【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第5讲　三角函数的图象与性质学案 18页

第5讲　三角函数的图象与性质 ‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}‎ 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在(k∈Z)上增；‎ 在(k∈Z)上减 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减；在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上增 在(k∈Z)上增 对称中心 ‎(kπ，0)(k∈Z)‎ (k∈Z)‎ (k∈Z)‎ 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z)‎ x＝kπ(k∈Z)‎ 无 ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　　)‎ ‎(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(　　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)‎ ‎(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)‎ ‎(5)y＝sin|x|是偶函数．(　　)‎ ‎(6)若sin x＞，则x＞.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)‎ A．4π　　　　　　　　　 B．2π C．π D． 解析：选C．依题意得，函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期T＝＝π，选C．‎ ‎ 函数y＝tan 3x的定义域为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选D.由3x≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋，k∈Z.故选D.‎ ‎ (教材习题改编)函数f(x)＝3sin(2x－)在区间上的值域为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B．因为x∈，‎ 所以2x－∈.‎ 所以3sin∈.‎ ‎ 函数y＝sin的对称轴为________，对称中心为________．‎ 解析：由x－＝＋kπ，得x＝π＋kπ，‎ 由x－＝kπ，得x＝＋kπ.‎ 故函数y＝sin的对称轴为x＝π＋kπ，k∈Z；‎ 对称中心为，k∈Z.‎ 答案：x＝π＋kπ，k∈Z　，k∈Z ‎ 已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．‎ 解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)‎ 得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，‎ 又因为x∈[－π，0]，‎ 所以f(x)的增区间为和.‎ 答案：和 三角函数的定义域和值域 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)函数y＝的定义域为________．‎ ‎(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．‎ ‎【解析】　(1)利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，所以定义域为.‎ ‎(2)因为x∈，所以sin x∈.‎ 又y＝3－sin x－2cos2x ‎＝3－sin x－2(1－sin2x)‎ ‎＝2＋.‎ 所以当sin x＝时，ymin＝，‎ 当sin x ＝－或sin x＝1时，ymax＝2.‎ 即函数值域为.‎ ‎【答案】　(1) ‎(2) ‎(1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎(2)三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求．‎ ‎②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．‎ ‎③把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．‎ ‎④利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)‎ A．2－　　　　　　　　 B．0‎ C．－1 D．－1－ 解析：选A．因为0≤x≤9，‎ 所以－≤－≤，‎ 所以sin∈.‎ 所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.‎ ‎2．函数y＝的定义域为________．‎ 解析：要使函数有意义，必须有 即故函数的定义域为.‎ 答案： ‎3．函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域为________．‎ 解析：设t＝sin x＋cos x，‎ 则sin xcos x＝(－≤t≤)，‎ y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，‎ 当t＝时，y取最大值为＋，‎ 当t＝－1时，y取最小值为－1.‎ 所以函数值域为.‎ 答案： 三角函数的单调性(高频考点)‎ 三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，多为中档题．主要命题角度有：‎ ‎(1)确定三角函数的单调性(单调区间)；‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　确定三角函数的单调性(单调区间)‎ ‎ (1)y＝sin的单调递减区间为________．‎ ‎(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，递减区间为________．‎ ‎【解析】　(1)y＝－sin的减区间是y＝sin的增区间．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所给函数的减区间为，k∈Z.‎ ‎(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图，‎ 观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.‎ ‎【答案】　(1)，k∈Z ‎(2)，k∈Z　，k∈Z ‎ 角度二　已知三角函数的单调区间求参数 ‎ 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上是减函数，则ω的取值范围是________．‎ ‎【解析】　由0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)‎ A．(k∈Z)‎ B．(k∈Z)‎ C．(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析：选B．由kπ－<2x－0)和g(x)＝3·cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ 解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.‎ 答案： ‎9．(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.‎ 解：(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)．‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)证明：因为－≤x≤，‎ 所以－≤2x＋≤.‎ 所以sin(2x＋)≥sin(－)＝－.‎ 所以当x∈[－，]时，f(x)≥－.‎ ‎10．(2016·高考北京卷)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间．‎ 解：(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋)，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝.‎ 依题意，＝π，‎ 解得ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)．‎ 函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎1．(2018·惠州第三次调研)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为(　　)‎ A． B．1‎ C． D．2‎ 解析：选C．y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.‎ 法一：设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，所以当t＝时，函数取得最大值.‎ 法二：设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1，y′＝－4t＋2.当≤t≤1时，y′≤0；当－1≤t≤时，y′≥0.当t＝时y取得最小值，ymin＝－2×＋2×＋1＝，选C．‎ ‎2．(2018·石家庄质量检测(一))若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)‎ A．－1 B．－ C．－ D．－ 解析：选B．f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，则由题意，知f＝2sin＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f＝－2sin＝－，故选B．‎ ‎3．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是(　　)‎ A．∪[6，＋∞)‎ B．∪ C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)‎ D．(－∞，－2]∪ 解析：选D.法一：易知当ω＝0时不符合题意．当ω＞0时，－ω≤ωx≤ω，可知－ω≤－，即ω≥；当ω＜0时，ω≤ωx≤－ω，可知ω≤－，即ω≤－2.综上，ω的取值范围是(－∞，－2]∪，故选D.‎ 法二：取ω＝2，则函数f(x)＝2sin 2x，根据2x∈知当2x＝－时，f(x)取得最小值－2，满足条件，排除A，C；取ω＝－3，则函数f(x)＝2sin(－3x)＝－2sin 3x，根据3x∈知当3x＝时，f(x)取得最小值－2，满足条件，排除B，故选D.‎ ‎4．(2018·成都第二次诊断检测)已知函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sin φcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A．(0，2] B． C． D． 解析：选C．f(x)＝sin(ωx＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx＋φ)＝cos φsin(ωx＋φ)－sin φcos(ωx＋φ)＝sin ωx，＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，k∈Z⇒＋≤x≤＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，‎ 所以＋≤π＜≤＋，k∈Z，由＋≤π，可得＋2k≤ω，k∈Z，由≤＋，k∈Z，可得ω≤1＋，k∈Z，所以＋2k≤ω≤1＋，k∈Z，又≥－π＝，所以≥π，因为ω＞0，所以0＜ω≤2，所以当k＝0时，≤ω≤1.故选C．‎ ‎5．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ ‎＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ，‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，‎ 可得sin＝±1，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 即ω＝＋(k∈Z)．‎ 又ω∈，k∈Z，‎ 所以k＝1，故ω＝.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点，‎ 得f＝0，‎ 即λ＝－2sin＝－2sin＝－，‎ 即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin－，‎ 函数f(x)的值域为[－2－，2－]．‎ ‎6．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．‎ 解：(1)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 所以sin∈，‎ 所以－2asin∈[－2a，a]．‎ 所以f(x)∈[b，3a＋b]，‎ 又因为－5≤f(x)≤1，‎ 所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得，‎ f(x)＝－4sin－1，‎ g(x)＝f＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1，‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，‎ 所以4sin－1>1，所以sin>，‎ 所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ