【数学】2019届一轮复习北师大版一题多变，深挖巧解题学案 6页

‎【经典母题】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.则M＋m＝________.‎ 答案2 ]‎ ‎【迁移探究1】设函数f(x)＝+a，已知=4，则a= ‎ 解 f(x)＝+a＝1＋a+，‎ 令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，所以 ‎ 答案 1‎ ‎【迁移探究2】设函数f(x)＝+a最大值为M，最小值为m，M+N>4，则a的范围 ‎ 解 f(x)＝+a＝1＋a+，‎ 令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，所以 ‎ 答案 ‎ 规律方法 题干中条件很简单，但我们要从已知中挖掘信息，如=4，在上的值域为，在上的最大值与最小值的和，可以看出无论从给出的等式还是不等式，还是研究的区间都暗示着要研究函数的奇偶性，对称性等，奇函数在对称区间上最值互为相反数即最值之和为0的性质的应用，其中构造函数g（x）是求解本题的关键。 ‎ ‎ 【变式训练】‎ ‎1．若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 9 D. 12‎ 解 对，有，令，‎ 有，‎ 令，有，则，‎ 令，则，则为奇函数，‎ 又设函数， 为奇函数，则，而为奇函数，由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，则的最大值与最小值之和为6.答案B ‎2．已知函数，，若，则__________．‎ 答案2017‎ ‎3．【2018河南漯河三模】设函数，若在上的值域为，其中，且，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解 ‎ ‎，‎ 令，则，为奇函数，‎ 若存在，取得，则有，‎ 即，得，‎ 答案C ‎4．已知函数，则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. 0‎ 答案A ‎5.已知函数，，则的取值范围是__________.[ + + ]‎ 解 由题意可得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，又==,所以原不等式可化为，即,‎ 又x>0时，>0,所以f(x)在上单调递增，上式转化为解得，填。 ‎ 答案 ‎6.若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 9 D. 12‎ 答案B ‎7．函数，，若使得，则__________.‎ 解 令，令 ‎，故在上是减函数，在上是增函数，当时有最小值，而当且仅当，即 ‎ 故，当且仅当等号成立时成立，故 即 答案 ‎8.已知函数满足对任意实数，都有，设 ‎[ , , ]‎ ‎，若，则 ( ) ‎ A. 2017 B. 2018 C. D. ‎ 答案D ‎9．已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．‎ 解 由题意知f′(x)＝x＋‎2a－≥0在上恒成立，即‎2a≥－x＋在上恒成立．‎ 又∵y＝－x＋在上单调递减，∴max＝，‎ ‎∴‎2a≥，即a≥.[ ]‎ 答案 ‎10．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(‎2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．‎ 解析 因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，‎ 所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．因为f(a－1)＋f(‎2a2)≤0，‎ 所以f(‎2a2)≤－f(a－1)，即f(‎2a2)≤f(1－a)．‎ 因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，‎ 所以f(x)在R上单调递增，所以‎2a2≤1－a，即‎2a2＋a－1≤0，‎ 所以－1≤a≤.‎ 答案