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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版第4章三角函数解三角形第3节学案

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第3节 三角函数的图像与性质 最新考纲 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).‎ ‎(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈ )‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图像 定义域 R R ‎{x kπ+}‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ-π,2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ,2kπ+π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ,0)‎ 对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0时情况,避免出现增减区间的混淆.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.( )‎ ‎(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )‎ ‎(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )‎ ‎(4)y=sin|x|是偶函数.( )‎ 解析 (1)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.‎ ‎(2)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈ )上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.‎ ‎(3)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin的最小正周期为( )‎ A.4π B.2π C.π D. 解析 由题意T==π.‎ 答案 C ‎3.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )‎ A. B.1‎ C. D. 解析 cos =cos=sin,则f(x)=sin+sin=sin,函数的最大值为.‎ 答案 A ‎4.(2018·榆林检测)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=________.‎ 解析 由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+(k∈ ),即φ=3kπ+(k∈ ),又φ∈[0,2π],所以φ=.‎ 答案 ‎5.(教材习题改编)函数y=-tan的单调递减区间为________.‎ 解析 因为y=tan x的单调递增区间为 (k∈ ),‎ 所以由-+kπ<2x-<+kπ(k∈ ),‎ 得+<x<+(k∈ ),‎ 所以y=-tan的单调递减区间为 (k∈ ).‎ 答案 (k∈ )‎ 考点一 三角函数的定义域 ‎【例1】 (1)函数y=的定义域为________.‎ ‎(2)函数y=lg(sin x)+的定义域为________.‎ 解析 (1)要使函数有意义,必须有 即 故函数的定义域为 .‎ ‎(2)函数有意义,则即 解得 所以2kπ0)在上单调递增,在区间 上单调递减,则ω=________.‎ 解析 (1)由已知可得函数为y=-sin,欲求函数的单调递减区间,只需求y=sin的单调递增区间.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈ ,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈ .‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈ ).‎ ‎(2)法一 由于函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图像经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图像可知,为函数f(x)的周期,故=,解得ω=.‎ 法二 由题意,得f(x)max=f =sinω=1.‎ 由已知并结合正弦函数图像可知,ω=,解得ω=.‎ 答案 (1)(k∈ ) (2) 规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.‎ ‎2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.‎ 命题角度3 三角函数的对称轴或对称中心 ‎【例3-3】 (1)(2018·石家庄检测)若是函数f(x)=sin ωx+cos ωx图像的一个对称中心,则ω的一个取值是( )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( )‎ A.11 B.9 C.7 D.5‎ 解析 (1)因为f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,由题意,知f =sin=0,所以+=kπ(k∈ ),即ω=8k-2(k∈ ),当k=1时,ω=6.‎ ‎(2)因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图像的对称轴,所以-=+,即=T=·,所以ω=2k+1(k∈N+).‎ 又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12.‎ 结合选项经验证,当ω=11时,f(x)在上不单调;当ω=9时,f(x)在上单调,选项B满足条件.‎ 答案 (1)C (2)B 规律方法 1.对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈ ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈ ),求x即可.‎ ‎2.对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈ ),求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈ ),求x即可.‎ ‎【训练3】 (2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )‎ A.f(x)的一个周期为-2π ‎ B.y=f(x)的图像关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= ‎ D.f(x)在单调递减 解析 函数f(x)=cos的图像可由y=cos x的图像向左平移个单位得到,如图可知,f(x)在上先递减后递增,D选项错误.‎ 答案 D 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.关于函数y=tan,下列说法正确的是( )‎ A.是奇函数 B.在区间上单调递减 C.为其图像的一个对称中心 D.最小正周期为π 解析 函数y=tan是非奇非偶函数,A错误;在区间上单调递增,B错误;最小正周期为,D错误.‎ ‎∵当x=时,tan=0,‎ ‎∴为其图像的一个对称中心.‎ 答案 C ‎2.若函数y=cos(ω∈N+)图像的一个对称中心是,则ω的最小值为( )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ 解析 由题意知π+=kπ+(k∈ ),‎ ‎∴ω=6k+2(k∈ ),又ω∈N+,∴ωmin=2.‎ 答案 B ‎3.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②④ D.①③‎ 解析 ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;‎ ‎②由图像知y=|cos x|的最小正周期为π;‎ ‎③y=cos的最小正周期T==π;‎ ‎④y=tan的最小正周期T=.‎ 答案 A ‎4.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析 ∵ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤.‎ 由已知条件知-≤-,∴ω≥.‎ 答案 B ‎5.(2018·佛山模拟)已知x0=是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极大值点,则f(x)的一个单调递减区间是( )‎ A. B. C. D. 解析 因为x0=是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极大值点,‎ 所以sin=1,解得φ=2kπ-,k∈ .‎ 不妨取φ=-,此时f(x)=sin,‎ 令2kπ+<2x-<2kπ+(k∈ ),得kπ+0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ 解 (1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,∴ω=2.于是,f(x)=sin.令2x-=kπ+(k∈ ),得x=+(k∈ ),故函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈ ).‎ ‎(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈ ),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈ ).注意到x∈,令k=0,得函数f(x)在 上的单调递增区间为;其单调递减区间为.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎11.(2017·天津卷)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f =2,f =0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )‎ A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C.ω=,φ=- D.ω=,φ= 解析 ∵f =2,f =0,且f(x)的最小正周期大于2π,‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4=3π,‎ ‎∴ω==,‎ ‎∴f(x)=2sin.‎ ‎∴2sin=2,得φ=2kπ+,k∈ ,‎ 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.‎ 答案 A ‎12.(2018·绵阳诊断)若f(x)=cos 2x+acos在区间上是增函数,则实数a的取值范围为________.‎ 解析 f(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t,t∈,则g(t)=-2t2-at+1,t∈‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(1,2),1)),因为f(x)在上单调递增,所以-≥1,即a≤-4.‎ 答案 (-∞,-4]‎ ‎13.(2018·上饶调研)已知函数f(x)=a+b.‎ ‎(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.‎ 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin+a+b.‎ ‎(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,‎ 由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈ ),‎ 得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈ ),‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(k∈ ).‎ ‎(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,‎ ‎∴-≤sin≤1,依题意知a≠0.‎ ‎①当a>0时,∴a=3-3,b=5.‎ ‎②当a<0时,∴a=3-3,b=8.‎ 综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.‎