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- 2021-06-16 发布
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核心素养测评二十三 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2020·佛山模拟)将函数y=sin的图像向右平移个单位后,所得图像对应的函数解析式为 ( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选D.所得图像对应的函数解析式为y=sin,即y=sin.
2.(2020·长治模拟) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则φ的值为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.由题意,得=-=,所以T=π,由T=,得ω=2,由图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又因为f=sin=0,-<φ<,所以φ=.
3.函数y=2cos的部分图像大致是 ( )
【解析】选A.由y=2cos可知,函数的最大值为2,所以排除D;又因为函数图像过点,所以排除B;又因为函数图像过点,所以排除C.
4.(2020·茂名模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图像如图所示,为了得到g(x)=Asin3x的图像,只需将f(x)的图像 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选C.由选项知只与左右平移有关,没有改变形状,故ω=3,又函数图像经过点,即对应“五点法”作图中的第3个点,所以3×+φ=π,|φ|<,所以φ=,f(x)=Asin,故g(x)=Asin3x=Asin,所以只需将f(x)的图像向右平移个单位,即可得g(x)的图像.
5.函数f (x)=3sinx-lox的零点个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.f (x)零点个数即为y=3sinx与y=lox两图像的交点个数,如图,y=3sinx与y=lox有5个交点.
6.(2019·天津高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f= ( )
A.-2 B.- C. D.2
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;把其图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,
由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
7.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则 世纪金榜导学号( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=- D.ω=,φ=
【解析】选A.由题意其中k1,k2∈Z,所以ω=(k2-2k1)-,又T=>2π,所以0<ω<1,所以ω=,φ=2k1π+π,由<π得φ=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.y=cos(x+1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是 .
【解析】相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,所以它们之间的距离为.
答案:
9.(2019·遵义模拟)函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则将y=f(x)的图像向右平移个单位后,得到的图像解析式为 .
【解析】由T=-得周期T=π,于是ω=2,由图像知A=1,根据五点作图法有ω·+φ=,解得φ=,所以f(x)=sin,将y=f(x)的图像向右平移个单位后,得到的图像解析式为y=sin=sin.
答案:y=sin
10.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b,A>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为 元. 世纪金榜导学号
【解析】作出函数简图如图:
三角函数模型为y=Asin(ωx+φ)+b,
由已知A=2 000,b=7 000,T=2×(9-3)=12,所以ω==. 将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点,则×3+φ=,φ=0,f(x)=2 000sinx+7 000(1≤x≤12,x∈N*),所以f(7)=2 000×sin+7 000=6 000. 所以7月份的出厂价格为6 000元.
答案:6 000
(15分钟 35分)
1.(5分)(2020·阜阳模拟) 将函数f(x)=tan(0<ω<10)的图像向右平移个单位长度后与函数f(x)的图像重合,则ω= ( )
A.9 B.6 C.4 D.8
【解析】选B.函数f(x)=tan的图像向右平移个单位长度后所得图像对应的函数解析式为y=tan=tan,因为平移后的图像与函数f(x)的图像重合,所以-+=+kπ,k∈Z,解得ω=-6k,k∈Z.又因为0<ω<10,所以ω=6.
2.(5分)(2019·德州模拟)若函数f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0,x∈R,又f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为3π,则ω的值为 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选A.因为f(x)=sin ωx-cos ωx,所以f(x)=2sin,f(x)最大值为2,因为f(x1)=2,f(x2)=0,|x1-x2|的最小值为3π,所以f(x)周期为T=12π,由周期公式得T==12π,因为ω>0,所以ω=.
3.(5分)(2020·海口模拟)已知函数f(x)=2sin cos +2cos2-1(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)= ( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【解析】选B.f(x)=2sin cos +2cos2-1=sin ωx+
cos ωx=2sin.
由T==π得ω=2,所以f(x)=2sin.作出f(x)在x∈上的图像如图:
由图知,x1+x2=,
所以f(x1+x2)=2sin=2×=1.
4.(10分)(2020·安康模拟) 函数f(x)=sin(ωx+φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将y=f(x)的图像先向左平移个单位长度,再将图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g(x). 世纪金榜导学号
(1)求g(x)的解析式.
(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】(1)因为=-=,所以T=π,ω==2,
又因为sin=1,|φ|<,
所以φ=-,所以f(x)=sin,
将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得
y=sin=sin的图像,
再将y=sin的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)=sin的图像.
所以g(x)=sin.
(2)因为x∈,所以4x+∈,
当4x+=时,x=,
所以g(x)在上为增函数,在上为减函数,所以g(x)max=g=1,
又因为g(0)=,g=-,所以g(x)min=-,故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和-.
5.(10分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24). 世纪金榜导学号
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【解析】(1)因为f(t)=10-2
=10-2sin,又0≤t<24,
所以≤t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
所以f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
所以实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)由已知,当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)=10-2sin,
所以10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,
所以
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