【数学】2018届一轮复习苏教版（理）合情推理与演绎推理教案（江苏专用） 15页

第37课 合情推理与演绎推理 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 合情推理与演绎推理 ‎√‎ ‎1．合情推理 类型 定义 特点 归纳 推理 根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、由个别到一般 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 ‎2.演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　　)‎ ‎(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)‎ ‎(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是________．‎ ‎①归纳推理；　　　　　　 ②类比推理；‎ ‎③演绎推理； ④以上都不是．‎ ‎②　[类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．]‎ ‎3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．‎ an＝n2　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]‎ ‎4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________．‎ ‎①大前提错误导致结论错误；‎ ‎②小前提错误导致结论错误；‎ ‎③推理形式错误导致结论错误；‎ ‎④大前提和小前提错误导致结论错误．‎ ‎①　[“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]‎ ‎5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ A　[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]‎ 归纳推理 ‎　(1)数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是________．‎ ‎(2)(2016·山东高考)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.‎ ‎(1)　(2)n(n＋1)　[(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是.‎ ‎(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．]‎ ‎[规律方法]　1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎2．归纳推理的一般步骤：‎ ‎(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；‎ ‎(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·如皋市高三调研一)观察下列等式：‎ ‎12＝1；‎ ‎32＝2＋3＋4；‎ ‎52＝3＋4＋5＋6＋7；‎ ‎72＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10；‎ ‎92＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13；‎ ‎…‎ n2＝100＋101＋102＋…＋m，‎ 则n＋m＝________. 【导学号：62172200】‎ ‎(2)下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________．‎ ‎(1)497　(2)(n∈N＋)　[(1)观察所给等式，得：第2个等式右边为自然数2到4的和，左边为3平方；第3个等式右边为自然数3到7的和，左边为5平方；…故第n个等式右边为n起共2n－1个自然数的和，左边为2n－1的平方．∴第100个等式为：100＋101＋102＋…＋299＝n2＝1982；所以n＝198，m＝299，n＋m＝497.‎ ‎(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n，所以总个数为(n∈N＋)．]‎ 类比推理 ‎　(1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为________．‎ ‎①dn＝；　　　 ②dn＝；‎ ‎③dn＝； ④dn＝.‎ ‎(2)(2017·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图371)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．‎ 图371‎ ‎(1)④　(2)＝　[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.‎ 法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选④.‎ ‎(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]‎ ‎[规律方法]　1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．‎ ‎[变式训练2]　给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ ‎①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；‎ ‎②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；‎ ‎③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；‎ ‎④“若x∈R，则|x|<1⇒－10，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.‎ 　[设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.‎ 因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，‎ 所以类比得bm＋n＝.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎1和3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.‎ 若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；‎ 若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．‎ 故甲的卡片上的数字是1和3.‎ 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]‎ ‎3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎[解]　(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)法一：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 法二：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎ ‎4．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．‎ ‎[解]　类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．‎ 证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，‎ 则N(－m，－n)．‎ 因为点M(m，n)在已知双曲线上，‎ 所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.‎ 则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．‎