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- 2021-06-16 发布
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第2讲 小题考法——圆锥曲线的性质
一、主干知识要记牢
圆锥曲线的定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|+|PF2|=
2a(2a>|F1F2|)
||PF1|-|PF2||
=2a(2a<|F1F2|)
|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M
标准
方程
+=1(a>b>0)
-=1(a>0,b>0)
y2=2px(p>0)
图形
几
何
性
质
轴
长轴长2a,
短轴长2b
实轴长2a,
虚轴长2b
离心率
e==
(01)
e=1
渐近线
y=±x
二、二级结论要用好
1.椭圆焦点三角形的3个规律
设椭圆方程是+=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0),点P是椭圆上一点且点P的坐标是(x0,y0).
(1)三角形的三个边长是|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,|F1F2|=2c,e为椭圆的离心率.
(2)如果△PF1F2中∠F1PF2=α,则这个三角形的面积S△PF1F2=c|y0|=b2tan .
(3)椭圆的离心率e=.
2.双曲线焦点三角形的2个结论
P(x0,y0)为双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,△PF1F2为焦点三角形.
(1)面积公式
S=c|y0|=r1r2sin θ=(其中|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ).
(2)焦半径
若P在右支上,|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a;若P在左支上,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a.
3.抛物线y2=2px(p>0)焦点弦AB的4个结论
(1)xA·xB=;
(2)yA·yB=-p2;
(3)|AB|=(α是直线AB的倾斜角);
(4)|AB|=xA+xB+p.
4.圆锥曲线的通径
(1)椭圆通径长为;
(2)双曲线通径长为;
(3)抛物线通径长为2p.
5.圆锥曲线中的最值
(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长).
(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长).
(3)椭圆焦半径的取值范围为[a-c,a+c],a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离.
(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短.
三、易错易混要明了
1.利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
2.解决椭圆、双曲线、抛物线问题时,要注意其焦点的位置.
3.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零,判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”;在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型,即指定类型,也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置,从而设出标准方程.
(2)计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=ax或x2=ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
1.(2018·邵阳模拟)设点P是双曲线y2-=1上一点,A(0,-2),B(0,2),|PA|+|PB|=8,|PA|>4,则|PB|=( C )
A.2 B.
C.3 D.
解析 由于|PA|>4, 所以|PB|<4, 故|PA|-|PB|=2a=2,由于|PA|+|PB|=8, 解得|PB|=3, 故选C.
2.(2018·珠海模拟)已知双曲线M:-=1(a>0,b>0),其焦点F(±c,0)(c>0),右顶点A(a,0)到双曲线M的一条渐近线距离为,以点A为圆心,c为半径的圆在y轴所截弦长为8,则双曲线M的方程为( A )
A.-=1 B.-=1
C.x2-y2=9 D.x2-y2=16
解析 因为右顶点A(a,0)到双曲线M的一条渐近线距离为,所以=
.圆的方程为(x-a)2+y2=c2,令x=0得,y=±b,∴2b=8.∴b=4.又因为a2+b2=c2,∴c=5,a=3,故选A.
3.(2018·衡水中学押题卷)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是____.
解析 由椭圆的方程可知a=2,c=,
且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=3,|PF2|=1.
又|F1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,
即△PF1F2为直角三角形,且∠PF2F1为直角,
所以S△PF1F2=|F1F2||PF2|=×2×1=.
考点二 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求的值.
2.双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得.
(2)用法:①可得或的值;②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.
1.(2018·齐鲁名校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的上、下顶点分别为B1、B2,左顶点为A,左焦点为F,若直线AB1与直线B2F互相垂直,则椭圆的离心率为( C )
A. B.
C. D.
解析 依题意,直线AB1与直线B2F互相垂直,kAB1·kB2F=·=-1,∴b2=ac,a2-c2=ac,∴e2+e-1=0,e=,故选C.
2.(2018·三湘教育联盟联考)已知P(,)为双曲线C:x2-=1上一点,则点P到双曲线C的渐近线的距离为( B )
A. B.或
C. D.或
解析 由题意知,3-=1解得b2=3,则双曲线C的渐近线方程为x±y=0,所以P(,)到x±y=0的距离为或,即或,故选B.
3.(2018·郴州二模)已知双曲线-=-1的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为( B )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析 根据题意,双曲线的方程为-=1,则其焦点在x轴上,直线x+y=5与x轴交点的坐标为(5,0),则双曲线的焦点坐标为(5,0),则有9+m=25,解可得,m=16,则双曲线的方程为-=1,其渐近线方程为y=±x,故选B.
4.(2018·株洲二检)已知双曲线C:-=1的右焦点为F,其中一条渐近线与圆(x-c)2+y2=a2(c2=a2+b2,c>0)交于A,B两点,△ABF为锐角三角形,则双曲线C的离心率的取值范围是( D )
A. B.(,+∞)
C.(1,) D.
解析 双曲线C:-=1的右焦点为F(c,0),一条渐近线方程为bx-ay=0,圆(x-c)2+y2=a2(c2=a2+b2,c>0)的圆心(c,0),半径为a,渐近线与圆交于A,B两点,△ABF为锐角三角形,可得:a>>a,可得a2>b2>a2,又c2=a2+b2,b2>a2,可得c2>a2可得e>,由a2>b2可得e<.所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选D.
考点三 直线与圆锥曲线的位置关系及简单应用
处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点
(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用,如直径所对的圆周角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等.
(2)注意圆与特殊线的位置关系,如圆的直径与椭圆长轴(短轴),与双曲线的实轴(虚轴)的关系;圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等.
1.(2018·河南联考)已知直线y=kx+t与圆x2+(y+1)2=1相切且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是( A )
A.(-∞,-3)∪(0,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-3,0) D.(-2,0)
解析 因为直线与圆相切,所以=1,即k2=t2+2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2-4kx-4t=0,于是Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,解得t>0或t<-3.故选A.
2.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于( B )
A.-3 B.-
C.-或-3 D.±
解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,∴·=-,同理,直线 l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.故·的值为-.
3.(2018·湖北联考)抛物线y2=4x的焦点为F,直线y=x与该抛物线交于O、A两点(O为坐标原点),与抛物线的准线交于B点,直线AF与抛物线的另一交点为C,则cos ∠ABC=____.
解析 ⇒A(4,4),⇒B(-1,-1),AF:y=(x-1),⇒C∴∠ABC=,cos ∠ABC=.
4.(2018·唐山一模)已知P为抛物线y2=x上异于原点O的点,PQ⊥x轴,垂足为Q,
过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M,直线QM交y轴于点N,则=__ __.
解析 如图,设P(t2,t),则Q(t2,0),
PQ中点H.M,
∴直线MQ的方程为: y=(x-t2),
令x=0,可得yN=,∴则==.