【数学】2020届一轮复习北师大版 选讲部分 作业 11页

‎1. 【2018河北唐山高三一模】在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）设曲线：（为参数且），与圆，分别交于，，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ρ＝2cosθ；ρ＝6cosθ(2) 当α＝±时，S△ABC2取得最大值3‎ ‎2．【2018陕西高三二模】在平面直角坐标系中，直线的方程为以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线的一个参数方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知直线与曲线交于两点，试求中点的坐标.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由直线的方程.令.可得直线的一个参数方程 曲线的极坐标方程为.，则,由极坐标与直角坐标的互化公式即可得到曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)将代入得.‎ 设对应的参数为.由此可求中点的坐标.‎ ‎(2)将代入得 ‎.‎ 设对应的参数为.‎ 设点,‎ 则.‎ 故中点的坐标为.‎ ‎3．【2018四川德阳高三二诊】在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2） 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.‎ ‎【答案】（1）. .（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案； （2）由（1），，所以 ‎ ‎，即可得到的最大值.‎ ‎（2）由题意，，‎ 所以 ，‎ 由于，所以当时，取得最大值：.#‎ ‎4．【2018河北唐山高三二模】在极坐标系中，曲线，曲线，点，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.‎ ‎（1）求曲线和的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点的直线交于点，交于点，若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用极坐标化直角坐标的公式解答 .(2)第（2）问，‎ 先把直线的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程，利用韦达定理求出，再求出，最后代入，求出的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线C1的直角坐标方程为：x2＋y2－2y＝0；‎ 曲线C2的直角坐标方程为：x＝3． ‎ ‎5．【2018云南昆明高三二诊】在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）求圆的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知， 是曲线与轴的两个交点，点为圆上的任意一点，证明： 为定值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由三角函数的性质可得圆的参数方程为，利用二倍角的余弦公式展开曲线的极坐标方程，利用 可得曲线的直角坐标方程；（2）由（1）知 ‎， ，可设，所以 ‎ ‎，化简即可的结果.‎ ‎6．【2018新疆乌鲁木齐高三二诊】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且平行于直线的直线与曲线交于两点，若，证明点在一个椭圆上.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析： 曲线的参数方程为，消去，可得曲线的普通方程 ‎，利用极坐标与直角坐标方程的互化，可得设点与平行于直线 的直线的参数方程，直线与曲线联立方程组，通过，即可求得，从而得到答案 解析：（1）， ‎ 点睛：本题主要考查的是参数方程转化为普通方程，简单曲线的极坐标方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，关键是掌握将极坐标方程转化为直角坐标方程的转化方法及其步骤，熟练计算。‎ ‎7. 【2018辽宁抚顺高三3月模拟】已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线的直角坐标方程为 ‎ 联立得……8分 又，‎ 所以 ‎8. 【2018辽宁抚顺高三3月模拟】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数，，满足，求证：．‎ ‎【答案】（1）M=4（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】(I)利用绝对值三角不等式求得的最小值,再由单个绝对值的解法求得的取值范围,进而求得的值.(II)，得,对原不等式左边,乘以,转化为基本不等式来证明最小值为.‎ ‎9. 【2018四川德阳高三二诊】在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2） 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.‎ ‎【答案】（1）. .（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案； （2）由（1），，所以 ，即可得到 的最大值.‎ 试题解析：（1）由题意得直线的普通方程为：，‎ 所以其极坐标方程为：.‎ 由得：，所以，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）由题意，，‎ 所以 ，‎ 由于，所以当时，取得最大值：.‎ ‎10. 【2018四川德阳高三二诊】已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意 或，‎ 由此可解不等式；‎ ‎（2）由于关于的不等式的解集非空，函数的最小值为-1，由此解得的范围． ‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，‎ ‎11. 【2018辽宁瓦房店高三一模】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程（‎ 为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求和的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）和交于两点，求点的一个极坐标.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）把圆，的参数方程转化为普通方程，进而转化为极坐标方程；（2）设，则有，解得，，所以点的极坐标为 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）圆的普通方程为：，则的极坐标方程为：‎ 圆的普通方程为：，则的极坐标方程为： ‎ ‎（Ⅱ）设，则有，解得，，‎ 所以点的极坐标为。#‎ ‎12. 【2018辽宁瓦房店高三一模】选修4-5：不等式选讲 已知函数（）‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且（），求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，化为 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 综上不等式的解集是 ‎（Ⅱ）当时，‎ 当且仅当时，即时，等号成立 所以，函数的最小值 所以，‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用.其中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键.‎ ‎13. 【2018甘肃兰州高三一模】‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆心的直角坐标；‎ ‎（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，‎ 即，∴圆心直角坐标为.‎ ‎（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是 ‎ ，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.‎ 方法2：直线的普通方程为，‎ ‎∴圆心到直线距离是，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.‎ ‎14. 【2018甘肃兰州高三一模】‎ 设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，恒有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 所以，所以或，‎ 解集为.‎ ‎（2），因为，∴时，恒成立，‎ 又时，当时，，∴只需即可，‎ 所以. ‎