高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理科）全解全析 12页

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（理科）全解全析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页， 第Ⅱ卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   24πS R 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 34 π3V R n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 01 2 )k k n k n nP k C p p n n   ，，， ， 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．设集合 {1 2 3 4 5}U  ，，，， ， {13}A  ， ， {2 3 4}B  ，， ，则   U UA B  （ ） A．{1} B．{2} C．{2 4}， D．{1 2 3 4}，，， 解析：B 2．若函数 ( )y f x 的反函数图象过点 (15)， ，则函数 ( )y f x 的图象必过点（ ） A． (11)， B． (15)， C． (51)， D． (5 5)， 解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选 C 3．若向量 a 与 b 不共线， 0a b ，且        a ac = a - ba b ，则向量 a 与 c 的夹角为（ ） A．0 B． π 6 C． π 3 D． π 2 解析：因为 0)( 2 2        ba ba aaca ，所以向量 a 与 c 垂直，选 D 4．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 9S  ， 6 36S  ，则 7 8 9a a a   （ ） A．63 B．45 C．36 D．27 解析：由等差数列性质知 S3、S6-S3、S9-S6 成等差数列，即 9，27，S 成等差，所以 S=45， 选 B 5．若 3 5π π4 4      ， ，则复数 (cos sin ) (sin cos )i      在复平面内所对应的点在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：取θ=π得 (cos sin ) (sin cos )i      =-1+i，第二象限，选 B 6．若函数 ( )y f x 的图象按向量 a 平移后，得到函数 ( 1) 2y f x   的图象，则向量 a = （ ） A． ( 1 2) ， B． (1 2)， C． ( 1 2) ， D． (1 2)， 解析：函数 ( 1) 2y f x   为 )1(2  xfy ，令 2,1 ''  yyxx 得平移公式，所 以向量 a = ( 1 2) ， ，选 A 7．若 m n， 是两条不同的直线，  ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ） A．若 m    ， ，则 m  B．若 m   n   ， m n∥ ，则 ∥ C．若 m  ， m ∥ ，则  D．若  ， ⊥ ，则   解析：由有关性质排除 A、B、D，选 C 8．已知变量 x y， 满足约束条件 2 0 1 7 0 x y x x y       ≤ ， ≥ ， ≤ ， 则 y x 的取值范围是（ ） A． ]6,5 9[ B．  9 65       ， ， C．   3 6  ， ， D．[3 6]， 解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（ 2 9,2 5 ）， y x 表示可行域 内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值 6，当（x， y）=（ 2 9,2 5 ）时取最小值 5 9 ，选 A 9．一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其 余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率 是（ ） A． 1 22 B． 1 11 C． 3 22 D． 2 11 解析：从中任取两个球共有 662 12 C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有 1 个球的号 码是偶数的取法有 122 3 2 6  CC 种取法，概率为 11 2 66 12  ，选 D 10．设 p q， 是两个命题： 2 1 2 5 1:log (| | 3) 0 : 06 6p x q x x    ， ，则 p 是 q 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：p： 344||313||0  xxx 或 43  x ，q： ),2 1()3 1,(   ， 结合数轴知 p 是 q 的充分而不必要条件，选 A 11 ． 设 P 为 双 曲 线 2 2 112 yx   上 的 一 点 ， 1 2F F， 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 若 1 2| |:| | 3: 2PF PF  ，则 1 2PF F△ 的面积为（ ） A． 6 3 B．12 C．12 3 D． 24 解 析 ： 因 为 1 2| |:| | 3: 2PF PF  ， 设 xPFxPF 2||,3|| 21  ， 根 据 双 曲 线 定 义 得 2223|||| 21  axxxPFPF ， 所 以 132||,4||,6|| 2121  FFPFPF ， 222 4652)132(  ， 1 2PF F△ 为直角三角形，其面积为 12462 1  ，选 B 12．已知 ( )f x 与 ( )g x 是定义在 R 上的连续函数，如果 ( )f x 与 ( )g x 仅当 0x  时的函数值 为 0，且 ( ) ( )f x g x≥ ，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A．0 是 ( )f x 的极大值，也是 ( )g x 的极大值 B．0 是 ( )f x 的极小值，也是 ( )g x 的极小值 C．0 是 ( )f x 的极大值，但不是 ( )g x 的极值 D．0 是 ( )f x 的极小值，但不是 ( )g x 的极值 解析：根据题意和图形知当 0 是 ( )f x 的极大值时，不是 ( )g x 的极值是不可能的，选 C 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．已知函数 2 cos ( 0) ( ) 1( 0) a x x f x x x     ≥ ， 在点 0x  处连续，则 a  ． 解 析 ： 因 为 2 cos ( 0) ( ) 1( 0) a x x f x x x     ≥ ， 在 点 0x  处 连 续 ， 所 以 1)0()(lim)(lim 00   afxfxf xx ，填-1 14．设椭圆 2 2 125 16 x y  上一点 P 到左准线的距离为 10， F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满 足 1 ( )2OM OP DF    ，则| |OM  = ． 解析：椭圆 2 2 125 16 x y  左准线为 3 25x ，左焦点为（-3，0），P（ )3 28,3 5  ，由已知 M 为 PF 中点，M（ )3 24,3 2  ，所以| |OM  2)3 24()3 2( 22  15．若一个底面边长为 6 2 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的 体积为 ． 解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由 12)6()6()2( 222 R 得 R= 3 ，球体积为  343 4 3 R 16．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第i 个数为 i (i 1 2 6)a  ，， ， ，若 1 1a  ， 3 3a  ， 5 5a  ， 1 3 5a a a  ，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 解析：分两步：（1）先排 531 ,, aaa ， 1a =2，有 2 种； 1a =3 有 2 种； 1a =4 有 1 种，共有 5 种；（2）再排 642 ,, aaa ，共有 63 3 A 种，故不同的排列方法种数为 5×6=30，填 30 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知函数 2π π( ) sin sin 2cos6 6 2 xf x x x x                R， （其中 0  ） （I）求函数 ( )f x 的值域； （II）若对任意的 aR ，函数 ( )y f x ， ( π]x a a ， 的图象与直线 1y   有且仅有两 个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数 ( )y f x x  R， 的单调增区间． 本小题主要考查三角函数公式，三角函数图像和性质等基础知识，考查综合运用三角函 数有关知识的能力． （I）解： )1(coscos2 1sin2 3cos2 1sin2 3)(  xxxxxxf  1)cos2 1sin2 3(2  xx  1)6sin(2  x ················································ 5 分 由 ，1)6sin(1-  x 得 11)6(2sin3-  x 可知函数 )(xf 的值域为 1,3 。········································································ 7 分 （II）解：由题设条件及三角函数图像和性质可知， )(xfy  的周期为 ，又由 0 ，得   2 ，即得 2 。··················································································· 9 分 于是有 1)62sin(2)(  xxf ，再由 )(226222 Zkkxk   ，解得 )(36 Zkkxk   。 1B 所 以 )(xfy  的 单 调 增 区 间 为 ).(3k6-k Zk       ， ············································································ 18．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB   ， AC BC a  ，D E， 分别为棱 AB BC， 的中点，M 为棱 1AA 上的点，二面角 M DE A  为30 ． （I）证明： 1 1 1A B C D ； （II）求 MA 的长，并求点 C 到平面 MDE 的距离． 本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能 力 1A 1C C B A M D E （I）证明：连结CD ， 三棱柱 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱，  1CC  平面 ABC ，  CD 为 1C D 在平面 ABC 内的射影．  ABC△ 中， AC BC ， D 为 AB 中点，  AB CD ，  1AB C D ．  1 1A B AB∥ ，  1 1 1A B C D ．·····························································································4 分 （II）解法一：过点 A 作CE 的平行线， 交 ED 的延长线于 F ，连结 MF ．  D E， 分别为 AB BC， 的中点， DE AC ⊥ ． 又 AF CE∥ ，CE AC⊥ ．  AF DE⊥ ．  MA⊥平面 ABC ，  AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影．  MF DE⊥ ． MFA 为二面角 M DE A  的平面角， 30MFA   ． 在 Rt MAF△ 中， 1 2 2 aAF BC  ， 30MFA   ， 3 6AM a  ． 作 AG MF⊥ ，垂足为G ， MF DE ⊥ ， AF DE⊥ ，  DE ⊥平面 DMF ， 平面 MDE ⊥平面 AMF ，  AG⊥平面 MDE ． 在 Rt GAF△ 中， 30GFA   ， 2 aAF  ，  4 aAG  ，即 A 到平面 MDE 的距离为 4 a ．  CA DE∥ ，  CA∥平面 MDE ，  C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等，为 4 a ． 1A 1C 1B C B A M D E F G 解法二：过点 A 作CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F ，连接 MF ．  D E， 分别为 AB BC， 的中点，  DE AC∥ ． 又 AF CE∥ ，CE DE  AF DE⊥ ．  MA⊥平面 ABC ，  AF 是 MF 在平面 ABC 内的射影，  MF DE⊥ ．  MFA 为二面角 M DE A  的平面角， 30MFA   ． 在 Rt MAF△ 中， 1 2 2 aAF BC  ， 30MFA   ，  3 6AM a ．···························································································· 8 分 设C 到平面 MDE 的距离为 h ，  M CDE C MDEV V  ．  1 1 3 3CDE MDES MA S h  △ 21 2 8CDE aS CE DE △ ， 3 6MA a ， 21 1 3 2 2 cos30 12MDE AFS DE MF DE a   △ ，  2 21 3 1 3 3 8 6 3 12 a a a h     ，  4 ah  ，即C 到平面 MDE 的距离为 4 a ．························································ 12 分 19．（本小题满分 12 分） 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 C 与产量 q 的函数关系式为 3 23 20 10( 0)3 qC q q q     该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格 p 与产量 q 的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格 p 与产量 q 的函数关系式 好 0.4 164 3p q  中 0.4 101 3p q  差 0.2 70 4p q  设 1 2 3L L L， ， 分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量 k ，表示当产量为 q ，而市 场前景无法确定的利润． （I）分别求利润 1 2 3L L L， ， 与产量 q 的函数关系式； （II）当产量 q 确定时，求期望 kE ； （III）试问产量 q 取何值时， kE 取得最大值． 本小题主要考查数学期望，利用导数求多项式函数最值等基础知识，考查运用概率和函 数知识建模解决实际问题的能力． （I）解：由题意可得 3 2 1 (164 3 ) ( 3 20 10)3 qL q q q q      3 +144 10 ( 0).3 q q q   　　 同理可得 3 2 81 10 ( 0).3 qL q q    　　 3 3 50 10 ( 0).3 qL q q    　　 ··········································································4 分 （II）解：由期望定义可知 1 2 30.4 0.4 0.2qE L L L    3 3 3 0.4*( +144 10) 0.4*( 81 10) 0.28*( 50 10)3 3 3 q q qq q q           3 100 10.3 q q    ························································································· 8 分 （III）解：由（II）可知 qE 是产量 q 的函数，设 3 ( ) 100 10 03q qf q E q q     　　( )， 得 2'( ) 100.f q q   令 '( ) 0f q  解得 10, 10( ).q q   舍去 由题意及问题的实际意义可知，当 10q  时， ( )f q 取得最大值，即 qE 最大时的产量为 10. 20．（本小题满分 14 分） 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 2 2y x 上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点 C 为圆心） （I）求圆C 的方程； （II）设圆 M 的方程为 2 2( 4 7cos ) ( 7cos ) 1x y      ，过圆 M 上任意一点 P 分别 作圆 C 的两条切线 PE PF， ，切点为 E F， ，求CE CF  ， 的最大值和最小值． 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解 析几何知识解决问题的能力． （I）解法一：设 A B， 两点坐标分别为 2 1 12 y y     ， ， 2 2 22 y y     ， ，由题设知 2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 1 2( )2 2 2 2 y y y yy y y y                      ． 解得 2 2 1 2 12y y  ， 所以 (6 2 3)A ， ， (6 2 3)B ， 或 (6 2 3)A ， ， (6 2 3)B ， ． 设圆心C 的坐标为 ( 0)r， ，则 2 6 43r    ，所以圆C 的方程为 2 2( 4) 16x y   ．························································································ 4 分 解法二：设 A B， 两点坐标分别为 1 1( )x y， ， 2 2( )x y， ，由题设知 2 2 2 2 1 1 2 2x y x y   ． 又因为 2 1 12y x ， 2 2 22y x ，可得 2 2 1 1 2 22 2x x x x   ．即 1 2 1 2( )( 2) 0x x x x    ． 由 1 0x  ， 2 0x  ，可知 1 2x x ，故 A B， 两点关于 x 轴对称，所以圆心C 在 x 轴上． 设C 点的坐标为 ( 0)r， ，则 A 点坐标为 3 3 2 2r r       ， ，于是有 2 3 322 2r r        ，解得 4r  ， 所以圆C 的方程为 2 2( 4) 16x y   ．······························································· 4 分 （II）解：设 2ECF a  ，则 2| | | | cos2 16cos2 32cos 16CE CF CE CF             ．···································8 分 在 Rt PCE△ 中， 4cos | | | | x PC PC    ，由圆的几何性质得 | | | | 1 7PC MC  ≤ 1 8  ，| | | | 1 7 1 6PC MC    ≥ ，·································10 分 所以 1 2cos2 3 ≤ ≤ ，由此可得 168 9CE CF   ≤ ≤ ． 则CE CF    的最大值为 16 9  ，最小值为 8 ．······················································ 12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na ，{ }nb 与函数 ( )f x ， ( )g x ， xR 满足条件： n na b ， 1( ) ( )( )n nf b g b n  N* . （I）若 ( ) 1 0 2f x tx t t  ≥ ， ， ， ( ) 2g x x ， ( ) ( )f b g b ， lim nn a 存在，求 x 的取 值范围； （II）若函数 ( )y f x 为 R 上的增函数， 1( ) ( )g x f x ， 1b  ， (1) 1f  ，证明对任意 nN*， lim nn a （用t 表示）． 解：（I）由题设知 1 1 1 1,2 n n n n a tb a b        得 1 12n n ta a   。又已知 2t  ，可得················ 4 分 1 2 2( ).2 2 2n n ta at t     ·············································································4 分 由 0 2t t ， ， ( ) ( )f b g b ，可知 1 2 2 0.2 2a tbt t      ， 02 t  ，所以 2 2na t     是等比数列，其首项为 2 2tb t   ，公比为 2 t 。于是 12 2( )( )2 2 2 n n ta tbt t     ，即 12 2( )( )2 2 2 n n ta tb t t     。又 lim nn a 存在，可得 0 12 t  ，所以 2 2t   且 0t  。 2lim 2nn a t   ·································································································8 分 （II）证明：因为 1( ) ( )g x f x ，所以 1 1 1( ) ( )n n na g b f b    ，即 1 ( )n nb f a  。下面用 数学归纳法证明 1n na a  （ *n N ）. (1) 当 1n  时 ， 由 ( )f x 为 增 函 数 ， 且 (1) 1f  ， 得 1 1( ) (1) 1a f b f   ， 2 1( ) (1) 1b f a f   ， 2 2 1( ) (1)a f b f a   ， 即 2 1a a ，结论成立。 …10 分 (2) 假设 n k 时结论成立，即 1k ka a  。由 ( )f x 为增函数，得 1( ) ( )k kf a f a  ，即 2 1k kb b  ，进而得 2 1( ) ( )k kf b f b  ，即 2 1k ka a  ，这就是说当 1n k  时，结论 也成立。根据（1）和（2）可知，对任意的 *n N ， 1n na a  。…12 分 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 1tf x x t x x x t      ， 1( ) ( )2g x f x ． （I）证明：当 2 2t  时， ( )g x 在 R 上是增函数； （II）对于给定的闭区间[ ]a b， ，试说明存在实数 k ，当t k 时， ( )g x 在闭区间[ ]a b， 上 是减函数； （III）证明： 3( ) 2f x ≥ ． 本小题主要考察二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值 等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 （ I ） 证 明 ： 由 题 设 得 2( ) ( 1)x xg x e t e x    ， 2'( ) 2 1x xg x e te   。 又 由 2 2 2x xe e  ，且 2 2t  得 2 x xt e e  ，即 2'( ) 2 1 0x xg x e te    。由此可知， ( )g x 在 R 上是增函数。 （II）因为 '( ) 0g x  是 ( )g x 为减函数的充分条件，所以只要找到实数 k，使得 t>k 时 2'( ) 2 1 0x xg x e te    ，即 2 x xt e e  在闭区间[ ]a b， 上成立即可。因为 2 x xy e e  在闭区间[ ]a b， 上连续，故在闭区间[ ]a b， 上有最大值，设其为 k，于是在 t>k 时， '( ) 0g x  在闭区间[ ]a b， 上恒成立， 即 ( )g x 在闭区间[ ]a b， 上为减函数。 7 分 （III）设 2 2 2( ) 2 2( ) 1x xF t t e x t e x      ，即 2 21( ) 2( ) ( ) 12 2 x xe xF t t e x     ， 易得 21( ) ( ) 12 xF t e x   。····················································································9 分 令 ( ) xH x e x  ，则 '( ) 1xH x e  ，易知 '(0) 0H  。当 0x  时， '(0) 0H  ；当 0x  时， '(0) 0H  。故当 0x  时， ( )H x 取最小值， (0) 1H  。所以 21 3( ) 12 2 xe x   ， 于是对任意的 ,x t ，都有 3( ) 2F t  ，即 3( ) 2f x  。·············································· 12 分