高中数学第二章数列2-2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式达标检测含解析新人教A版必修5 5页

等差数列 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是(　　)‎ A．n B．3n＋11‎ C．n＋4 D．n＋3‎ 解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.‎ 答案：D ‎2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是(　　)‎ A．bn＝a B．bn＝an＋n2‎ C．bn＝an＋an＋1 D．bn＝nan 解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满足：bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.‎ 答案：C ‎3．已知等差数列{an}中，an>an－1(n≥2)，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)‎ A．－1 B．0 ‎ C． D． 解析：法一　设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为an>an－1(n≥2)，‎ 所以d>0.‎ 由题意可知 即 解得d2＝，又d>0，所以d＝，所以a1＝1－2d＝0，故选B.‎ 法二　设等差数列{an}的公差为d，‎ 因为a3＝1，所以a2＋a4＝2，又a2a4＝，所以a2＝，a4＝或a2＝，a4＝.又因为an>an－1(n≥2)，所以a2＝，a4＝，‎ - 5 -‎ 所以d＝×＝，又a2＝a1＋d.‎ 所以a1＝a2－d＝－＝0，故选B.‎ 答案：B ‎4．2 018是等差数列4，6，8，…的(　　)‎ A．第1 005项 B．第1 006项 C．第1 007项 D．第1 008项 解析：由题易知通项an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，‎ 令2 018＝2n＋2，所以n＝1 008.‎ 答案：D ‎5．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　)‎ A．0 B．log25 C．32 D．0或32‎ 解析：依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，‎ 所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，‎ 所以(2x)2－4·2x－5＝0，‎ 所以(2x－5)(2x＋1)＝0，‎ 所以2x＝5或2x＝－1(舍)，‎ 所以x＝log2 5.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．‎ 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，‎ 又因为Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，‎ 所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．‎ 答案：1或2‎ ‎7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．‎ 解析：设公差为d，因为－＝－＝＝2d，‎ 所以d＝.‎ 同理，－＝4d＝4×＝，‎ 所以a10＝.‎ - 5 -‎ 答案： ‎8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．‎ 解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，‎ bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，‎ 令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.‎ 答案：5‎ 三、解答题 ‎9．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝.‎ 当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1；‎ 当n＝4，5时，2≤＜3，bn＝2；‎ 当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3；‎ 当n＝9，10时，4≤＜5，bn＝4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.‎ ‎10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3的值．‎ ‎(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列？请说明理由．‎ 解：(1)a2＝，a3＝.‎ ‎(2)存在．理由：假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，则， - 5 -‎ ‎，成等差数列，所以＝＋，所以＝＋，解得λ＝1.‎ 因为－＝－＝－＝＝－，‎ 又＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列．‎ B级　能力提升 ‎1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)‎ A．0 B．37 C．100 D．－37‎ 解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，‎ 则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，‎ 所以{an＋bn}为等差数列，‎ 又a1＋b1＝a2＋b2＝100，‎ 所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.‎ 答案：C ‎2．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，)都在直线x－y－＝0上，则an＝________．‎ 解析：由题意得－＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝n，an＝3n2.‎ 答案：3n2‎ ‎3．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝4－，其中n∈N*.设bn＝.‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明：因为bn＋1＝＝＝，‎ 所以bn＋1－bn＝－＝＝，‎ b1＝＝，‎ 所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．‎ - 5 -‎ ‎(2)由(1)知构成以＝为首项，d＝为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)·＝，‎ 所以an＝2＋，所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n∈N*)．‎ - 5 -‎