得 (3cos2α＋4sin2α)t2－6tcos α－9＝0， 设点 A，B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1，t2， 则|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝ 9 3cos2α＋4sin2α ＝ 9 3＋sin2α ， 故当 sin α＝0 时，|FA|·|FB|取最大值 3，当 sin α＝1 时，|FA|·|FB| 取最小值9 4. 22．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中，已知两圆 C1：(x －1)2＋y2＝25 和 C2：(x＋1)2＋y2＝1，动圆在 C1 内部且和圆 C 1 相内 切并和圆 C2 相外切，动圆圆心的轨迹为 E. (1)求 E 的标准方程； (2)点 P 为 E 上一动点，点 Q 为坐标原点，曲线 E 的右焦点为 F， 求|PO|2＋|PF|2 的最小值． 解：(1)设动圆圆心 D(x，y)，半径为 r， 由题意|DC1|＝5－r，|DC2|＝1＋r， 所以|DC1|＋|DC2|＝6>|C1C2|＝2， 所以 D 点的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆． 其中 2a＝6，c＝1， 所以 a＝3，b2＝a2－c2＝8， 故 D 点的轨迹方程为x2 9 ＋y2 8 ＝1. (2)易知 F(1，0)，由点 P 在 E 上，设 P(3cos θ，2 2sin θ)，θ∈[0， 2π)． 则|PF|2＝(3cos θ－1)2＋(2 2sin θ)2＝ 9cos2θ－6cosθ＋1＋8sin2θ＝cos2θ－6cos θ＋9. |PO|2＝(3cos θ)2＋(2 2sin θ)2＝cos2θ＋8， 故|PF|2＋|PO|2＝2cos2θ－6cos θ＋17＝ 2 cos θ－3 2 2＋25 2 ， 因为 cos θ∈[－1，1]，当 cos θ＝1 时，|PF|2＋|PO|2 取最小值为 13.