【数学】2019届高考一轮复习北师大版理3-4利用导数证明不等式学案 8页

第4讲　利用导数证明不等式 ‎　　　　　　直接将不等式转化为函数的最值 ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.‎ ‎【解】　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.当a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 当a<0，则当x∈(0，－)时，f′(x)>0；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0.故f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为f(－)＝ln(－)－1－.‎ 所以f(x)≤－－2等价于ln(－)－1－≤－－2，即ln(－)＋＋1≤0.设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln(－)＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.‎ 将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式．　 ‎ ‎　　　　　　将不等式转化为两个函数的最值 进行比较 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知f(x)＝xln x.‎ ‎(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；‎ ‎(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．‎ ‎【解】　(1)由f(x)＝xln x，x>0，得f′(x)＝ln x＋1，‎ 令f′(x)＝0，得x＝.‎ 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ ‎①当0－(x∈(0，＋∞))．‎ 由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，‎ 当且仅当x＝时取到．‎ 设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，‎ 则m′(x)＝，‎ 由m′(x)<0得x>1时，m(x)为减函数，‎ 由m′(x)>0得0－成立．‎ 在证明的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明．　 ‎ ‎　　　　　　构造函数证明不等式 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；‎ ‎(3)设c＞1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.‎ ‎【解】　(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1.‎ 当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．‎ ‎(2)证明：由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.‎ 所以当x≠1时，ln x＜x－1.‎ 故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln ＜－1，即 ‎1＜＜x.‎ ‎(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，‎ 则g′(x)＝c－1－cxln c，令g′(x)＝0，‎ 解得x0＝.‎ 当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，‎ g′(x)＜0，g(x)单调递减．‎ 由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.‎ 所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.‎ 若证明f(x)0)在x＝0处取极值．‎ ‎(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；‎ ‎(2)证明1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎【解】　(1)因为x＝0是函数极值点，所以f′(0)＝0，‎ 所以a＝1.‎ f(x)＝ex－x－1，易知f′(x)＝ex－1.‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，‎ 故极值f(0)是函数最小值．‎ ‎(2)证明：由(1)知ex≥x＋1.‎ 即ln(x＋1)≤x，当且仅当x＝0时，等号成立，‎ 令x＝(k∈N*)，‎ 则>ln，即>ln，‎ 所以>ln(1＋k)－ln k(k＝1，2，…，n)，‎ 累加得1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少2个问号，已知的不等式常由第一个问号根据待证式的待征而得到．‎ ‎(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex>x＋1可化为ln(x＋1)f(e)>f(3)　　　 B．f(3)>f(e)>f(2)‎ C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2)‎ 解析：选D.f(x)的定义域是(0，＋∞)，‎ f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.‎ 所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)．故选D.‎ ‎2．若0ln x2－ln x1 B．ex2－ex1x1ex2 D．x2ex1x1ex2，故选C.‎ ‎3．设函数f(x)＝e2x－aln x.‎ ‎(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；‎ ‎(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋aln.‎ 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x＞0)．‎ 当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点；‎ 当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，‎ 因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，‎ 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜且b＜时，f′(b)＜0，‎ 故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点．‎ ‎(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.‎ 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．‎ 由于2e2x0－＝0，‎ 所以f(x0)＝＋2ax0＋aln ≥2a＋aln .‎ 故当a＞0时，f(x)≥2a＋aln .‎ ‎4．(2018·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝xln x＋ax，a∈R，函数f(x)的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直．‎ ‎(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求证：ex>f′(x)．‎ 解：(1)由题易知，f′(x)＝ln x＋1＋a，x>0，且f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率k＝2，‎ 所以f′(1)＝ln 1＋1＋a＝2，所以a＝1.‎ 所以f′(x)＝ln x＋2，‎ 当x>e－2时，f′(x)>0，‎ 当00，‎ 因为g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，‎ 且g′(1)＝e－1>0，‎ g′()＝e－2<0，‎ 所以g′(x)在(，1)上存在唯一的零点t，‎ 使得g′(t)＝et－＝0，‎ 即et＝(t时，g′(x)>g′(t)＝0，‎ 所以g(x)在(0，t)上单调递减，在(t，＋∞)上单调递增，‎ 所以x>0时，g(x)≥g(t)＝et－ln t－2＝－ln －2＝t＋－2≥2－2＝0，‎ 又0，即ex>f′(x)．‎ ‎1．已知函数f(x)＝aln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)当x>0且x≠1时，求证：f(x)>.‎ 解：(1)函数f(x)＝aln x＋的导数为f′(x)＝－，‎ 曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2，‎ 可得f(1)＝2b＝2，f′(1)＝a－b＝0，‎ 解得a＝b＝1.‎ ‎(2)证明：当x>1时，f(x)>，‎ 即为ln x＋1＋>ln x＋，‎ 即x－－2ln x>0，‎ 当0，‎ 即为x－－2ln x<0，‎ 设g(x)＝x－－2ln x，g′(x)＝1＋－＝≥0，‎ 可得g(x)在(0，＋∞)上递增，‎ 当x>1时，g(x)>g(1)＝0，‎ 即有f(x)>，‎ 当0.‎ 综上可得，当x>0且x≠1时，f(x)>都成立．‎ ‎2．已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋>ln(n＋1)都成立．‎ 解：(1)因为f′(x)＝－2x－1，‎ 又因为x＝0为f(x)的极值点．‎ 所以f′(0)＝－1＝0，所以a＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.‎ 因为f′(x)＝－2x－1＝－.‎ 令f′(x)>0得x<0.‎ 当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表．‎ x ‎(－1，0)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极大值  所以f(x)≤f(0)＝0，即ln(x＋1)≤x2＋x(当且仅当x＝0时取等号)．‎ 令x＝，则ln<＋，‎ 即ln<，‎ 所以ln＋ln＋…＋ln<2＋＋…＋.‎ 即2＋＋＋…＋>ln(n＋1)．‎