【数学】2018届一轮复习苏教版（理）两条直线的位置关系教案（江苏专用） 13页

第44课 两条直线的位置关系 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 直线的平行关系与垂直关系 ‎√‎ 两条直线的交点 ‎√‎ 两点间的距离、点到直线的距离 ‎√‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 ‎①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎2．两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎3．距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|‎ d＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)‎ ‎(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A‎1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ ‎(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于________．‎ －1　[由题意得＝1，即|a＋1|＝，‎ 又a>0，∴a＝－1.]‎ ‎3．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．‎ ‎(2，－2)　[直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，‎ 由解得x＝2，y＝－2，‎ 所以直线l恒过定点(2，－2)．]‎ ‎4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．‎ ‎2　[由＝－2，得a＝2.]‎ ‎5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋‎2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．‎ 　[由l1∥l2，得a(a－2)＝1×3，‎ ‎∴a＝3或a＝－1.‎ 但a＝3时，l1与l2重合，舍去，‎ ‎∴a＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0.‎ 故l1与l2间的距离d＝＝.]‎ 两条直线的平行与垂直 ‎　(1)设a∈R，则“a＝‎1”‎是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件. 【导学号：62172240】‎ ‎(2)过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．‎ ‎(1)充分不必要　(2)2x＋y－1＝0　[(1)当a＝1时，显然l1∥l2，‎ 若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，‎ 所以a＝1或a＝－2.‎ 所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．‎ ‎(2)直线x－2y＋3＝0的斜率为，从而所求直线的斜率为－2.‎ 又直线过点P(－1,3)，‎ 所以所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.]‎ ‎[规律方法]　1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B‎2C2≠0时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．‎ ‎[变式训练1]　已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为________．‎ ‎－10　[∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.‎ 又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，‎ 解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]‎ 两直线的交点与距离问题 ‎　(1)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．‎ ‎(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程. 【导学号：62172241】‎ ‎(1)x＋3y－5＝0或x＝－1　[法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]‎ ‎(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6－x0，－y0)，‎ 由题意知解得 即A，从而直线l的斜率k＝＝8，‎ 直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.‎ ‎[规律方法]　1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．‎ ‎2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ ‎[变式训练2]　若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且AB＝5，求直线l的方程．‎ ‎[解]　①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.‎ 解方程组求得B点坐标为(1,4)，‎ 此时AB＝5，即直线l的方程为x＝1.‎ ‎②设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，‎ 解方程组 得x＝且y＝(k≠－2，否则l与l1平行)．‎ 则B点坐标为.‎ 又A(1，－1)，且AB＝5，‎ 所以2＋2＝52，解得k＝－.‎ 因此y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.‎ 对称问题 ‎　(1)平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．‎ ‎(2)光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，则BC所在的直线方程是________．‎ ‎(1)y＝2x－3　(2)10x－3y＋8＝0　[(1)法一：在直线l上任取一点P′(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2－x,2－y)必在直线y＝2x＋1上，‎ ‎∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0.‎ 因此，直线l的方程为y＝2x－3.‎ 法二：由题意，l与直线y＝2x＋1平行，设l的方程为2x－y＋c＝0(c≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，‎ ‎∴＝，解得c＝－3.‎ 因此所求直线l的方程为y＝2x－3.‎ 法三：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为＝，即y＝2x－3.‎ ‎(2)作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，‎ 则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．‎ 由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.‎ 故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.]‎ ‎[迁移探究1]　在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点”，则结果如何？‎ ‎[解]　设点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为A′(a，b)，‎ 则AA′的中点为，‎ 所以解得 故点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为.‎ ‎[迁移探究2]　在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x－y＝0对称”，则结果如何？‎ ‎[解]　在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线x－y＝0的对称点为M(1,0)，点B关于直线x－y＝0的对称点为N(3,1)，‎ ‎∴根据两点式，得所求直线的方程为＝，即x－2y－1＝0.‎ ‎[规律方法]　1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．‎ ‎2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．‎ ‎[变式训练3]　直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是________．‎ ‎2x－y－1＝0　[由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0的交点坐标为(1,1)．‎ 在直线x－2y＋1＝0上取点A(－1,0)，‎ 设A点关于直线x＋y－2＝0的对称点为B(m，n)，‎ 则解得 故所求直线的方程为＝，即2x－y－1＝0.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2‎ ‎＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．‎ ‎2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．‎ ‎2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．‎ 课时分层训练(四十四)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．‎ ‎3　[因为线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]‎ ‎2．(2016·北京高考改编)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为________．‎ 　[圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为＝＝.]‎ ‎3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于________．‎ ‎1　[由×＝－1，得a＋1＝‎2a，故a＝1.]‎ ‎4．(2017·苏州模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为________．‎ 　[依题设，直线l的斜率k＝2，‎ ‎∴tan α＝2，且α∈[0，π)，‎ 则sin α＝，cos α＝，‎ 则cos＝cos＝sin 2α ‎＝2sin αcos α＝.]‎ ‎5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________. 【导学号：62172242】‎ ‎2　[∵＝≠，∴m＝8，‎ 直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，‎ ‎∴两平行线之间的距离d＝＝2.]‎ ‎6．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点________．‎ ‎(0,2)　[直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．]‎ ‎7．当00，‎ 即x<0，y>0，从而两直线的交点在第二象限．]‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________. 【导学号：62172243】‎ 垂直　[在△ABC中，由正弦定理＝，得·＝1.‎ 又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，‎ bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝，‎ 因此k1·k2＝·＝－1，两条直线垂直．]‎ ‎9．经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．‎ ‎5x＋3y－1＝0　[由方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．‎ ‎∵l3的斜率为，∴l的斜率为－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.]‎ ‎10．l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l1与l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．‎ x＋2y－3＝0　[当AB⊥l1时，两直线l1与l2间的距离最大，由kAB＝＝2，知l1的斜率k＝－，‎ ‎∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－3＝0.]‎ 二、解答题 ‎11．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程. ‎ ‎【导学号：62172244】‎ ‎[解]　依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，‎ ‎∴lAC为2x＋y－11＝0，‎ 联立lAC、lCM得 ‎∴C(4,3)．‎ 设B(x0，y0)，AB的中点M为，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ ‎∴∴B(－1，－3)，‎ ‎∴kBC＝，‎ ‎∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，‎ 即6x－5y－9＝0.‎ ‎12．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．‎ ‎(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．‎ ‎[解]　(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.‎ ‎∵点A(5,0)到l的距离为3，‎ ‎∴＝3，‎ 则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝，‎ ‎∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由 解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，‎ ‎∴dmax＝PA＝＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________．‎ ‎4　[因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以‎4m＋3n－10＝0.‎ 欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，‎ 而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.]‎ ‎2．(2017·南京模拟)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使PM ‎＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．‎ ‎①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.‎ ‎②③　[设点M到所给直线的距离为d，①d＝＝3>4，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝＝4，所以直线上存在一点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝＝>4，故直线上不存在点P，使之到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.]‎ ‎3．已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：‎ ‎(1)l1∥l2；‎ ‎(2)l1⊥l2.‎ ‎[解]　(1)法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.‎ 当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.‎ 要使l1∥l2，需－＝－2sin α，‎ 即sin α＝±.‎ 所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．‎ 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.‎ 法二：由A1B2－A2B1＝0，‎ 得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±.‎ 所以α＝kπ±，k∈Z.‎ 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.‎ 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.‎ ‎(2)因为A‎1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，‎ 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.‎ 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.‎ ‎4．已知直线l：(‎2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．‎ ‎(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；‎ ‎(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，‎ 由得 ‎∴直线l恒过定点(－2,3)．‎ ‎(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．‎ 又直线PA的斜率kPA＝＝，‎ ‎∴直线l的斜率kl＝－5.‎ 故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.‎