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  • 2021-06-16 发布

高考数学常见题型解法归纳反馈训练第81讲圆锥曲线常见题型解法

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第 81 讲 圆锥曲线常见题型解法 【知识要点】 圆锥曲线常见的题型有求圆锥曲线的方程、几何性质、最值、范围、直线与圆锥曲线的 关系、圆锥曲线与圆锥曲线的关系、轨迹方程、定点定值问题等. 【方法讲评】 题型一 求圆锥曲线的方程 解题方法 一般利用待定系数法解答. 【例 1】已知椭圆 ( )的左、右焦点为 ,点 在椭 圆上,且 与 轴垂直. (1)求椭圆的方程; (2)过 作直线与椭圆交于另外一点 ,求 面积的最大值. 综上所求:当 斜率不存在或斜率存在时: 面积取最大值为 . 【点评】(1)求圆锥曲线的方程,一般利用待定系数法,先定位,后定量.(2)本题用 到了椭圆双曲线的通径公式 ,这个公式很重要,大家要记熟. 【反馈检测 1】已知椭圆 : ( )的离心率为 ,且椭圆上 一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 . (1)求椭圆 的方程; (2)设直线 与椭圆 交于 、 两点,且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ,求 △ 面积的最大值. 题型二 圆锥曲线的几何性质 解题方法 利用圆锥曲线的几何性质解答. 【例 2】已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ,左、右焦 点分别是 ,在线段 上有且只有一个点 满足 ,则椭圆的离心率的平方 为( ) A. B. C. D. 【点评】求值一般利用方程的思想解答,所以本题的关键就是找到关于 的方程. 【反馈检测 2】已知双曲线 ( )的左、右焦点分别为 以 为直径的圆被直线 截得的弦长为 ,则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C. D. 题型三 圆锥曲线的最值问题 解题方法 一般利用数形结合和函数的方法解答. 【例 3】已知椭圆 上任意一点到两焦点 距离之和为 ,离心率为 . (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 的斜率为 ,直线 与椭圆 C 交于 两点.点 为椭圆上一点,求 的面积的最大值. 【解析】(1)由条件得: ,解得 ,所以椭圆的 方程为 ∴ , 当且仅当 ,即 时取得最大值. ∴ 面积的最大值为 2. 【点评】圆锥曲线的最值问题一般利用函数和数形结合解答. 【反馈检测 3】在平面直角坐标系 中,直线 与抛物线 相交于不同的两点 . (Ⅰ)如果直线 过抛物线的焦点,求 的值; (Ⅱ)在此抛物线上求一点 ,使得 到 的距离最小,并求最小值. 题型四 圆锥曲线的范围问题 解题方法 一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答. 【例 4】已知椭圆 的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在 轴上,有一个顶点 为 , . (1)求椭圆 的方程; (2)过点 作直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为 ,求直线 的斜率 的取值范围. (1)当直线 与 轴垂直时, 点的坐标为 ,此时, ; (2)当直线 的斜率存在且不为零时,设直线 方程为 , 由方程组 消去 , 并整理得 , 设 , , 又有 ,则 ∴ ∴ , ∴ , , , . 且 . 综合(1)、(2)可知直线 的斜率 的取值范围是: . 【点评】利用基本不等式求函数的最值时,要注意创设情景,保证一正二定三相等. 【反馈检测 4】设椭圆 中心在原点,焦点在 轴上,短轴长为 4,点 (2, )在 椭圆上. (1)求椭圆 的方程; (2)设动直线 交椭圆 于 两点,且 ,求 的面积的取值范围. ( 3 ) 过 ( ) 的 直 线 : 与 过 ( ) 的 直 线 : 的交点 ( )在椭圆 上,直线 与椭圆 的两准线分别 交于 两点,求 · 的值. 题型五 直线与圆锥曲线的关系问题 解题方法 一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答. 【例 5】已知双曲线 ,经过点 能否作一条直线 ,使 与双曲线交于 、 ,且点 是线段 的中点.若存在这样的直线 ,求出它的方程,若不存在,说明 理由. 这说明直线 与双曲线不相交,故被点 平分的弦不存在,即不存在这样的直线 . 【点评】(1)这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线 ,然后 验证它是否满足题设的 条件.本题属于中点弦问题,应考虑点差法或韦达定理.(2)本题如果忽视对判别式的 考察,将得出错误的结果,请务必小心.由此题可看到中点弦问题中判断点的 位置非常重 要.(1)若中点 在圆锥曲线内,则被点 平分的弦一般存在;(2)若中点 在圆锥曲 线外,则被点 平分的弦可能不存在. 【反馈检测 5】过点 (-1,0)作直线 与曲线 : 交于 两点,在 轴上 是否存在一点 ( ,0),使得 是等边三角形,若存在,求出 ;若不存在,请说明 理由. 题型六 圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题 解题方法 一般利用判别式和数形结合解答. 【例 6】已知曲线 及 有公共点,求实数 的取值范 围. 【点评】直线与圆锥曲线相交问题,一般可用两个方程联立后,用 来处理.但 用 来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题:方法 1,由“ ”与 直观图形相结合;方法 2,由“ ”与根与系数关系相结合. 【反馈检测 6】设椭圆 ,抛物线 . (1)若 经过 的两个焦点,求 的离心率; (2)设 , ,又 为 与 不在 轴上的两个交点,若 的垂心为 ,且 的重心在 上,求椭圆 和抛物线 的方程. 题型七 圆锥曲线的定点和定值问题 解题方法 过定点的问题,一般先求曲线的方程,再证明曲线过定点;定值的问题,就是求值问 题,直接求解就可以了. 【例 7】在直角坐标系 中,点 到点 的距离之和是 4,点 的轨迹是 与 轴的负半轴交于点 ,不过点 的直线 与轨迹 交于不同的 两点 和 . (I)求轨迹 的方程; (II)当 时,求 与 的关系,并证明直线 过定点. (2)将 ,代入曲线 C 的方程,整理得 因为直线 与曲线 C 交于不同的两点 和 , 所以 ① 设 ,则 ② 且 ③ 显 然 , 曲 线 与 轴 的 负 半 轴 交 于 点 ( -2 , 0 ), 所 以 由 将②、③代入上式,整理得 所以 即 经检验,都符合条件① 【点评】证明曲线过定点,一般先求曲线的方程,再证明它过定点. 【反馈检测 7】已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆 上的点到焦点距 离的最大值为 ,最小值为 . (Ⅰ)求椭圆 的标准方程; (Ⅱ)若直线 与椭圆 相交于 , 两点( 不是左右顶点),且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点,求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标. 题型八 轨迹问题 解题方法 一般利用直接法、待定系数法、代入法、消参法解答. 【例 8】 已知抛物线 和点 , 为抛物线上一点,点 在线段 上且 ,当点 在该抛物线上移动时,求点 的轨迹方程. 【点评】点 之所以在动,就是因为点 在动,所以点 是被动点,点 是主动点, 这种情景,应该利用代入法求轨迹方程. 【反馈检测 8】 已知 的顶点 ,顶点 在抛物线 上运动,求 的重心 的轨迹方程. 题型九 存在性问题 解题方法 一般先假设存在,再探求,最后检验. 【例 9】已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ,且经过点 ,过 点 的直 线 与椭圆 在第一象限相切于点 . (1)求椭圆 的方程;(2)求直线 的方程以及点 的坐标; (3))是否存过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ,满足 ? 若存在,求出 直线 的方程;若不存在,请说明理由. 因为直线 与椭圆相切,所以 整理,得 解得 所以直线 方程为 将 代入①式,可以解得 点横坐标为 1,故切点 坐标为 (Ⅲ)若存在直线 满足条件,的方程为 ,代入椭圆 的方程得 因 为 直 线 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 , 设 两 点 的 坐 标 分 别 为 所以 所以 . 又 , 因为 即 , 所以 . 即 【点评】存在性问题,一把先假设存在,再探究,最后检验. 【反馈检测 9】在平面直角坐标系 中,已知抛物线 : ,在此抛 物线上一点 到焦点的距离是 3. (1)求此抛物线的方程;(2)抛物线 的准线与 轴交于 点,过 点斜率为 的直线 与抛物线 交于 、 两点.是否存在这样的 ,使得抛物线 上总存在点 满 足 ,若存在,求 的取值范围;若不存在,说明理由. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 81 讲: 圆锥曲线常见题型解法参考答案 【反馈检测 1 答案】(1) ;(2) . (2)不妨设 的方程 ( ),则 的方程为 . 由 得 , 设 , ∵ ,∴ , 同理可得 .∴ , , , 设 ,则 ,当且仅当 时等号成立, ∴△ 面积的最大值为 . 【反馈检测 2 答案】 【反馈检测 2 详细解析】由已知可得圆心到直线的距离 ,故选 . 【反馈检测 3 答案】(Ⅰ)-3;(Ⅱ)4. 【反馈检测 4 答案】(1) ;(2) ;(3)-8. 【反馈检测 4 详细解析】(1)因为椭圆 : ( 过 (2, ), 故可求得 =2, =2 椭圆 的方程为 (2)设 ,当直线 斜率存在时设方程为 , 解方程组 得 ,即 , 则△= , 即 (*) , 要使 ,需使 ,即 , 所以 , 即 ① 将它代入(*)式可得 到 的距离为 将 及韦达定理代入可得 (3)点 P( )在直线 : 和 : 上, , 故点 ( ) ( )在直线 上 故直线 的方程, 上 设 分别是直线 与椭圆准线, 的交点 由 和 得 (-4, ) 由 和 得 (4, ) 故 · =-16+ 又 ( )在椭圆 : ,有 故 . · =-16+ =-8 【反馈检测 5 答案】 令 ,得 ,则 为正三角形, 到直线 AB 的距离 d 为 . 解得 满足②式,此时 . 【反馈检测 6 答案】(1) ;(2)椭圆方程为 ,抛物线方程为 . 【反馈检测 6 详细解析】(1)由已知椭圆焦点 在抛物线上,可得: ,由 . (2) 【反馈检测 7 答案】(1) ;(2)直线 过定点,定点坐标为 . 【反馈检测 7 详细解析】(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 , 由已知得: , , , , . 椭圆的标准方程为 . 因为以 为直径的圆过椭圆的右焦点 , ,即 , , , . 解得: , ,且均满足 , 当 时, 的方程为 ,直线过定点 ,与已知矛盾; 当 时, 的方程为 ,直线过定点 . 所以,直线 过定点,定点坐标为 . 【反馈检测 8 答案】 【反馈检测 8 详细解析】设 , ,由重心公式,得 又 在抛物线 上, . ③ 将①,②代入③,得 , 即所求曲线方程是 . 【 反 馈 检 测 9 答 案 】( 1 ) ;( 2 ) 存 在 这 样 的 , 且 的 取 值 范 围 为 . 【反馈检测 9 详细解析】(1)抛物线准线方程是 , , , 故抛物线的方程是 .