【数学】宁夏银川市六盘山高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版） 12页

宁夏银川市六盘山高级中学2019-2020学年高一上学期 期末考试数学试题 ‎ A卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.把正确答案的代号填在答题卷上）‎ ‎1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ）‎ A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 ‎【答案】D ‎【解析】若两平面平行，则分别在这两平面内的两条直线没有公共点，这两条直线平行或异面；‎ 若两平面相交，如三棱锥，侧面与侧面相交，平面，平面，且.‎ 因此，分别在两个平面内的两条直线异面、平行或相交.‎ 故选：D.‎ ‎2.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（ ）‎ A. 上面为圆台，下面为圆柱 B. 上面为圆台，下面为棱柱 C. 上面为棱台，下面为棱柱 D. 上面为棱台，下面为圆柱 ‎【答案】A ‎【解析】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A.‎ ‎3.在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】化直线的方程为斜截式方程得，该直线的斜率为，倾斜角为.‎ 故选：C.‎ ‎4.正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则(　　)‎ A. S1＝2S2 B. S1＝3S‎2 ‎ C. S1＝4S2 D. S1＝2S2‎ ‎【答案】B ‎【解析】不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的体对角线长为，‎ 而内切球直径为1，所以，所以.‎ 故答案选B ‎5.经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x；‎ 当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点M（1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2．‎ 综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2‎ 故选C.‎ ‎6.如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】斜率为，截距，故不过第二象限.‎ ‎7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h， ∵圆柱的侧面展开图是一个正方形， ∴2πr=h，即r=∴圆柱的侧面积为2πrh=4π2r2， 圆柱的两个底面积为2πr2，∴圆柱的表面积为2πr2+2πrh=2πr2+4π2r2，‎ 所以这个圆柱的侧面积与表面积之比为 故选A ‎8.直线与直线平行，则它们之间的距离为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为直线与直线平行，则，则m=2,它们之间的距离为,选D ‎9.给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是( )‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎【答案】D ‎【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.‎ 故选D ‎10.如图，在正三棱柱中，已知，在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如下图所示，取的中点，连接、，‎ 在正三棱柱中，平面，为等边三角形，‎ 平面，，为的中点，，‎ ‎，平面，平面，.‎ 所以，直线与平面所成的角为，‎ ‎，，，‎ ‎，即与平面所成角的正弦值为.‎ 故选：A.‎ ‎11.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，‎ ‎ ∵SA⊥平面ABC，SA=, AB⊥BC且AB=BC=1， ∴AC= ∴SA⊥AC，SB⊥BC， SC= ∴球O的半径R= =1∴球O的表面积S=4πR2=4π． 故选A ‎12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 三棱锥的体积为定值 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误．选D．‎ 二、解答题（本大题共4题，共40分，写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎13.已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.‎ ‎（1）边上的高线的方程；‎ ‎（2）边的垂直平分线的方程.‎ 解：（1）直线的斜率为，所以，边上的高线的方程为，即；‎ ‎（2）线段的中点为，所以，边的垂直平分线的方程为，即.‎ ‎14.已知点.‎ ‎（1）若一条直线经过点，且原点到直线的距离为，求该直线的一般式方程；‎ ‎（2）求过点且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？‎ 解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，合乎题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，‎ 由题意可得，解得，则直线的方程为.‎ 综上所述，直线的一般式方程为或；‎ ‎（2）由题意可得过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，‎ 直线的斜率为，则所求直线的斜率为，‎ 所以，所求直线的方程为，即，最大距离为.‎ ‎15.如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.‎ 解：由于四边形是正方形，，‎ 平面，平面，平面，‎ 平面，平面，，‎ 平面，平面，平面，‎ ‎，平面平面.‎ ‎16.如图，在三棱锥中，，，，为线段的中点.‎ ‎ ‎ 求证：平面.‎ 解：，，，平面，‎ 平面，.‎ ‎，为的中点，.‎ ‎，因此，平面.‎ B卷 一、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎17. 平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是________‎ ‎【答案】相交、异面 ‎【解析】利用线面的位置关系可知，平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是异面或相交．‎ ‎18.若取任何实数，直线恒过一定点，则该点的坐标为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将直线的方程变形为，得，解得.‎ 因此，直线所过定点的坐标为.‎ 故答案为：.‎ ‎19.若直线与直线平行，则直线在坐标轴上的截距之和为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于直线与直线平行，则，解得，‎ 所以，直线的方程为，该直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为.‎ 因此，直线在坐标轴上的截距之和为.‎ 故答案为：.‎ ‎20.已知一个空心密闭（表面厚度忽略不计）的正四面体工艺品的棱长为，若在该工艺品内嵌入一个可以在其内部任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在该正四面体内嵌入一个正方体，且正方体可以任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长.‎ 设求的半径为，四面体的高为，则根据正四面体的体积关系 ‎，得，设正方体的最大 棱长为，则，．‎ 二、解答题（本大题共2题，共30分，写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎21.如图：平面，是矩形，，，点是的中点，点在边上移动.‎ ‎（Ⅰ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）证明：无论点在边的何处，都有.‎ 解：（Ⅰ）面积为，‎ 平面，；‎ ‎（Ⅱ）直线平面，证明如下：‎ 由于、分别为、的中点，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（Ⅲ），为的中点，，‎ 平面，平面，，‎ 又四边形为矩形，，‎ ‎，平面，‎ 平面，，‎ ‎，平面，‎ 平面，，‎ 因此，无论点在边的何处，都有.‎ ‎22.如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相重直，是等腰直角三角形，，，.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的平面角的正切值.‎ 解：1）因为四边形为矩形，则，‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，‎ 平面，.‎ 因为等腰直角三角形，，所以，‎ 又因为，，即，‎ ‎，因此，平面；‎ ‎（2）取的中点，连接、，‎ 四边形为正方形，则且，‎ ‎、分别为、的中点，且，‎ 为的中点，且，且，‎ 则四边形为平行四边形，，‎ 所以与所成的角为或其补角，‎ 由（1）知，平面，平面，，‎ 设，则，，，‎ 在中，.‎ 因此，与所成角的正弦值为；‎ ‎（3），平面平面，平面平面，平面，平面.‎ 作，交的延长线于，则．从而，平面．‎ 作于，连接，‎ 平面，平面，，‎ ‎，，平面，‎ 平面，，所以，为二面角的平面角．‎ ‎，，，，‎ 设，则，，，‎ 在中，，，‎ 在中，.‎ 因此，二面角的平面角的正切值为.‎