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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版最值与范围问题学案

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第二课时 最值与范围问题 考向一 圆锥曲线中的最值问题 ‎【典例】 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.‎ ‎(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程;‎ ‎(2)若AB的中垂线交x轴于点M,求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.‎ ‎[思路分析]‎ 总体 设计 看到:求直线方程和最值问题.‎ 想到:直线方程的几种形式及构建关于面积函数,转化为函数最值问题.‎ 解题 指导 ‎(1)设出直线AB的方程并代入抛物线方程,结合根与系数关系求解AB的斜率;‎ ‎(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数,通过利用导数求面积最大值,解得直线斜率,从而求出直线方程.‎ ‎[规范解答] (1)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意;所以可设直线AB的方程为y=kx+b, 1分 代入方程y2=4x得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0,‎ ‎∴x1+x2==2,得b=-k,‎ ‎∴直线AB的方程为y=k(x-1)+, 3分 ‎∵AB中点的横坐标为1,‎ ‎∴AB中点的坐标为,‎ ‎∴AB的中垂线方程为 y=-(x-1)+=-x+, 4分 ‎∵AB的中垂线经过点P(0,2),故=2,得k=,‎ ‎∴直线AB的方程为y=x-. 5分 ‎(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y=-x+,‎ ‎∴M点的坐标为(3,0), 6分 ‎∵直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0,‎ ‎∴M到直线AB的距离d==, 7分 由得y2-ky+2-k2=0,‎ ‎∴y1+y2=,y1·y2=, 8分 ‎|AB|=|y1-y2|=, 9分 ‎∴S△MAB=4 ,‎ 设 =t,则0b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心,且∠OCA=90°,|BC|=2|AC|.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)过点(0,t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点,设D为椭圆与y轴负半轴的交点,且|DP|=|DQ|,求实数t的取值范围.‎ 解 (1)∵|BC|=2|AC|且BC过点(0,0),则|OC|=|AC|.‎ ‎∵∠OCA=90°,∴C(,).‎ 由题意知a=2,‎ 则椭圆M的方程为+=1,‎ 将点C的坐标代入得+=1,解得b2=4.‎ ‎∴椭圆M的方程为+=1.‎ ‎(2)设过点(0,t)的直线的斜率为k,当k=0时,显然-20可得,t2<4+12k2.①‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为H(x0,y0),‎ 则x0==,y0=kx0+t=,‎ ‎∴H.‎ ‎∵|DP|=|DQ|,∴DH⊥PQ,即kDH=-.‎ ‎∴=-,化简得t=1+3k2,②‎ 由①②得,1