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- 2021-06-16 发布
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第四节 利用导数证明不等式
考点1 单变量不等式的证明
单变量不等式的证明方法
(1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;
(3)最值法:欲证f(x)<g(x),有时可以证明f(x)max<g(x)min.
直接将不等式转化为函数的最值问题
已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.
[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax+2a+1=.
当a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0,则当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.
所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln++1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g′(x)=-1.当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln+
eq f(1,2a)+1≤0,即f(x)≤--2.
将不等式转化为函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式.
转化为两个函数的最值进行比较
已知f(x)=xln x.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.
[解] (1)由f(x)=xln x,x>0,得f′(x)=ln x+1,
令f′(x)=0,得x=.
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
①当0<t<<t+2,即0<t<时,
f(x)min=f =-;
②当≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tln t.
所以f(x)min=
(2)证明:问题等价于证明xln x>-(x∈(0,+∞)).
由(1)可知f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是-,
当且仅当x=时取到.
设m(x)=-(x∈(0,+∞)),
则m′(x)=,
由m′(x)<0得x>1时,m(x)为减函数,
由m′(x)>0得0<x<1时,m(x)为增函数,
易知m(x)max=m(1)=-,当且仅当x=1时取到.
从而对一切x∈(0,+∞),xln x≥-≥-,两个等号不同时取到,即证对一切x∈(0,+∞)都有ln x>-成立.
在证明的不等式中,若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题,可以借助两个函数的最值进行证明.
构造函数证明不等式
已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln ,且x>0时,>x+-3a.
[解] (1)由f(x)=ex-3x+3a,x∈R,知f′(x)=ex-3,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln 3,
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,ln 3)
ln 3
(ln 3,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 3],
单调递增区间是[ln 3,+∞),
f(x)在x=ln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)=eln 3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).无极大值.
(2)证明:待证不等式等价于ex>x2-3ax+1,
设g(x)=ex-x2+3ax-1,x>0,
于是g′(x)=ex-3x+3a,x>0.
由(1)及a>ln =ln 3-1知:g′(x)的最小值为g′(ln 3)=3(1-ln 3+a)>0.
于是对任意x>0,都有g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.
于是当a>ln =ln 3-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex>x2-3ax+1,故>x+-3a.
若证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以构造函数h(x)=f(x)-g(x),如果能证明h(x)在(a,b)上的最小值大于0,即可证明f(x)>g(x),x∈(a,b).
已知函数f(x)=aex-bln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处
的切线方程为y=x+1.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)>0.
[解] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=aex-,由题意得f(1)=,f′(1)=-1,
所以解得
(2)证明:由(1)知f(x)=·ex-ln x.
因为f′(x)=ex-2-在(0,+∞)上单调递增,又f′(1)<0,f′(2)>0,所以f′(x)=0在(0,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(1,2).
当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,
从而当x=x0时,f(x)取极小值,也是最小值.
由f′(x0)=0,得ex0-2=,则x0-2=-ln x0.
故f(x)≥f(x0)=ex0-2-ln x0=+x0-2>2-2=0,所以f(x)>0.
考点2 双变量不等式的证明
破解含双参不等式证明题的3个关键点
(1)转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
(2)巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.
(3)回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.
已知函数f(x)=ln x-ax(x>0),a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1≠x2).求证:x1x2>e2.
[证明] 不妨设x1>x2>0,
因为ln x1-ax1=0,ln x2-ax2=0,
所以ln x1+ln x2=a(x1+x2),ln x1-ln x2=a(x1-x2),所以=a,
欲证x1x2>e2,即证ln x1+ln x2>2.
因为ln x1+ln x2=a(x1+x2),所以即证a>,
所以原问题等价于证明>,
即ln >,
令c=(c>1),则不等式变为ln c>.
令h(c)=ln c-,c>1,
所以h′(c)=-=>0,
所以h(c)在(1,+∞)上单调递增,
所以h(c)>h(1)=ln 1-0=0,
即ln c->0(c>1),因此原不等式x1x2>e2得证.
换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参
数a,再结合所证问题,巧妙引入变量c=,从而构造相应的函数.其解题要点为:
联立消参
利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的参数a
抓商构元
令c=,消掉变量x1,x2构造关于c的函数h(c)
用导求解
利用导数求解函数h(c)的最小值,从而可证得结论
已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R.
(1)当a=0时,求函数f(x)的图像在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+
x2≥.
[解] (1)当a=0时,f(x)=ln x+x,则f(1)=1,所以切点为(1,1),又因为f′(x)=+1,所以切线斜率k=f′(1)=2,故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)证明:当a=-2时,f(x)=ln x+x2+x(x>0).
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,
得ln x1+x+x1+ln x2+x+x2+x1x2=0,
从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2),
令t=x1x2(t>0),令φ(t)=t-ln t,得φ′(t)=1-=,
易知φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,因为x1>0,x2>0,所以x1+x2≥成立.
考点3 证明与正整数有关的不等式问题
函数中与正整数有关的不等式,其实质是利用函数性质证明数列不等式,证明此类问题时常根据已知的函数不等式,用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量,通过多次求和达到证明的目的.
若函数f(x)=ex-ax-1(a>0)在x=0处取极值.
(1)求a的值,并判断该极值是函数的最大值还是最小值;
(2)证明:1+++…+>ln(n+1)(n∈N+).
[解] (1)因为x=0是函数极值点,所以f′(0)=0,所以a=1.
f(x)=ex-x-1,易知f′(x)=ex-1.
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,
故极值f(0)是函数最小值.
(2)证明:由(1)知ex≥x+1.
即ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时,等号成立,
令x=(k∈N+),
则>ln,即>ln ,
所以>ln(1+k)-ln k(k=1,2,…,n),
累加得1+++…+>ln(n+1)(n∈N+).
已知函数式为指数不等式(或对数不等式),而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式),要注意指、对数式的互化,如ex≥x+1可化为ln(x+1)≤x等.
已知函数f(x)=ln(x+1)+.
(1)若x>0时,f(x)>1恒成立,求a的取值范围;
(2)求证:ln(n+1)>++ +…+(n∈N+).
[解] (1)由ln(x+1)+>1,得
a>(x+2)-(x+2)ln(x+1).
令g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)],
则g′(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.
当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.
所以g(x)<g(0)=2,故a的取值范围为[2,+∞).
(2)证明:由(1)知ln(x+1)+>1(x>0),
所以ln(x+1)>.
令x=(k>0),得ln>,即ln>.
所以ln +ln +ln +…+ln >+++…+,
即ln(n+1)>+++…+(n∈N+).
课外素养提升③ 逻辑推理——用活两个经典不等式
逻辑推理是得到数学结论,构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题,降低了思考问题的难度,优化了推理和运算过程.
(1)对数形式:x≥1+ln x(x>0),当且仅当x=1时,等号成立.
(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链:ex>x+1>x>1+ln x(x>0,且x≠1).
【例1】 (1)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图像大致为( )
(2)已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.
(1)B [因为f(x)的定义域为
即{x|x>-1,且x≠0},所以排除选项D.
当x>0时,由经典不等式x>1+ln x(x>0),
以x+1代替x,得x>ln(x+1)(x>-1,且x≠0),
所以ln(x+1)-x<0(x>-1,且x≠0),即x>0或-1<x<0时均有f(x)<0,排除A,C,易知B正确.]
(2)证明:令g(x)=f(x)-=ex-x2-x-1,x∈R,
则g′(x)=ex-x-1,
由经典不等式ex≥x+1恒成立可知,g′(x)≥0恒成立,
所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0.
所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.
【例2】 (2017·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=x-1-aln x.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)证明:对于任意正整数n,…<e.
[解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),
①若a≤0,因为f=-+aln 2<0,所以不满足题意.
②若a>0,由f′(x)=1-=知,
当x∈(0,a)时,f′(x)<0;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0;
所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,
故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.
因为f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0,故a=1.
(2)证明:由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.
令x=1+,得ln<.
从而ln+ln+…+ln<++…+=1-<1.
故…<e.
【例3】 设函数f(x)=ln x-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求证:当x∈(1,+∞)时,1<<x.
[解] (1)由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-1,令f′(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.
(2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.
所以当x≠1时,ln x<x-1.
故当x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,>1. ①
因此ln <-1,
即ln x>,<x. ②
故当x∈(1,+∞)时恒有1<<x.