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- 2021-06-16 发布
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[练案60]第三课时 定点、定值、探索性问题
A组基础巩固
一、单选题
1.(2020·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆+=1(a>b>0)的离心率,则双曲线-=1的离心率为( D )
A.2 B.
C. D.
[解析] 椭圆离心率e1==,
∴e=1-=,即=,
∴双曲线的离心率e===.故选D.
2.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则+=( A )
A.4 B.2
C.2 D.3
[解析] 设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,不妨设点P在第一象限,根据椭圆和双曲线的定义,得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.又|F1F2|=2c,∠F1PF2=,所以在△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos,化简得3a+a=4c2,两边同除以c2,得+=4.故选A.
3.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2=,则直线l过定点( A )
A.(-3,0) B.(0,-3)
C.(3,0) D.(0,3)
[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以·=.又y=2x1,y=2x2,所以y1y2=6.将直线l:x=my+b代入抛物线C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,得b
- 10 -
=-3,即直线l的方程为x=my-3,所以直线l过定点(-3,0).
4.(2019·长春监测)已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,过点F1作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=( A )
A.1 B.2
C.4 D.
[解析] 如图所示,延长F1H交PF2于点Q,由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q,可知|PF1|=|PQ|,根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2,从而|QF2|=2,在△F1QF2中,易知OH为中位线,故|OH|=1.故选A.
5.(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线2x-3y-1=0对称,且线段MN中点的纵坐标为,则椭圆C的离心率是( B )
A. B.
C. D.
[解析] 设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1,
+=1,两式相减可得
+=0,
即=-·.
∵线段MN中点的纵坐标为,∴2x-3×-1=0,
解得x=,于是-=-·,解得=,
∴椭圆C的离心率e==,故选B.
(或直接利用性质kMN·kOP)=-,其中P为线段MN的中点).
- 10 -
6.(2020·福建莆田质检)已知直线l过抛物线C:x2=6y的焦点F,交C于A,B两点,交C的准线于点P,若=,则|AB|=( A )
A.8 B.9
C.11 D.16
[解析] 过A作准线的垂线,垂足为H,则|AF|=|AH|,
又=,∴|AH|=|AP|,
∴kAP=,又F(0,),
∴AB的方程为y=x+,
由,得y2-5y+=0,∴yA+yB=5,
∴|AB|=yA+yB+p=5+3=8,故选A.
7.(2020·广东惠州调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则+的取值范围是( D )
A.[1,2] B.[,]
C.[,4] D.[1,4]
[解析] 由已知得2b=2,故b=1,
∵△F1AB的面积为,
∴(a-c)b=,∴a-c=2-,
又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=,
∴+===,
又2-≤|PF1|≤2+,∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,
∴1≤+≤4.
即+的取值范围为[1,4].故选D.
二、多选题
8.已知双曲线C上的点到(2,0)和(-2,0)的距离之差的绝对值为2,则下列结论正确的是( AC )
- 10 -
A.C的标准方程为x2-=1
B.C的渐近线方程为y=±2x
C.C的焦点到渐近线的距离为
D.圆x2+y2=4与C恰有两个公共点
[解析] 根据双曲线的定义,c=2,2a=2,得a=1,b=,所以C的方程为x2-=1,A正确;渐近线为y=±x,B错;双曲线C的一个焦点为(2,0),到渐近线的距离为=,C正确;圆x2+y2=4的圆心为原点,半径为2,而双曲线的实轴端点为(±1,0),可知圆与双曲线的公共点有4个,D错误.
9.已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是( BCD )
A.+=1 B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点
[解析] 由题意知直线l的方程为y=(x-),由得3x2-5px+=0,∴x1+x2=,
∴|AB|=+p==8,∴p=3.∴4x2-20x+9=0解得xA=,xB=,∴|AF|=xA+=6,|BF|=2,∴+=,A错,B正确;作BH垂直准线于H,则∠HBD=60°,∴|BD|=2|BH|=2|BF|,C正确;又xD=-,则===xF,∴F为AD的中点,D正确;故选BCD.
三、填空题
10.(2019·山西重点中学联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若直线AB过原点,则k1·k2的值为__3__.
[解析] 由题意知,e===2⇒b2=3a2,
则双曲线方程可化为3x2-y2=3a2,
设A(m,n),M(x,y)(x≠±m),则B(-m,-n),
- 10 -
k1·k2=·===3.
11.直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为 - .
[解析] 由点差法可求出k1=-·,
∴k1·=-,即k1k2=-.
12.(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=__6__.
[解析] 依题意知抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)位于第一象限,所以a=1,b=2,所以N(0,4),|FN|==6.
四、解答题
13.(2020·河南顶尖名校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,以A为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,3),(0,-1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不经过点A的直线l与椭圆C交于两点,且·=0,试探究直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
[解析] (1)依题意知A的坐标为(0,b),
则以点A圆心,以a为半径的方程为x2+(y-b)2=a2,
令x=0得y=b±a,
由圆A与y轴的交点分别为(0,3),(0,-1).
可得解得
故所求椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由·=0得⊥,
可知PA的斜率存在且不为0.
设直线lPA:y=kx+1①
则lQA:y=-x+1②
将①代入椭圆方程并整理,得(1+4k2)x2+8kx=0,
可得xP=-,则yP=.
- 10 -
同理,可得xQ=,yQ=.
由直线方程的两点式,得直线l的方程为y=x-,
即直线l过定点,该定点的坐标为(0,-).
14.(2019·山东滨州市期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0),点M(-1,)在椭圆C上,椭圆C的离心率是.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P,Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点,记直线AP,AQ斜率分别为k1,k2,若k1k2=-,请判断直线PQ是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.
[解析] (1)由点M(-1,)在椭圆C上,且椭圆C的离心率是,
可得,解得:,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
(ⅰ)当直线PQ斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方程联立得:P(1,),Q(1,-),
(ⅱ)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+m,
联立消去y得:
(4k2+3)x2+8kmx+(4m2-12)=0,
由Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,
有4k2+3>m2,
由韦达定理得:x1+x2=-,x1x2=,
故k1k2==-,可得:
4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0,
可得:4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0,
整理为:(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,
故有(4k2+1)-(4km+2)+4m2+4=0,
- 10 -
化简整理得:m2-km-2k2=0,解得:m=2k或m=-k,
当m=2k时直线PQ的方程为y=kx+2k,
即y=k(x+2),过定点(-2,0)不合题意,
当m=-k时直线PQ的方程为y=kx-k,即y=k(x-1),过定点(1,0),
综上,由(ⅰ)(ⅱ)如,直线PQ过定点(1,0).
B组能力提升
1.(2019·大连模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于( A )
A.-4 B.4
C.p2 D.-p2
[解析] ①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=,则x1x2=;②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设直线AB:y=k(x-),联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=.∵y=2px1,y=2px2,∴yy=4p2x1x2=p4.又∵y1y2<0,∴y1y2=-p2.故=-4.
2.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( A )
A. B.
C.-1 D.+1
[解析] 椭圆中“和”对应双曲线中“差”,故选A.事实上,设“黄金双曲线”方程为-=1,
则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).
在“黄金双曲线”中,
因为⊥,所以·=0.
又=(c,b),=(-a,b).
所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.
- 10 -
在等号两边同除以a2,解得e=.
3.(2019·陕西省渭南市模拟)抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是( B )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知,抛物线的准线方程为x=-1,
A(-1,0),过P作PN垂直直线x=-1于N,
由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA,
=最小⇔∠NAP最小⇔∠PAF最大⇔PA与抛物线y2=4x相切.
设PA的方程为:y=k(x+1),所以,
解得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1,
所以∠NPA=45°,
=cos∠NPA=,故选B.
4.(2019·河南中原名校联考)直线l与抛物线y2=4x交于两不同点A,B,其中A(x1,y1),B(x2,y2),若y1y2=-36,则直线l恒过点的坐标是__(9,0)__.
[解析] 设直线l的方程为x=my+n,则由得y2-4my-4n=0,∴又y1y2=-36,∴-4n=-36,∴n=9,∴直线l方程为x=my+9,恒过(9,0).
5.(2020·江西临川一中月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率,一个长轴顶点在直线y=x+2上,若直线l与椭圆交于P,Q两点,O为坐标原点,直线OP的斜率为k1,直线OQ的斜率为k2.
(1)求该椭圆的方程.
(2)若k1·k2=-,试问△OPQ的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
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[解析] (1)由e==,又由a>b>0,
一个长轴顶点在直线y=x+2上,
可得:a=2,c=,b=1,
故此椭圆的方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x1,y1),当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+m联立椭圆的方程得:(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,
可得m2<4k2+1,
则x1+x2=-,x1·x2=,
|PQ|=·|x1-x2|
=·
=4·
又点O到直线y=kx+m的距离d=,
S△OPQ=·d·|PQ|=2|m|·,
由于k1·k2===-,
可得:4k2=2m2-1,
故S△OPQ=2|m|·=1,
当直线PQ的斜率不存在时,可算得:S△OPQ=1,
故△OPQ的面积为定值1.
6.(2020·广、深、珠三校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(-1,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
[解析] (1)由题意可得=,+=1,
又a2-b2=c2,
解得a2=4,b2=1.
- 10 -
所以,椭圆C的方程为+y2=1,
(2)存在定点Q(,0),满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.
设直线l的方程为x+my-=0,与椭圆C联立,
整理得,(4+m2)y2-2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),定点Q(t,0).(依题意t≠x1,t≠x2)
则由韦达定理可得,y1+y2=,
y1y2=.
直线QA与直线QB恰关于x轴对称,等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.
所以,+=0,
即得y1(x2-t)+y2(x1-t)=0.
又x1+my1-=0,x2+my2-=0,
所以,y1(-my2-t)+y2(-my1-t)=0,
整理得,(-t)(y1+y2)-2my1y2=0.
从而可得,(-t)·-2m·=0,
即2m(4-t)=0,
所以,当t=,即Q(,0)时,直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立.特别地,当直线l为x轴时,Q(,0)也符合题意.综上所述,存在x轴上的定点Q(,0),满足直线QA与直线QB关于x轴对称.
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