2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 4 函数的性质（一） 8页

四、函数的性质（一）‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数y=，x∈（m，n]最小值为0，则m的取值范围是（　　）‎ A．（1，2） B．（﹣1，2） C．[1，2） D．[﹣1，2）‎ ‎3．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0] B．[﹣πlnπ，0] C．[﹣，] D．[﹣，﹣ ]‎ ‎4．函数的零点所在的区间是（　　）‎ A． B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）‎ ‎5．已知x1，x2是方程e﹣x+2=|lnx|的两个解，则（　　）‎ A．0＜x1x2＜ B．＜x1x2＜‎1 ‎C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e ‎6．如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的定义域是（　　）‎ 8‎ A．[﹣，] B．[﹣，﹣）∪（，） C．[﹣3，﹣1）∪（1，3] D．[﹣，﹣）∪（，]‎ ‎8．函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（　　）‎ A．（0，3） B．（1，4） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）‎ ‎9．若定义在R上的函数为奇函数，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．‎0 ‎C．1 D．2‎ ‎10．已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（　　）‎ A．2x+1 B．2x﹣‎1 ‎C．2x﹣3 D．2x+7‎ ‎11．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（　　）‎ A．（0，3） B．（1，3） C．（1，+∞） D．‎ ‎12．函数f（x）定义在实数集R上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时f（x）=log2x，则有（　　）‎ A．f（）＜f（2）＜f（） B．f（）＜f（2）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（2） D．f（2）＜f（）＜f（‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为　 　．‎ ‎14．设f（x）=，则f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）的值为　 　．‎ ‎15．设函数f（x）=（x+1）（2x+‎3a）为偶函数，则a=　 　．‎ ‎16．已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共2小题）‎ 8‎ ‎17．已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．‎ ‎18．已知函数f（x）=9x﹣‎2a•3x+3：‎ ‎（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；‎ ‎（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；‎ ‎（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 8‎ 答案：‎ 四、函数的性质一 选择题（共12小题）‎ ‎1．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；‎ B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；‎ C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；‎ D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．　‎ ‎2．【解答】解：函数y===﹣1，且在x∈（﹣1，+∞）时，函数y是单调递减函数，在x=2时，y取得最小值0；根据题意x∈（m，n]时y的最小值为0，∴m的取值范围是﹣1≤m＜2．故选：D．　‎ ‎3．【解答】解：设x∈[1，π]，‎ 则∈[，1]，因为f（x）=f（）且当x∈[，1]时，‎ f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx，‎ 则f（x）=，‎ 在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：‎ 因为函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，‎ 所以直线y=ax与函数f（x）的图象有交点，‎ 由图得，直线y=ax与y=f（x）的图象相交于点（，﹣lnπ），‎ 即有﹣lnπ=，解得a=﹣πlnπ．由图象可得，实数a的取值范围是：[﹣πlnπ，0]故选：B．‎ ‎　‎ 8‎ ‎4．【解答】解：∵函数（x＞0），‎ ‎∴y′=+1+＞0，‎ ‎∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；‎ 又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，‎ x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，‎ 因此函数的零点在（2，e）内．故选：C．‎ ‎　5．【解答】解：设y=e﹣x+2，y=|lnx|，‎ 分别作出两个函数的图象如图：不妨设x1＜x2，则由图象知0＜x1＜1，x2＞1，‎ 则+2=|lnx1|=﹣lnx1，+2=|lnx2|=lnx2，‎ 两式相减得﹣=lnx2+lnx1=ln（x1x2）∵y=e﹣x为减函数，‎ ‎∴＜，即﹣=ln（x1x2）＜0，则0＜x1x2＜1，‎ ‎∵2＜lnx2＜﹣lnx1＜3，∴﹣3＜lnx1＜﹣2，可得＜x1＜，‎ e2＜x2＜e3，则•e2＜x1x2＜•e3，即＜x1x2＜e，∵0＜x1x2＜1，‎ 综上＜x1x2＜1；故选：B．‎ ‎6．【解答】解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=2x﹣3为递增函数，‎ ‎（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（﹣∞，4）上不可能是单调递增的，故不符合；‎ ‎（3）当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴，‎ 解得a，又a＜0，故．综合得，故选D．　‎ 8‎ ‎7．【解答】解：函数，∴（x2﹣2）≥0，∴0＜x2﹣2≤1，∴2＜x2≤3，解得﹣≤x＜﹣或＜x≤；‎ ‎∴函数y的定义域是[﹣，﹣）∪（，]．故选：D　‎ ‎8．【解答】解：函数f（x）=（x﹣3）ex，∴f′（x）=ex+（x﹣3）ex=（x﹣2）ex，令f′（x）=0，解得x=2；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数，‎ 所以f（0）=0，即=0，所以a=1；故选C．‎ ‎10．【解答】解：∵f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），‎ ‎∴g（x+2）=2x+3=2（x+2）﹣1，∴g（x）=2x+3=2x﹣1故选B ‎11．【解答】解：由题意得：‎ ‎，解得：≤a＜3，故选：D．‎ 12． ‎【解答】解：∵x≥1时f（x）=log2x，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（2﹣x）=f（x），∴f（）=f（2﹣）=f（），‎ f（）=f（2﹣）=f（），又1＜＜2，∴f（）＜f（）＜f（2），即f（）＜f（）＜f（2），故选C．‎ ‎　二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解答】解：∵函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，‎ ‎∴﹣1≤x≤1，∴．∴在函数y=ƒ（log2x）中，‎ ‎，∴．故答案为：[]．　‎ ‎14．【解答】解：令x+y=1，则f（x）+f（y）=+‎ ‎=+=+‎ 8‎ ‎=+=（1+）═×=‎ 故f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）=6×=3故应填3‎ ‎15．【解答】解：函数f（x）=（x+1）（2x+‎3a）=2x2+（‎3a+2）x+‎‎3a ‎∵函数f（x）=（x+1）（2x+‎3a）为偶函数，‎ ‎∴2x2﹣（‎3a+2）x+‎3a=2x2+（‎3a+2）x+‎3a∴‎3a+2=0∴a=﹣，‎ 故答案为：‎ ‎16．【解答】解：∵函数f（x）=有3个零点，‎ ‎∴a＞0 且 y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，‎ ‎∴，解得 ＜a＜1，故答案为：（，1）．‎ ‎　三．解答题（共2小题）‎ ‎17．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，‎ ‎∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（5分）‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，…（6分）‎ 可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 …（8分）‎ ‎∴g（x）max=g（1）=1．…（10分）‎ 8‎ ‎18．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣‎2a•3x+3，‎ 设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．‎ 当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，‎ ‎∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；‎ ‎（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，‎ 当a＜时，ymin=h（a）=φ（）=﹣；‎ 当≤a≤3时，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；‎ 当a＞3时，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣‎6a．‎ 故h（a）=；‎ ‎（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣‎6a，‎ ‎∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．‎ 又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，‎ 则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），‎ 又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．‎ ‎∴满足题意的m，n不存在．‎ 8‎