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- 2021-06-16 发布
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第二课时 最值与范围问题
考向一 圆锥曲线中的最值问题
【典例】 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2.
(1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程;
(2)若AB的中垂线交x轴于点M,求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.
[思路分析]
总体
设计
看到:求直线方程和最值问题.
想到:直线方程的几种形式及构建关于面积函数,转化为函数最值问题.
解题
指导
(1)设出直线AB的方程并代入抛物线方程,结合根与系数关系求解AB的斜率;
(2)以三角形面积为突破口建立关于面积的函数,通过利用导数求面积最大值,解得直线斜率,从而求出直线方程.
[规范解答] (1)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意;所以可设直线AB的方程为y=kx+b, 1分
代入方程y2=4x得:k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
∴x1+x2==2,得b=-k,
∴直线AB的方程为y=k(x-1)+, 3分
∵AB中点的横坐标为1,
∴AB中点的坐标为,
∴AB的中垂线方程为
y=-(x-1)+=-x+, 4分
∵AB的中垂线经过点P(0,2),故=2,得k=,
∴直线AB的方程为y=x-. 5分
(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y=-x+,
∴M点的坐标为(3,0), 6分
∵直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0,
∴M到直线AB的距离d==, 7分
由得y2-ky+2-k2=0,
∴y1+y2=,y1·y2=, 8分
|AB|=|y1-y2|=, 9分
∴S△MAB=4 ,
设 =t,则0b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心,且∠OCA=90°,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆M的方程;
(2)过点(0,t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点,设D为椭圆与y轴负半轴的交点,且|DP|=|DQ|,求实数t的取值范围.
解 (1)∵|BC|=2|AC|且BC过点(0,0),则|OC|=|AC|.
∵∠OCA=90°,∴C(,).
由题意知a=2,
则椭圆M的方程为+=1,
将点C的坐标代入得+=1,解得b2=4.
∴椭圆M的方程为+=1.
(2)设过点(0,t)的直线的斜率为k,当k=0时,显然-20可得,t2<4+12k2.①
设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为H(x0,y0),
则x0==,y0=kx0+t=,
∴H.
∵|DP|=|DQ|,∴DH⊥PQ,即kDH=-.
∴=-,化简得t=1+3k2,②
由①②得,1