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- 2021-06-16 发布
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1.仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).
2.方向角
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
3.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
【知识拓展】
1.三角形的面积公式
S= (p=),
S==rp(R为三角形外接圆半径,r为三角形内切圆半径,p=).
2.坡度(又称坡比):坡面的垂直高度与水平长度之比.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0,].( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √ )
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是[0,).( √ )
1.(教材改编)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为________ m.
答案 50
解析 由正弦定理得=,
又∵B=30°,
∴AB===50(m).
2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则下午2时两船之间的距离是________n mile.
答案 70
解析 设两船之间的距离为d,
则d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900,
∴d=70,即两船相距70 n mile.
3.(教材改编)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10 n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC=________ n mile.
答案 5
解析 如图,在△ABC中,
AB=10,A=60°,B=75°,
∴=,
∴BC=5.
4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB=________.
答案 a
解析 由已知得∠DAC=30°,△ADC为等腰三角形,AD=a,又在Rt△ADB中,AB=AD=a.
5.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20 km/h;水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________,速度的大小为________ km/h.
答案 60° 20
解析 如图,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200,故OC=20,∠COY=30°+30°=60°.
题型一 求距离、高度问题
例1 (1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高AD是60 m,则河流的宽度BC=________ m.
(2)如图,A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D是点C到水平面的射影,则山高CD=________ m.
答案 (1)120(-1) (2)800(+1)
解析 (1)如图,在△ACD中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60 m,所以CD=AD·tan 60°=60(m).
在△ABD中,∠BAD=90°-75°=15°,
所以BD=AD·tan 15°=60(2-)(m).
所以BC=CD-BD=60-60(2-)
=120(-1) (m).
(2)在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°.
由=,得AD==
=800(+1)(m).
∵CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,
∴CD=AD=800(+1) m.
思维升华 求距离、高度问题应注意
(1)理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平线的夹角;理解方向角的概念.
(2)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(3)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
(1)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为________ km.
(2)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则树的高度为________m.
答案 (1)30 (2)30+30
解析 (1)如图,由题意,∠BAC=30°,∠ACB=105°,
∴B=45°,AC=60 km,
由正弦定理=,
∴BC=30 km.
(2)在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60,
sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=×-×=,
由正弦定理得=,
∴PB==30(+),
∴树的高度为PB·sin 45°=30(+)×
=(30+30)(m).
题型二 求角度问题
例2 甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9海里的B处,并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船沿南偏东θ的方向,并以28海里每小时的速度行驶,恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船,并求sin θ的值.(结果保留根号,无需求近似值)
解 设用t小时,甲船追上乙船,且在C处相遇,那么在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=180°-15°-45°=120°,
由余弦定理,得
(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×(-),
128t2-60t-27=0,
解得t=或t=-(舍去),
所以AC=21(海里),BC=15(海里),
根据正弦定理,得
sin∠BAC==,
cos∠BAC= =.
又∠ABC=120°,∠BAC为锐角,
所以θ=45°-∠BAC,
sin θ=sin(45°-∠BAC)
=sin 45°cos∠BAC-cos 45°sin∠BAC
=.
思维升华 解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义;
(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步;
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
(1)(2016·苏州模拟)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为________.
答案
解析 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800⇒BC=20.
由正弦定理,得=
⇒sin∠ACB=·sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°,得cos θ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.
题型三 三角形与三角函数的综合问题
例3 (2016·扬州调研)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan Atan B=1.
(1)求C的值;
(2)若A=15°,AB=,求△ABC的周长.
解 (1)方法一 因为tan A+tan B+tan Atan B=1,即tan A+tan B=1-tan Atan B,
因为在斜三角形ABC中,1-tan Atan B≠0,
所以tan(A+B)==1,
即tan(180°-C)=1,即tan C=-1,
因为0°时,
d(t)=
=;
当