【数学】2019届一轮复习北师大版不等式7-3学案 19页

‎ 7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．‎ ‎2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．‎ ‎3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.‎ 以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.‎ ‎1．二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：‎ ‎(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；‎ ‎(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0；‎ ‎(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.‎ 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．‎ ‎2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎3．重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：‎ ‎(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．‎ ‎(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．‎ 知识拓展 ‎1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(　√　)‎ ‎(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)‎ ‎(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)‎ ‎(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)‎ ‎(5)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)‎ ‎(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(　√　)‎ ‎(7)目标函数 ＝ax＋by(b≠0)中， 的几何意义是直线ax＋by－ ＝0在y轴上的截距．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 答案　B 解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．‎ ‎3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)‎ 答案　 解析　用表格列出各数据 A B 总数 产品吨数 x y 资金 ‎200x ‎300y ‎1 400‎ 场地 ‎200x ‎100y ‎900‎ 所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)‎ A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3)‎ 答案　C 解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.‎ ‎5．(2017·日照一模)已知变量x，y满足则 ＝()2x＋y的最大值为(　　)‎ A. B．2 C．2 D．4‎ 答案　D 解析　作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m＝2x＋y，则当m取得最大值时， ＝()2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以 max＝()2×1＋2＝4，故选D.‎ ‎6．已知x，y满足若使得 ＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．‎ 答案　－1‎ 解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线 ＝ax＋y和直线AB重合时， 取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝ AB＝1，∴a＝－1.‎ 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1　不含参数的平面区域问题 典例 (2017·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. 答案　B 解析　对于集合B，令m＝x＋y，n＝x－y，‎ 则x＝，y＝，由于(x，y)∈A，‎ 所以 即 因此平面区域B的面积即为不等式组所对应的平面区域(阴影部分)的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为2×＝1，故选B.‎ 命题点2　含参数的平面区域问题 典例 若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)‎ A．a≥ B．01，即a<－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时 ＝0，不合题意；当－1≤ <0，即01时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时 ＝2a＋0＝4，得a＝2.‎ 题型三　线性规划的实际应用问题 典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．‎ ‎(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；‎ ‎(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ 解　(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，‎ 所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.‎ ‎(2)约束条件为 整理得 目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，‎ 作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由得 ‎∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．‎ 故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．‎ 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．‎ ‎(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．‎ ‎(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．‎ ‎(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．‎ ‎(5)检验：根据结果，检验反馈．‎ 跟踪训练 (2016·全国Ⅰ)某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g，乙材料1 g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g，乙材料0.3 g，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g，乙材料90 g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ 答案　216 000‎ 解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为 目标函数 ＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值， max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．‎ 线性规划问题 考点分析 线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．‎ 典例 (2016·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数 ＝2x＋5y的最小值为(　　)‎ A．－4 B．6 C．10 D．17‎ 答案　B 解析　由约束条件作出可行域如图(阴影部分)所示，‎ 目标函数可化为y＝－x＋ ，‎ 在图中画出直线y＝－x，‎ 平移该直线，易知经过点A时 最小．‎ 又知点A的坐标为(3,0)，‎ ‎∴ min＝2×3＋5×0＝6.故选B.‎ ‎1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　将原点坐标(0,0)代入2x－y＋2，得2>0，于是2x－y＋2≥0所表示的平面区域在直线2x－y＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C正确．‎ ‎2．(2017·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数 ＝x＋y的最大值为(　　)‎ A. B．1 C. D．3‎ 答案　D 解析　画出可行域，如图中阴影所示．‎ 由目标函数 ＝x＋y，‎ 结合图像易知y＝－x＋ 过(0,3)点时 取得最大值，‎ 即 max＝0＋3＝3.‎ 故选D.‎ ‎3．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 答案　B 解析　由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且其斜率 ＝－2< AB＝－，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．‎ ‎4．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．1 C. D．3‎ 答案　B 解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，‎ C点横坐标xC＝－2m，‎ ‎∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，‎ ‎∴m＝1或m＝－3，‎ 又∵当m＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m＝1.‎ ‎5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)‎ A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 答案　C 解析　设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，‎ 则根据题意得x，y满足的约束条件为 设获利 元，则 ＝300x＋400y.‎ 画出可行域如图阴影部分．‎ 画出直线l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.‎ 平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，‎ 目标函数取得最大值．‎ 由解得　即M的坐标为(4,4)，‎ ‎∴ max＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.‎ ‎6．(2018·枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件则ω＝的最小值是(　　)‎ A．－2 B．2 C．－1 D．1‎ 答案　D 解析　作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，‎ ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，由图像可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.故选D.‎ ‎7．(2017·开封一模)若x，y满足约束条件且目标函数 ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－4,2] B．(－4,2) C．[－4,1] D．(－4,1)‎ 答案　B 解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线 ＝ax＋2y的斜率为 ＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－4