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- 2021-06-16 发布
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江西省宜春市铜鼓中学 2019-2020 学年高一下学期期末测试
数学试卷
(试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分)
1.已知角 的终边经过点 (4, 3)P ,则 2sin cos 的值等于( )
A.
2
5
B.
4
5 C.
3
5-
D.
2
5
2.一个扇形的圆心角为 150°,面积为
5
3
,则该扇形半径为( )
A.4 B.1 C. 2 D.2
3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个,命中个数的茎
叶图如右图,则下面结论中错误..的一个是( )
A.甲的极差是 29 B.甲的中位数是 24
C.甲罚球命中率比乙高 D.乙的众数是 21
4.已知向量 2, 1a
, 1,7b
则下列结论正确的是( )
A. a b
B. a
//b
C. a a b
D. a a b
5.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 7 个个体,
选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选
出来的第 6 个个体的编号为( )
A.02 B.01 C.07 D.06
6.在
△
ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 BE
( )
A.
1 3
4 4AC AB
B.
3 1
4 4AC AB
C.
3 1
4 4
AB AC
D.
1 3
4 4
AB AC
7.已知
3tan( ) 5
,
π 1tan( )4 2
,则
πtan( )4
的值为( )
A.
1
7 B.
1
13 C.
11
13 D.
11
7
8.下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间 ππ( , )2
上为减函数的是( )
A. sin 2y x B. 2 | cos |y x C.
cos 2
xy
D. tan( )y x
9.函数 sin π π( 0, 0,( 2)2) y f x A x A 的部分图象如图所示,则
的值为( )
A.
6
π B.
3
π C.
4
π D.
2
π
1
10.将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成 6 组,绘成频率分布直方图如图所示,现
按成绩运用分层抽样的方法抽取 100 位同学进行学习方法座谈,则成绩为[70,80) 组应抽取
的人数为( )
A. 60 B.50 C. 40 D. 20
11.平行四边形 ABCD 中, 4, 2, 3
π AB AD B , 点 P 在边 CD 上,则 PA PB
的取
值范围是( )
A.[-1,8]B. 1, C.[0,8] D.[-1,0]
12.关于函数 ( ) 3sin(2 ) 1( )3
π f x x x R 有下述四个结论:①若 1 2 1f x f x ,
则 1 2 π x x k ( )k Z ;② y f x 的图象关于点 2π( ,1)3
对称;③函数 y f x 在
(0, π)2
上单调递增;④ ( )y f x 的图象向右平移 π
12
个单位长度后所得图象关于 y 轴对称.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.①② C.③④ D.②④
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 ( , 1)a k
, ( 4,2)b ,若 a
与b
共线,则实数 k 的值为 .
14.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分层抽样的
方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级学
生中应抽取的人数为______.
15.已知 π 1cos( )4 3
,则sin2 __________.
16.已知函数 ( ) 3sin(2 ) cos(2 )(0 π) f x x x 是定义在 R 上的奇函数,则
( )8
π f ___.
三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分)
17.(10 分)已知
sin( ) 3sin( )2( )
2cos( ) cos( )
π π
π
2 π
f .
(1)化简 ( )f ; (2)已知 tan 3 ,求 ( )f 的值.
18.(12 分)已知| | 1a
,| | 2b
r
.
(1)若向量 a
与向量b
的夹角为135 ,求| |a b
及b
在 a
方向上的投影;
(2)若向量 a b
与向量 a
垂直,求向量 a
与b
的夹角.
19.(12 分)已知
4 3sin 7
, π( )π ,2
.
(1)求
2sin 2
的值;(2)若
3 3sin( ) 14a
, (0,π) ,求 的值.
20.(12 分) 2.5PM 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).
为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否有关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量
与 2.5PM 的浓度的数据如下表:
时间 周一 周二 周三 周四 周五
车流量 x (万辆) 100 102 108 114 116
2.5PM 的浓度 y (微克/立方米) 78 80 84 88 90
(1)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程;
(2)若周六同一时间段车流量是 200 万辆,试根据(1)求出的线性回归方程,预测此时
2.5PM 的浓度为多少.参考公式:
5
1
2
1
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
, a y b x .
21.(12 分)已知函数
2 2( ) sin 3sin cos 2cos , .f x x x x x x R
(1)求函数 ( )f x 的最小正周期并判断其在[0, ] 上的单调性;
(2)求函数 ( )f x 在区间[ ]π ,6
π
3
上的最大值与最小值并求出相应的 x 的值.
22.(12 分)已知函数 ( ) sin( )( 0, 0, π π)2 2
f x A x A 的图象与 x 轴交点
为 ( )π ,06
,与此交点距离最小的最高点坐标为 π( ,1)12 .
(1)求函数 ( )f x 的表达式;
(2)把函数 ( )y f x 的图像的横坐标伸长到原来的两倍,然后向右平移 2π
3
个单位,再把
纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数 y g x 的图像,求不等式
( ) 2g x 在[0,2π] 内的解集;
(3)若函数 ( )f x 满足方程 ( ) ( 1 0)f x a a ,求方程在[0,2π] 内的所有实数根之和。
【参考答案】
一、选择题:ADBCBA BDBCAD
二、填空题:13.2 14.8 15.
7
9 16. 2
三、解答题
17. (1)
cos 3sin( ) 2sin cosf
;(5 分)
(2)因为 tan 3 ,所以
1 3tan 10( ) 22tan 1 5f
。(10 分)
18.(1)由已知得
2 2 22 2( ) 2 1 2 1 2 ( ) 2 12a b a b a a b b
,∴
1a b
;
b
在 a
方向上的投影为
2| | cos135 2 ( ) 12b
;(6 分)
( 2 ) 由 已 知 得 0a b a
, 即
2
0a a b
∴ 1a b
, ∴
1 2cos , 21 2
a ba b
a b
,
∴向量 a
与b
的夹角为 45.(12 分)
19. ( 1 ) 由
4 3sin 7
, π( )π ,2
得
2 1cos 1 sin 7
. 从 而
2 1 cos 4sin 2 2 7
;(5 分)
(2)因为 π( )π ,2
, (0, ) ,所以 π( ,2 )2 π 。因为sin( ) 0 ,所以
π )2 π( , ,所以
2 13cos( ) 1 sin ( ) 14a
.
所以
13 1 3 3 4 3cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin ( ) ( )14 7 14 7
1
2
,
∴ π
3
.(12 分)
20. (1)由已知条件可得,
5
1
1 540 1085 5i
i
x x
,
5
1
1 420 845 5i
i
y y
,
5
1
( 8) ( 6) ( 6) ( 144) 0 0 6 4 8 6 4i i
i
x x y y
,
5 2 2 2 2 2 2
1
( 8) ( 6) 0 6 8 200i
i
x x
,所以
5
1
5 2
1
144 0.72200
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
,
84 0.72 108 6.24a y b x .故 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 0.72 6.24y x ;
(10 分)
(2)当 200x 时, 0.72 200 6.24 150.24y .此时 2.5PM 的浓度约为 150.24 微克/
立方米.(12 分)
21. (1)
2 2( ) sin 3sin cos 2cosf x x x x x
1 cos2 3 sin 2 (1 cos2 )2 2
x x x
3 1 3 3sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 6 2x x x
。∴ f x 的最小周期
2π π2T
;
由题意得令 2 2 2 ( )2 6
π π ππ π 2
k x k k Z ,得: π π ( )3 6π π k x k k Z ,
∴函数 f x 的单调递增区间为 π π[ π, π]( )3 6
k k k Z ;
所以 ( )y f x 在
[0, ]6
和
2[ , ]3
上单调递增,在
2[ , ]6 3
上单调递减。 (8 分)
(2)因为 [ , ]6
π π
3
x ,所以 52 [π π π, ]6 6 6
x ,当 2 6
π π
6
x ,即 π
6
x 时,
min
3 1( ) 12 2f x
;
当 2 2
π π
6
x ,即 π
6
x 时, max
3 5( ) 12 2f x
;(12 分)
22. (1)依题意函数的最大值为 1,则 1A ,函数 ( )f x 的周期为 π π4 ( ) π12 6
T ,
而 2π
T ,则 2
又
6
π x 时 , 0y , sin[2 ( ) ] 0π
6
, = ( )3
π k k Z , 解 得
π= + π( )3
k k Z , 而
2
π
2
π , 则 π
3
, ∴ 函 数 ( )f x 的 表 达 式 为
( ) sin(2 )3f x x
;(4 分)
(2)易知
( ) 2sin( ) 13g x x
,由 π( ) 2sin( ) 1 23
g x x 得
1sin( )3 2x
,所以
π π 5π2 π 2 π6 3 6
k x k , π 7π2 π 2 π ( )2 6
k x k k Z 。
当 0k 时, π 7π
2 6
x ,所以不等式在[0,2π] 的解集为 π 7π[ , ]2 6
;(8 分)
(3) π( ) sin(2 )3
f x x 的周期为 π ,其图像在 [0,2π] 内恰有 2 个周期,并且方程
πsin(2 )3
x a
( 1 0)a 在 [0,2π] 内 有 4 个 实 根 设 为 1 2 3 4, , ,x x x x , 结 合 图 像 知
1 2 3 4
7 19π, π6 6
x x x x .故所有实数之和为 7 19 13π π π6 6 3
.(12 分)