【数学】2019届一轮复习北师大版配方法学案 10页

‎ 第三篇 方法应用篇 ‎ 一、配方法的定义 配方法是对数 式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方.配方法是数 中化归思想应用的重要方法之一.‎ 二、配方法的基本步骤 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数 式子出现完全平方.它主要适用于 已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.如 ‎ 三、常见的基本配方形式 可得到各种基本配方形式，如 ；‎ ‎；‎ ‎；‎ 结合其它数 知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如 ‎ ‎；‎ ‎。‎ 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1 配方法与函数 二次函数或通过换元能化为二次函数的函数均可用配方法求其最值.在换元的过程中要注意引入参数的取值范围。‎ 例1.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<‎0”‎是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 例2．【2018届浙江省台州中 高三上 期第三次统练】已知函数．‎ ‎（1）当时，若存在，使得，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为正整数，方程的两个实数根满足，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）或；（2）11．‎ ‎【解析】试题分析 （1）存在，使得等价于在上有两个不等实根，或在上有两个不等实根，结合二次函数的顶点在直线下方或上方列不等式组求解即可；（2）利用一元二次方程方程根的分别，列不等式组，根据为正整数，先初步判断的范围，再利用分类讨论思想求解即可. ‎ 试题解析 （1）当时， ‎ ‎2 配方法与三角函数 ‎ 在三角函数中，同角三角函数基本关系式中的平方关系及其变形 ‎、二倍角公式及其变形为考察配方法提供了平台，‎ 例3.【2018届宁夏银川一中高三上 期第二次月考】函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值为________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】 ，所以当 时， 取最小值 ‎ ‎3配方法与解三角形 ‎ 在解三角形中，余弦定理为考察配方法提供了平台，因为对于三角形的三边，如果能用一个变量给表示出 ，就可以转化为二次函数问题，可以通过配方法 解。‎ 例4.【2017届河北省石家庄市二模】在希腊数 家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为， ， ，其面积，这里．已知在中， ， ，其面积取最大值时__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 当时， 有最大值，故 ‎4 配方法与平面向量 例5.【2018届山东省德州市高三上 期期中】已知向量.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）当时， (为实数），且，试求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 或;(2) . . ‎ 整理得， ]‎ 解得或. ‎ ‎∴或。‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 即 ‎ 当时， ， ‎ ‎∴‎ 式化简得 ‎ ‎∴，‎ ‎∴当时， 取得最小值，且最小值是.‎ ‎5配方法与不等式 例6.【2018年高考二轮】已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为(　　)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎6 配方法与导数 例7.【2018届广东省深圳市高级中 高三11月考】设和是函数的两个极值点,其中.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)若,求的最大值.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】试题分析 ‎ 因为 所以.‎ 由题意得方程有两个不等的正根m,n(其中).‎ 故,且.‎ 所以 即的取值范围是.‎ ‎(2)当时, .‎ 设,‎ ‎,‎ 令,‎ 则.‎ 所以在上单调递减,‎ 所以.‎ 故的最大值是。‎ ‎7 配方法与数列 例 8.数列{an}中，如果存在a ，使得a ＞a －1且a ＞a ＋1成立(其中 ≥2， ∈N )，则称a 为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为(　　)‎ ‎ A．0 B．4 C. D.[ ]‎ ‎【答案】A ‎【解析】　因为an＝－3＋，且n∈N ，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A. ‎ ‎8 配方法与立体几何 例9.已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿对角线AC折成如图所示的四面体，点M为AC的中点，∠BMD＝60°，P在线段DM上，记DP＝x，PA＋PB＝y，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ ‎[ ]‎ ‎【答案】D ‎9 配方法与解析几何 例10.已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且．‎ ‎（1）求证 点共线；‎ ‎（2）若，当时，求动点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【反思提升】综合上面的九种类型，配方法在高考题目中频繁出现，配方法是对数 式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.主要用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解以及与最值一类有关的问题中.对于应用配方法的意识在于平时的训练与积累。‎