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- 2021-06-16 发布
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第四节 垂 直 关 系
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
直线与直线垂直
(1)
定义
:
若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点
,
并且交角为直角
,
则
称这两条直线互相垂直
.
(2)
若一条直线垂直于一个平面
,
则它就和平面内的任意一条直线垂直
.
2.
直线与平面垂直
(1)
定义
:
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直
,
那么称这条直线和
这个平面垂直
.
(2)
判定定理与性质定理
:
3.
平面与平面垂直
【
知识点辨析
】
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
直线
l
与平面
α
内的无数条直线都垂直
,
则
l
⊥α. (
)
(2)
若两平行线中的一条垂直于一个平面
,
则另一条也垂直于这个平面
.(
)
(3)
若直线
a⊥
平面
α,
直线
b∥α,
则直线
a
与
b
垂直
. (
)
(4)
若
α⊥β,a⊥β,
则
a∥α. (
)
(5)
若两平面垂直
,
则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面
.(
)
(6)
如果两个平面所成的二面角为
90°,
则这两个平面垂直
. (
)
提示
:
(1) ×.
直线
l
与平面
α
内的任意一条直线都垂直
,
则
l
⊥α.
(2)√.
(3)√.
(4)×.
若
α⊥β,a⊥β,
则
a∥α
或
a
α.
(5)×.
若两平面垂直
,
则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
.
(6)√.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
证明线面垂直时忽视平面上的两条直线相交
考点一、
T3
考点三、角度
1
2
证明面面垂直时找错直线
考点一、
T3
3
应用面面垂直的性质定理时忽视与交线垂直
考点三、角度
2
【
教材
·
基础自测
】
1.(
必修
2P43B
组
T3
改编
)
下列命题中不正确的是
(
)
A.
如果平面
α⊥
平面
β,
且直线
l
∥
平面
α,
则直线
l
⊥
平面
β
B.
如果平面
α⊥
平面
β,
那么平面
α
内一定存在直线平行于平面
β
C.
如果平面
α
不垂直于平面
β,
那么平面
α
内一定不存在直线垂直于平面
β
D.
如果平面
α⊥
平面
γ,
平面
β⊥
平面
γ,α∩β=
l
,
那么
l
⊥γ
【
解析
】
选
A.
根据面面垂直的性质
,
知
A
不正确
,
直线
l
可能平行于平面
β,
也可能
在平面
β
内或与平面
β
相交
.
2.(
必修
2 P38
例
1
改编
)
如图
,
在三棱锥
V-ABC
中
,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,
则构
成三棱锥的四个三角
形中直角三角形的个数为
.
所以有
4
个直角三角形
.
答案
:
4
3.(
必修
2 P42T6
改编
)
如图
,
已知平面
α,β,
且
α∩β=AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D
是
垂足
.
那么直线
AB
与平面
PCD
的位置关系为
,
若
PC=PD=1,CD= ,
则平面
α
与平面
β
的位置关系为
.
【
解析
】
因为
PC⊥α,AB
α,
所以
PC⊥AB.
同理
PD⊥AB.
又
PC∩PD=P,
故
AB⊥
平
面
PCD.
设
AB
与平面
PCD
的交点为
H,
连接
CH,DH.
因为
AB⊥
平面
PCD,
所以
AB⊥CH,
AB⊥DH,
所以∠
CHD
是二面角
α-AB-β
的平面角
.
又
PC=PD=1,CD= ,
所以
CD
2
=
PC
2
+PD
2
=2,
即∠
CPD=90°.
在平面四边形
PCHD
中
,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,
所以
∠
CHD=90°.
故平面
α⊥
平面
β.
答案
:
AB⊥
平面
PCD
平面
α⊥
平面
β
核心素养 逻辑推理
——
逻辑推理心路历程
【
素养诠释
】
逻辑推理是指从一些事实和命题出发
,
依据逻辑规则推出一个命题的过程
,
主要包括两类
:
一类是从特殊到一般的推理
,
推理形式主要有归纳、类比
;
一类是从一般到特殊的推理
.
【
典例
】
(2019·
全国卷
Ⅲ)
如图
,
点
N
为正方形
ABCD
的中心
,△ECD
为正三角形
,
平面
ECD⊥
平面
ABCD,M
是线段
ED
的中点
,
则 世纪金榜导学号
(
)
A.BM=EN,
且直线
BM,EN
是相交直线
B.BM≠EN,
且直线
BM,EN
是相交直线
C.BM=EN,
且直线
BM,EN
是异面直线
D.BM≠EN,
且直线
BM,EN
是异面直线
【
素养立意
】
本题要求证的结论是线段
BM
与
EN
的大小关系及位置关系
,
我们可以假定相交
,
那么需要找到它们所确定的平面
,
进而通过已知条件进行逻辑推理论证
.
【
解析
】
选
B.
连接
BD,
则点
N
在
BD
上且为
BD
中点
.
因为直线
BM,EN
都是平面
BED
内
的直线
,
且不平行
,
即直线
BM,EN
是相交直线
.
设正方形
ABCD
的边长为
2a,
则由题
意可得
:DE=2a,DM=a,DN= a,DB=2 a,
根据余弦定理可得
:BM
2
=DB
2
+DM
2
-
2DB·DMcos∠BDE=9a
2
-4 a
2
cos∠BDE,EN
2
=DE
2
+DN
2
-2DE·DNcos∠BDE=6a
2
-
4 a
2
cos∠BDE,
所以
BM≠EN.
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