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- 2021-06-16 发布
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第四章 三角函数、解三角形
第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.若sin(π2+θ)<0,cos(π2 - θ)>0,则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.[2020贵阳市高三摸底测试]已知角α的顶点与原点 O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P( - 35, - 45),则sin(π - α)=( )
A. - 45 B.45 C. - 35 D.35
3.[2020惠州市二调]若sin(π - α)=13,且π2≤α≤3π2,则sin 2α的值为( )
A. - 429 B. - 229 C.229 D.429
4.[2020四川五校联考]已知sin α+3cos α=2,则tan α=( )
A.33 B.3 C.-33 D. - 3
5.[2020洛阳市第一次联考]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,且sin α<0,
又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=10(O为坐标原点),则m - n等于( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
6.[2019合肥市高三调研]已知tan α=3,则sin(π2 - α)·cos(π2+α)的值为( )
A.310 B. - 310 C.35 D. - 35
7.[2020长春市第一次质量监测]已知sin α2 - cos α2=15,则sin α= .
8.[2020大同市高三调研]已知sin(θ - π6)=12,且θ∈(0,π2),则cos(θ - π3)= .
9.[2019蓉城名校高三联考]sin( - 390°)= .
10.[2019湖南省邵阳市高三大联考]已知tan(α - π3)=23,则cos2(α - π3)= .
11.[2020长春市第一次质量监测]中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中沿圆的半径剪下的扇形面制作而成的,
设扇形面的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇面的圆心角的弧度数为( )
A.(3 - 5)π B.(5 - 1)π C.(5+1)π D.(5 - 2)π
12.[2019湖北武汉调研]若角α满足sinα1-cosα=5,则1+cosαsinα=( )
A.15 B.52 C.5或15 D.5
13.[2019河南八市重点高中联考]已知点(3,a)和点(2a,4)分别在角β和角β - 45°的终边上,则实数a的值是( )
A.-1 B.6 C.6或-1 D.6或1
14.[2019陕西宝鸡二模]已知曲线f (x)=23x3在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为α,则sin2α-cos2α2sinαcosα+cos2α=( )
A.12 B.2 C.35 D.-38
15.[2019安徽省池州中学第二次质量检测]已知cos(α - π3)=45,则sin(α+7π6)的值是 .
16.[2019百校联考]已知cos(α+π8)=210,α为锐角,则cos(2α - π4)= .
第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.B 因为sin(π2+θ)=cos θ<0,cos(π2 - θ)=sin θ>0,所以θ是第二象限角,故选B.
2.A 根据题意知sin α= - 45,所以sin(π - α)=sin α= - 45.故选A.
3.A 由题意得sin(π - α)=sin α=13,又π2≤α≤3π2,所以cos α= - 1-sin2α= - 223,所以sin 2α=2sin αcos α=2×13×( - 223)= - 429,故选A.
4.A 解法一 由sinα=2-3cosα,sin2α+cos2α=1得4cos2α - 43cos α+3=(2cos α - 3)2=0,得cos α=32,则sin α=12,所以tan α=sinαcosα=33,故选A.
解法二 sin α+3cos α=2(12sin α+32cos α)=2sin(α+π3)=2,故sin(α+π3)=1,可得α+π3=2kπ+π2,k∈Z,即α=2kπ+π6,k∈Z,所以tan α=tan(2kπ+π6)=tanπ6=33,故选A.
5.A 因为P(m,n)在直线y=3x上,所以n=3m ①,又sin α<0,所以m<0,n<0.由|OP|=10,得m2+n2=10 ②.联立①②并结合m<0,n<0,可得m= - 1,n= - 3,所以m - n=2,故选A.
6.B 解法一 因为tan α=3,所以sin(π2 - α)·cos(π2+α)= - cos αsin α=-cosαsinαcos2α+sin2α=-tanα1+tan2α= - 310,故选B.
解法二 因为tan α=3,所以sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=110,所以sin(π2 - α)·cos(π2+α)= - cos αsin α= - 3cos2α= - 310,故选B.
7.2425 由题意得(sin α2 - cos α2)2=(15)2,整理得1 - 2sin α2·cos α2=125,即sin α=2425.
8.1 因为θ∈(0,π2),所以θ - π6∈( - π6,π3).由sin(θ - π6)=12,得θ - π6=π6,所以θ=π3,则cos(θ - π3)=cos(π3 - π3)=1.
9. - 12 sin( - 390°)= - sin 390°= - sin 30°= - 12.
10.913 cos2(α - π3)=cos2(α-π3)sin2(α-π3)+cos2(α-π3)=1tan2(α-π3)+1=913.
11.A 设扇面的圆心角的弧度数为θ,其所在圆的半径为r,则S1S2=12r2θπr2-12r2θ=5-12,解得θ=(3 - 5)π,故选A.
【方法点拨】 弧度制下弧长l=αr,扇形的面积公式是S=12lr=12αr2,其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角,r是半径.
12.D 解法一 由sinα1-cosα=5,
得1+cosαsinα=(1+cosα)(1-cosα)sinα(1-cosα)
=sin2αsinα(1-cosα)
=sinα1-cosα
=5.故选D.
解法二 因为sinα1-cosα·sinα1+cosα=sin2α1-cos2α=sin2αsin2α=1,
所以1+cosαsinα=sinα1-cosα=5.
故选D.
【解后反思】 解决三角函数化简求值问题时,要灵活利用同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1.如本题的解法一,分子乘以(1 - cos α)后得sin2α,化简易得结果;解法二利用已知式与待求式的“倒数”相乘积为1进行巧解.
13.B 解法一 由任意角的三角函数的定义得tan β=a3,tan(β - 45°)=42a.由tan(β - 45°)=tanβ-11+tanβ,得42a=a3-11+a3,整理得a2 - 5a - 6=0,解得a=6或a= - 1.
当a= - 1时,点(3, - 1)在第四象限,点( - 2,4)在第二象限,产生矛盾,舍去;
当a=6时,点(3,6)在第一象限,点(12,4)也在第一象限,符合题意.故选B.
解法二 当a<0时,两个角的终边分别在第四象限和第二象限,它们的夹角不可能为45°,排除A,C.当a=6时,如图D 4 - 1 - 2所示,显然满足题意.当a=1时,如图D 4 - 1 - 3所示,显然不满足题意,舍去,排除D.选B.
图D 4 - 1 - 2 图D 4 - 1 - 3
【解后反思】 解决本题的关键是准确把握两个角之间的关系——两角之差为45°.点的坐标中含有参数a,点的位置随着a的取值变化而变化,那么角的终边所在的位置也随着变化.本题解法一利用两角差的正切公式求出a的值后,一定要把a的值代入检验.
14.C 由f ' (x)=2x2,得tan α=f ' (1)=2,所以sin2α-cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α-12tanα+1=35.故选C.
15. - 45 sin(α+7π6)= - sin(α+π6)= - sin(α - π3+π2)= - cos(α - π3)= - 45.
16.725 因为cos(α+π8)=210,α为锐角,所以sin(α+π8)=7210,则cos(2α - π4)=cos[2(α+π8) - π2]=sin 2(α+π8)=2sin(α+π8)cos(α+π8)=2×7210×210=725.
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