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- 2021-06-16 发布
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2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(重点)
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.(难点)
3.掌握两点间距离公式并会应用.(重点)
1. 通过两直线交点坐标的学习,提升数学运算、直观想象的数学素养.
2. 通过两点间距离学习,培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,那么我们会有Ax0+By0+C=0,若P(x0,y0),同时在两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0上时,我们会有Aix0+Biy0+Ci=0(i=1,2),那么点P就是这两条直线的交点.
下面我们就来研究两直线的交点问题.
1.两条直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a,b)
直线l
l:Ax+By+C=0
点A在直线l上
Aa+Bb+C=0
直线l1与l2的交点是A
方程组的解是
2.直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的位置关系如表所示:
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
3.两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
|P1P2|=.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.
②当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.
③当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.
思考:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|=的形式?
[提示] 可以,原因是=,也就是说公式中P1,P2两点的位置没有先后之分.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直线相交. ( )
(2)若两条直线的斜率都存在且不等,则两条直线相交. ( )
(3)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|. ( )
(4)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|. ( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.直线x=1和直线y=2的交点坐标是( )
A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1)
C [由得交点坐标为(1,2),故选C.]
3.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( )
A.2 B.3+2
C.6+3 D.6+
C [|AB|==3,|BC|==3,|AC|==3,则△ABC的周长为6+3.]
4.若直线x-ay+1=0与直线x+y-1=0的交点在y轴上,则a的值是________.
1 [直线x+y-1=0与y轴的交点为(0,1),把(0,1)代入x-ay+1=0的-a+1=0解得a=1.]
两条直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
[解] 法一:(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).
(2)方程组有无数个解,
这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解,
这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
法二:(1)∵kl1=2,kl2=-,kl1≠kl2,
∴l1与l2相交,
由得
故l1与l2的交点为(3,-1).
(2)由==,知l1与l2重合.
(3)l2方程为2x+y-3=0,
由=≠知两直线l1与l2平行.
两条直线相交的判定方法
方法一:联立直线方程解方程组,若有一解,则两直线相交.
方法二:两直线斜率都存在且斜率不等.
方法三:两直线的斜率一个存在,另一个不存在.
[跟进训练]
1.若直线l1:y=kx+k+2与直线l2:y=-2x+4的交点在第一象限内,则实数k的取值范围是( )
A.k>- B.k<2
C.-<k<2 D.k<-或k>2
C [法一:由题意知,直线l1过定点P(-1,2),斜率为k,直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,4),若直线l1与l2的交点在第一象限内,则l1必过线段AB上的点(不包括A,B),因为kPA=-,kPB=2,所以-<k<2.故选C.
法二:由直线l1,l2有交点,得k≠-2.
由
得
又交点在第一象限内,所以解得-<k<2.]
两点间距离公式
【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
[思路探究] 先把三个顶点描在平面直角坐标系中,观察出三角形的形状,再用距离公式及斜率的关系验证.
[解] (1)如图所示,△ABC为直角三角形,下面进行验证.
法一:∵|AB|==2,
|AC|==,|BC|==5.
∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
法二:∵kAB==-2,kAC==.
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
(2)由(1)中法一得|AB|=2,|AC|=.
又∵∠A=90°,∴S△ABC=|AB||AC|=×2×=5.
1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.
2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.
[跟进训练]
2.已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
[解] 设点P(x,0),
则有|PA|==,
|PB|==.
由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,
解得x=-.即所求点P为,
且|PA|==.
过两条直线交点的直线系方程应用
[探究问题]
1. 如何求两条直线的交点坐标?
[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可.
2.怎样表示过两条直线交点的直线系方程?
[提示] 过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
3.方程(a-1)x-y+(2a-1)=0表示过哪两条直线的直线系方程.
[提示] 方程可化为a(x+2)+(-x-y-1)=0,所以该方程可表示为过直线x+2=0和-x-y-1=0的交点的直线系方程.
【例3】 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
[思路探究] →→条件确定系数
[解] 法一:解方程组
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x+y-1=0平行,所以所求直线的斜率为-3.
故所求直线方程为y+=-3,
即15x+5y+16=0.
法二:设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,
即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*)
由于所求直线与直线3x+y-1=0平行,
所以有得λ=.
代入(*)式,得x+y+=0,
即15x+5y+16=0.
1.本例中将“3x+y-1=0”改为“x+3y-1=0”,则如何求解?
[解] 由例题知直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点坐标为,直线l与x+3y-1=0平行,故斜率为-,所以直线l的方程为y+=-,即5x+15y+24=0.
2.本例中若将“平行”改为“垂直”,又如何求解?
[解] 设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,
即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,
由于所求直线与直线3x+y-1=0垂直,
则3(2+λ)+(λ-3)×1=0,得λ=-,
所以所求直线方程为5x-15y-18=0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线方程,再结合其他条件用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2-A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)是过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线(不含l2).
2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
3.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.
1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是( )
A.(-9,-10) B.(-9,10)
C.(9,10) D.(9,-10)
B [解方程组得
故两直线的交点坐标为(-9,10).]
2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为( )
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1,5
C [由两点间距离公式得=5.
解得a=1或-5,故选C.]
3.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k的值等于________.
- [由
得
把(-1,-2)代入x+ky=0并解得k=-.]
4.不论a取何值时,直线(a-3)x+2ay+6=0,恒过第________象限.
四 [方程可化为a(x+2y)+(-3x+6)=0,
由得,∵(2,-1)在第四象限,故直线恒过第四象限.]
5.在直线l:3x-y+1=0上求一点P,使点P到两点A(1,-1),B(2,0)的距离相等.
[解] 法一:设点P的坐标为(x,y),则由|PA|=|PB|,得解得,
所以点P的坐标为(0,1).
法二:由题意知,线段AB的中点M的坐标为,AB所在直线的斜率为kAB==1,故线段AB的垂直平分线的方程为x+y-1=0 ①.
设P(x,y),又3x-y+1=0 ②,
联立①②得解得所以点P的坐标为(0,1).
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