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- 2021-06-16 发布
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必修二复习(立体几何)
空间几何体
空间几何体的结构
柱、锥、台、球的结构特征
简单几何体的结构特征
三视图
柱、锥、台、球的三视图
简单几何体的三视图
直观图
斜二测画法
平面图形
空间几何体
中心投影
柱、锥、台、球的表面积与体积
平行投影
画
图
识图
柱锥台球
圆锥
圆台
多面体
旋转体
圆柱
棱柱
棱锥
棱台
概念
结构特征
侧面积
体积
球
概念
性质
侧面积
体积
由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体
柱、锥、台、球的结构特征
D
A
B
C
E
F
F’
A’
E’
D’
B’
C’
棱柱
结构特征
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体。
侧棱
侧面
底面
顶点
注意:
有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?
答:不一定是.如图所示,不是棱柱.
棱柱的性质
1.
侧棱都相等,侧面都是平行四边形;
2.
两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形;
3.
平行于侧棱的截面都是平行四边形;
1
、
按侧棱是否和底面垂直分类
:
棱柱
斜棱柱
直棱柱
正棱柱
其它直棱柱
2
、
按底面多边形边数分类
:
棱柱的分类
三棱柱、四棱柱、
五棱柱、
······
棱柱的分类
按边数分
按侧棱是否与底面垂直分
斜棱柱 直棱柱 正棱柱
三棱柱 四棱柱 五棱柱
四棱柱
平行六面体
长方体
直平行六面体
正四棱柱
正方体
底面变为
平行四边形
侧棱与底面
垂直
底面是
矩形
底面为
正方形
侧棱与底面
边长相等
几种六面体的关系:
柱、锥、台、球的结构特征
棱锥
S
A
B
C
D
顶点
侧面
侧棱
底面
结构特征
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、
……
A
B
C
D
S
棱锥的分类
正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥。
【
知识梳理
】
棱锥
1
、
定义:
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥。
如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
2
、
性质
Ⅰ
、正棱锥的性质
(1)
各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
(2)
棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
正棱锥性质
2
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
Rt⊿ SOH
Rt⊿ SOB
Rt⊿ SHB
Rt⊿ BHO
棱台由棱锥截得而成,所以在棱台中也有类似的直角梯形。
柱、锥、台、球的结构特征
棱台
结构特征
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥
,
底面与截面之间的部分是棱台
.
B’
柱、锥、台、球的结构特征
圆柱
A
A’
O
B
O’
轴
底面
侧面
母线
结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴
,
其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
B’
柱、锥、台、球的结构特征
圆锥
S
顶点
A
B
O
底面
轴
侧面
母线
结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴
,
其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
柱、锥、台、球的结构特征
圆台
结构特征
O
O’
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥
,
底面与截面之间的部分是圆台
.
柱、锥、台、球的结构特征
球
结构特征
O
半径
球心
以半圆的直径所在直线为旋转轴
,
半圆面旋转一周形成的旋转体
.
空间几何体的表面积和体积
圆柱的侧面积:
圆锥的侧面积:
圆台的侧面积:
球的表面积:
柱体的体积:
锥体的体积:
台体的体积:
球的体积:
面积
体积
练习
C
1.
设棱锥的底面面积为
8cm
2
,那么这个棱锥的中截面
(
过棱锥的中点且平行于底面的截面
)
的面积是
( )
(A)4cm
2
(B) cm
2
(C)2cm
2
(D) cm
2
2.
若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小锥与原棱锥体积之比为
( )
(A)1 : 4 (B)
1 : 3
(C)
1 : 8
(D)
1 : 7
C
练
4
:一个正三棱锥的底面边长是
6
,高是 ,那么这个正三棱
锥的体积是( )
(
A
)
9
(
B
) (
C
)
7
(
D
)
练
5
:一个正三棱台的上、下底
面边长分别为
3cm
和
6cm
,
高是
1.5cm
,求三棱台的侧
面积。
A
6.
如图,等边圆柱(轴截面为正方形
ABCD
)
一只蚂蚁在
A
处,想吃
C
1
处的蜜糖,怎么走才最快,并求最短路线的长?
A
B
C
D
A
D
C
B
二、空间几何体的三视图和直观图
中心投影
平行投影
斜二测画法
俯视图
侧视图
正视图
三视图
直观图
投影
知识框架
A
B
C
a
b
c
A
B
C
a
b
c
H
H
平行投影法
平行投影法 投影线相互平行的投影法
.
(
1
)斜投影法
投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法
.
(
2
)正投影法
投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法
.
斜投影法
正投影法
正 投 影
三视图的形成原理
有关概念
物体向投影面投
影
所得到的图形称为
视图
。
如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影,所得到的三个图形摊平在一个平面上,则就是
三视图
。
三视图的形成
正视图
俯视图
侧视图
俯视图
侧视图
正视图
展开图
长对正
,
高平齐
,
宽相等
.
长
长
高
高
宽
宽
三视图的作图步骤
正视图方向
1.
确定视图方向
侧视图方向
俯视图方向
2.
先画出能反映物体真实形状的一个视图
4.
运用长对正、高平齐、宽相等的原则画出其它视图
5.
检查
,
加深
,
加粗。
(1)
一般几何体,
投影各顶点
,
连接。
(2)
常见几何体
,
熟悉。
总结
画三视图
:
两个三角形,
一般为锥体
两个矩形,
一般为柱体
两个梯形,
一般为台体
两个圆,
一般为球
三视图中,
斜二测画法步骤是:
(
1
)在已知图形中取互相垂直的
x
轴和
y
轴,两轴相交于点
O
。画直观图时,把它们画成对应的
x’
轴和
y’
轴,两轴交于点
O’
,且使
∠
x’O’y’=45°
(或
135 °
),它们确定的平面表示水平面。
(
2
)已知图形中平行于
x
轴或
y
轴的线段,在直观图中分别画成平行于
x’
轴或
y’
轴的线段。
(
3
)已知图形中平行于
x
轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于
y
轴的线段,长度为原来的一半。
练
1
:圆柱的正视图、侧视图都是
,俯视图是
;
圆锥的正视图、侧视图都是
,俯视图是
;
圆台的正视图、侧视图都是
,俯视图是
。
练
2
:利用斜二测画法可以得到:
①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平
行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图
是菱形。以上结论正确的是( )
(
A
)①② (
B
)① (
C
)③④ (
D
)①②③④
矩形
圆
三角形
圆及圆心
梯形
圆环
A
练
3
:根据三视图可以描述物体的形状,其中根据左视图可以判
断物体的
;根据俯视图可以判断物体的
;根据正视图可以判断物体的
。
宽度和高度
长度和宽度
长度和高度
“
正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”
.
练
4
:某生画出了图中实物的正视图与俯视图,则下列判断正确的
是( )
A.
正视图正确,俯视图正确
B.
正视图正确,俯视图错误
C.
正视图错误,俯视图正确
D.
正视图错误,俯视图错误
俯视 正视图
俯视图
左视
正视
练
5
:下图中三视图所表示物体的形状为( )
主视图 左视图 俯视图
一个倒放着的圆锥
B
6.
一平面图形的直观图如图所示,它原来的面积是
( )
2
2
o’
A
B
x
’
y
’
A.
4
B. C. D.
8
A
7.
如图所示, △
ABC
的直观图△
A’B’C’,
这里△
A’B’ C’
是边长为
2
的正三角形,作出△
ABC
的平面图 ,并求△
ABC
的面积
.
O’
A’
B’
x
’
y
’
C’
正三棱柱的侧棱为
2
,底面是边长为
2
的正三角形,则侧视图的面积为( )
B.
C.
D.
A.
B
侧视图
练习
8
:
将正三棱柱截去三个角(如图
1
所示分别是三边的中点)得到几何体如图
2
,则该几何体按图
2
所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
E
B
A
.
B
E
B
.
B
E
C
.
B
E
D
.
A
E
F
D
I
A
H
G
B
C
侧视
图
1
图
2
E
F
D
C
A
B
P
Q
9
:
(1)
如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形的直角边长均为
1
,那么几何体的体积为
( )
A
.
1
B
.
C
.
D
.
C
正视图
侧视图
俯视图
1
1
1
练习
10
:
20
20
主视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
11.
已知某个几何体的三视图如图
2
,根据图中标出的尺寸
(单位:
cm
),可得这个几何体的体积是
________.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
四个公理
直线与直线位置关系
三类关系
直线与平面位置关系
平面与平面位置关系
线线角
三种角
线面角
二面角
线面平行的判定定理与性质定理
线面垂直的判定定理与性质定理
八个定理
面面平行的判定定理与性质定理
面面垂直的判定定理与性质定理
四个公理
公理
1
:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内
.
(常用于证明直线在平面内)
公理
2
:不共线的三点确定一个平面
.
(用于确定平面)
.
推论
1
:直线与直线外的一点确定一个平面
.
推论
2
:两条相交直线确定一个平面
.
推论
3
:两条平行直线确定一个平面
.
公理
3
:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)
.
平行公理
:平行于同一条直线的两条直线互相平行
.
三类关系
1.
线线关系:
三类关系
2.
线面关系
直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,
则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
3.
面面关系
八个定理
八个定理
八个定理
八个定理
八个定理
八个定理
八个定理
立体几何解题中的转化策略
大策略:空间 平面
位置关系的相互转化
小策略:
③
平行关系
垂直关系
①
平行转化:线线平行 线面平行 面面平行
②
垂直转化:线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
1
:在棱长为
1
的正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
(1)
求异面直线
A
1
B
与
B
1
C
所成的角的大小
;
(2)
求直线
A
1
B
与平面
BB
1
D
1
D
所成的角
;
(4)
求证
:
平面
A
1
BD//
平面
CB
1
D
1
;
(7)
求点
A
1
到平面
CB
1
D
1
的距离
.
(3)
求二面角
A—BD—A
1
的正切值
;
经典例题
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
立体几何解题中的转化策略
例
2
:
立体几何解题中的转化策略
平面中的数量关系隐藏着三角形特征!
练习
1
:
立体几何解题中的转化策略
转化需要辅助线的添加!
练习
1
:
策略:线面平行转化成线线平行(空间转化平面)
立体几何解题中的转化策略
一个多面体的直观图及三视图如图所示:
例
3
(综合题型):
(其中
分别是
、
的中点)
正视图
侧视图
俯视图
立体几何解题中的转化策略
一个多面体的直观图及三视图如图所示:
例
3
(综合题型):
(其中
分别是
、
的中点)
直三棱柱
(
1
)求该多面体的表面积与体积;
策略:空间几何体的相互转化
可考虑将该多面体补图成正方体
解:
立体几何解题中的转化策略
一个多面体的直观图及三视图如图所示:
例
3
(综合题型):
(其中
分别是
、
的中点)
直三棱柱
(
2
)求证:
平面
;
策略:利用中位线将线面平行转化成线线平行
解:
立体几何解题中的转化策略
一个多面体的直观图及三视图如图所示:
例
3
(综合题型):
(其中
分别是
、
的中点)
直三棱柱
(
3
)求二面角
的正切值;
策略:将二面角转化成平面角
,
先找后求
解:
立体几何解题中的转化策略
一个多面体的直观图及三视图如图所示:
例
3
(综合题型):
(其中
分别是
、
的中点)
直三棱柱
(
4
)求多面体
的体积;
策略:将点面距离转化成点线距离
解:
必修二复习(解析几何)
解析几何知识网络图
直线和圆
直线的斜率与倾斜角
直线方程的五种形式
点到直线的距离公式
两条直线的位置关系
圆的标准及一般方程
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
空间两点的距离公式
了解空间直角坐标系
直线与直线方程
直线的倾斜角和斜率
直线的方程
两直线的位置关系
一、直线与直线方程
1
、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是
2
、直线的斜率
意义:斜率表示倾斜角不等于
90
0
的直线对于
x
轴的倾斜程度。
直线的斜率计算公式
:
形式
条件
方程
应用范围
点斜式
过点
( x
0
,
y
0
),
斜率为
k
斜截式
在
y
轴上的截距为
b
,
斜率为
k
两点式
过
P
1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
)
截距式
在
y
轴上的截距为
b
,
在
x
轴上的截距为
a
一般式
任何直线
两直线平行的判定
:
方法:
2)
若
1)
若
两直线相交的判定
:
方法:
1)
若
相交
2)
若
相交
两直线垂直的判定
:
方法:
2)
若
1)
若
(
1
)点 到直线 距离:
4.
点到直线的距离,平行线的距离
(
2
)直线 到直线 的距离:
对称问题
1)
中心对称
(
点关于点的对称点
,
直线关于点的对称直线
)
解决方法
中点坐标公式
3)
轴对称
(
点关于直线的对称点
,
直线关于直线的对称直线
)
解决方法
(1)
垂直
(2)
中点在对称轴上
题型一 求直线的方程
例
1
、求适合下列条件的直线方程:
(
1
)经过点
P
(
3
,
2
),且在两坐标轴上的截距
相等;
(
2
)经过点
A
(
-1
,
-3
),且倾斜角等于直线
y
=
3
x
的倾斜角的
2
倍
.
选择适当的直线方程形式,把所需要
的条件求出即可
.
解
(
1
)
方法一
设直线
l
在
x
,
y
轴上的截距均为
a
,
若
a
=0
,即
l
过点(
0
,
0
)和(
3
,
2
),
∴
l
的方程为
y
=
x
,即
2
x
-3
y
=0.
思维启迪
若
a
≠0
,则设
l
的方程为
∵
l
过点(
3
,
2
),∴
∴
a
=5
,∴
l
的方程为
x
+
y
-5=0,
综上可知,直线
l
的方程为
2
x
-3
y
=0
或
x
+
y
-5=0.
方法二
由题意知,所求直线的斜率
k
存在且
k
≠0,
设直线方程为
y
-2=
k
(
x
-3),
令
y
=0
,得
x
=3- ,
令
x
=0,
得
y
=2-3
k
,
由已知
3- =2-3
k
,解得
k
=-1
或
k
= ,
∴
直线
l
的方程为
y
-2=-
(
x
-3
)或
y
-2= (
x
-3),
即
x
+
y
-5=0
或
2
x
-3
y
=0.
(
2
)由已知:设直线
y
=3
x
的倾斜角为 ,
则所求直线的倾斜角为
2 .
∵tan =3,∴tan 2 =
又直线经过点
A
(
-1
,
-3
),
因此所求直线方程为
y
+3=- (
x
+1),
即
3
x
+4
y
+15=0.
题型二 直线的斜率
【
例
2
】
已知直线
l
过点
P
(
-1
,
2
),且与以
A
(
-2
,
-3
),
B
(
3
,
0
)为端点的线段相交,
求直线
l
的斜率的取值范围
.
分别求出
PA
、
PB
的斜率,直线
l
处
于直线
PA
、
PB
之间,根据斜率的几何意义利
用数形结合即可求
.
解
方法一
如图所示,直线
PA
的
斜率
直线
PB
的斜率
思维启迪
当直线
l
绕着点
P
由
PA
旋转到与
y
轴平行的位置
PC
时,它的斜率变化范围是[
5
,
+∞
);
当直线
l
绕着点
P
由
PC
旋转到
PB
的位置时,它的斜
率的变化范围是
∴直线
l
的斜率的取值范围是
方法二
设直线
l
的斜率为
k
,则直线
l
的方程为
y
-2=
k
(
x
+1
),
即
kx
-
y
+
k
+2=0.
∵
A
、
B
两点在直线的两侧或其中一点在直线
l
上,
∴(
-2
k
+3+
k
+2
)(
3
k
-0+
k
+2
)≤
0
,
即
(
k
-5
)(
4
k
+2
)≥
0
,∴
k
≥5
或
k
≤- .
即直线
l
的斜率
k
的取值范围是
∪[
5
,
+∞
)
.
方法一
运用了数形结合思想
.
当直线
的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,
需根据正切函数
y
=tan
的单调性求
k
的范围,数
形结合是解析几何中的重要方法
.
解题时,借助图
形及图形性质直观判断,明确解题思路,达到快
捷解题的目的
.
方法二则巧妙利用了不等式所表示
的平面区域的性质使问题得以解决
.
探究提高
题型三 两直线的位置关系
例
3
:
已知直线方程为
(2
+
λ
)
x
+
(1
-
2
λ
)
y
+
9
-
3
λ
=
0.
(1)
求证不论
λ
取何实数值,此直线必过定点;
(2)
过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴
间的线段被这点
平分,求这条直线方程
.
即点
(
-
3
,-
3)
适合方程
2
x
+
y
+
9
+
λ
(
x
-
2
y
-
3)
=
0
,也就
是适合方程
(2
+
λ
)
x
+
(1
-
2
λ
)
y
+
9
-
3
λ
=
0.
解:
把直线方程整理为
2
x
+
y
+
9
+
λ
(
x
-
2
y
-
3)
=
0.
所以,不论
λ
取何实数值,直线
(2
+
λ
)
x
+
(1
-
2
λ
)
y
+
9
-
3
λ
=
0
必过定点
(
-
3
,-
3)
.
(2)
设经过点
(
-
3
,-
3)
的直线与两坐标轴分别交于
A
(
a,
0)
,
B
(0
,
b
)
.
解得
a
=-
6
,
b
=-
6.
即
x
+
y
+
6
=
0.
练
1
、过 的直线 与线段 相交,若 ,
求 的斜率 的取值范围。
2
、证明: 三点共线。
3
、设直线 的斜率为 ,且 ,求直线的倾斜角
的取值范围。
4
、已知直线 的倾斜角的正弦值为 ,且它与两坐标轴围成
的三角形面积为 ,求直线 的方程。
答案:
1
、 ;
2
、方法:①
② ③ ;
3
、 ;
4
、 、 、 、 。
练
5
、 为何值时,直线 与
平行?垂直?
练
6
、求过点 且与原点的距离为 的直线方程。
答案:
1
、判断 是否为 , 时垂直;
2
、 ;
9
、
(
1
)求
A
(
-2
,
3
)关于直线对称点
B
的坐标;
(
2
)光线自
A
(
-3
,
3
)射出,经
x
轴反射以后经过点
B
(
2
,
5
),求入射光线和反射光线的直线方程;
(
3
)已知
M
(
-3
,
5
),
N
(
2
,
15
),在直线上找一点
P
,使
|PM|+|PN|
最小,并求出最小值
D
A
.
ab
>
0
,
bc
>
0
C
.
ab
<
0
,
bc
>
0
B
.
ab
>
0
,
bc
<
0
D
.
ab
<
0
,
bc
<
0
10
、若直线
ax
+
by
+
c
=
0
在第一、二、
三象限,则
( )
圆
的
方
程
直线与圆、圆与圆的位置关系
圆与圆方程
求曲线方程
圆的标准方程
圆的一般方程
圆的参数方程
二、圆的方程
(
1
)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解;
(
2
)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,
1.
曲线与方程
(
1
)建立适当的坐标系,用
(x
,
y)
表示曲线上
任意
一点
M
的坐标;
(
2
)用坐标
x,y
表示关系式,即列出方程
f(x,y)=0;
(
3
)化简方程
f(x,y)= 0;
(
4
)验证
x
、
y
的取值范围。
2.
求曲线方程
圆的标准方程
圆的一般方程
圆的参数方程
1.(
全国
)
圆心为
(1,2)
且与直线
5x-12y-7=0
相切的圆的方程为
2.
圆心在直线
2x-y-7=0
上的圆
C
与
y
轴交于两点
A(0,-4),B(0,-2),
求圆
C
的方程
.
3.
△ABC
的三个顶点的坐标分别是
A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),
求它的外接圆的方程
.
位置关系
直线与圆的位置关系
:
或
或
或
相离
相切
相交
判断方法
d>R+r
d=R+r
d= |R-r|
|R-r|R+r
d=R+r
R-r
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