【数学】2019届一轮复习北师大版第1章集合与常用逻辑用语第3节学案 12页

第3节　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ 最新考纲　1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 知 识 梳 理 ‎1.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断 p q p且q p或q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)常见的全称量词有 “任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.‎ ‎3.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题.‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 任意x∈M，p(x)‎ 存在x0∈M，綈p(x0)‎ 存在x0∈M，p(x0)‎ 任意x∈M，綈p(x)‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀 p或q→见真即真，p且q→见假即假，p与綈p→真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(　　)‎ ‎(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.(　　)‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(　　)‎ ‎(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反.(　　)‎ 解析　(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.‎ ‎(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.‎ ‎(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(教材习题改编)命题p 存在x0∈R，x0>1的否定是(　　)‎ A.綈p 任意x∈R，x≤1 B.綈p 存在x∈R，x≤1‎ C.綈p 任意x∈R，x<1 D.綈p 存在x∈R，x<1‎ 解析　特称命题的否定为全称命题.∴綈p 任意x∈R，x≤1.‎ 答案　A ‎3.(2018·安康调研)下列命题中的假命题是(　　)‎ A.存在x0∈R，lg 0＝1 B.存在x0∈R，sin 0＝0‎ C.任意x∈R，x3＞0 D.任意x∈R，2x＞0‎ 解析　当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，任意x∈R，2x＞0，则D为真命题.‎ 答案　C ‎4.(2017·山东卷)已知命题p 存在x∈R，x2－x＋1≥0；命题q 若a20恒成立，‎ ‎∴p是真命题，綈p为假命题.‎ ‎∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，‎ ‎∴q为假命题，綈q为真命题.‎ 根据真值表可知p且綈q为真命题，p且q，綈p且q，綈p且綈q为假命题.‎ 答案　B ‎5.若“任意x∈，tan ≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.‎ 解析　∵函数y＝tan 在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.‎ 答案　1‎ 考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q 若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)‎ A.p或q B.p且q C.(綈p)且(綈q) D.p且(綈q)‎ ‎(2)(2018·深圳联考)已知命题p 不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0，4)，命题q “x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　)‎ A.p且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且(綈q) D.(綈p)且q 解析　(1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.‎ 又a，b，c是非零向量，‎ 由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，‎ ‎∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.‎ 综上知p或q是真命题，p且q是假命题.‎ 又∵綈p为真命题，綈q为假命题.‎ ‎∴(綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题.‎ ‎(2)命题p 当a＝0时，有1>0恒成立；‎ 当a≠0时 ，得解之得00，得x>4或x<－2.‎ 因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，q为真命题.故(綈p)且q为真命题.‎ 答案　(1)A　(2)D 规律方法　1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是 (1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.‎ ‎2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.‎ ‎【训练1】 (2018·郑州调研)命题p 函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q 函数y＝的值域为(0，1).下列命题是真命题的为(　　)‎ A.p且q B.p或q C.p且(綈q) D.綈q 解析　由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴命题p是假命题.‎ 由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，‎ 所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题.‎ 所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，綈q为假命题.‎ 答案　B 考点二　含有一个量词命题的否定及真假判定 ‎【例2】 (1)命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A.任意n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)＞n B.任意n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)＞n C.存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋且f(n0)＞n0‎ D.存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋或f(n0)＞n0‎ ‎(2)(2018·宜春质检)已知命题p 任意x∈R，x＋≥2；命题q 存在x0∈(0，＋∞)，x＞x，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A.(綈p)且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且(綈q) D.p且q 解析　(1)全称命题的否定为特称命题，‎ ‎∴命题的否定是 存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋或f(n0)>n0.‎ ‎(2)对于p 当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x＞x，∴q为真命题.‎ 从而綈p为真命题，(綈p)且q为真命题.‎ 答案　(1)D　(2)A 规律方法　1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.‎ ‎2.判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.‎ ‎【训练2】 命题p 存在x∈，使sin ＋cos >；命题q “存在x0∈(0，＋∞)，ln 0＝x0－1”的否定是“任意x∈(0，＋∞)，ln ≠x－1”，则四个命题 (綈p)或(綈q)，p且q，(綈p)且q，p或(綈q)中，正确命题的个数为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析　因为sin ＋cos ＝sin≤，所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题.则(綈p)或(綈q)为真命题，p且q为假命题，(綈p)且q为真命题，p或(綈q)为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题.‎ 答案　B 考点三　由命题的真假求参数的取值范围 ‎【例3】 (1)已知命题p “任意x∈[0，1]，a≥ex”，命题q “存在x0∈R，x＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e，4] D.(－∞，－1)‎ ‎(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.‎ ‎(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.‎ 答案　(1)C　(2) 规律方法　1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤 ‎ ‎(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.‎ ‎2.全称命题可转化为恒成立问题.‎ 含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.‎ ‎【训练3】 本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.‎ 解析　当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.‎ 答案　 基础巩固题组 ‎(建议用时 25分钟)‎ 一、选择题 ‎1.命题p “任意x∈N＋，≤”的否定为(　　)‎ A.任意x∈N＋，> B.任意x∉N＋，> C.存在x∉N＋，> D.存在x∈N＋，> 解析　命题p的否定是把“任意”改成“存在”，再把“≤”改为“>”.‎ 答案　D ‎2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p 存在n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)‎ A.任意n∈N，n2>2n B.存在n∈N，n2≤2n C.任意n∈N，n2≤2n D.存在n∈N，n2＝2n 解析　命题p的量词“存在”改为“任意”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p 任意n∈N，n2≤2n.‎ 答案　C ‎3.(2016·江西师大附中模拟)若命题p 任意x∈R，log2x＞0，命题q 存在x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A.p或(綈q) B.p且q C.(綈p)且q D.p或q 解析　命题p和命题q都是假命题，则命题綈p和命题綈q都是真命题，故选A.‎ 答案　A ‎4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为(　　)‎ A.(綈p)或(綈q) B.p或(綈q)‎ C.(綈p)且(綈q) D.p或q 解析　命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况 “甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)或(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p且q”的否定选A.‎ 答案　A ‎5.(2018·上饶调研)已知命题p 对任意x∈R，总有|x|≥0；q x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是(　　)‎ A.p且(綈q) B.(綈p)且q C.(綈p)且(綈q) D.p且q 解析　由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p且(綈q)是真命题.‎ 答案　A ‎6.命题p 任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(0，4] B.[0，4]‎ C.(－∞，0]∪[4，＋∞) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)‎ 解析　因为命题p 任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，‎ 所以命题綈p 存在x0∈R，ax＋ax0＋1<0，‎ 则a<0或解得a<0或a>4.‎ 答案　D ‎7.以下四个命题 ①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③‎ 存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命题的个数为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ 解析　∵Δ＝(－3)2－4×2>0，‎ ‎ ∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，‎ ‎∴①为假命题；‎ 当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；‎ 对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；‎ ‎④中，当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2；‎ 则④为假命题.‎ 答案　A ‎8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“任意x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B.(1，＋∞)‎ C. D.∪(1，＋∞)‎ 解析　∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，‎ 命题“任意x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，‎ ‎∴原命题的否定是 “存在x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，‎ ‎∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，‎ ‎∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>，且a≠1，‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“存在x0∈R，12‎ ‎10.若命题“存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　∵“存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，‎ ‎∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，‎ ‎∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.‎ 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎11.(2018·渭南调研)已知下列四个命题 ‎ ‎①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“若x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；‎ ‎②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；‎ ‎③命题p 存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则綈p 任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0；‎ ‎④若p且q为假命题，则p，q均为假命题.‎ 其中为真命题的是________(填序号).‎ 解析　显然①③正确；‎ ‎②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.‎ ‎∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确；‎ ‎④中，若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误.‎ 答案　①②③‎ ‎12.已知命题p x2＋2x－3＞0；命题q ＞1，若“(綈q)且p”为真，则x的取值范围是________.‎ ‎ 解析　因为“(綈q)且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，＜0，即2＜x＜3，所以q为假命题时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由得x≥3或10，当m<0时，m－x2<0，‎ 所以命题p为假命题；‎ 当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，‎ 所以f(f(－1))＝f＝－＝0，‎ 所以命题q为真命题，‎ 逐项检验可知，只有(綈p)且q为真命题.‎ 答案　B ‎15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p 存在x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q 任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p且q为假命题，则实数m的取值范围为________.‎ 解析　由命题p 存在x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由命题q 任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2－1.‎ 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ ‎16.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若任意x1∈，存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　依题意知f(x)max≤g(x)max.‎ ‎∵f(x)＝x＋在上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f＝.‎ 又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，‎ ‎∴g(x)max＝8＋a，‎ 因此≤8＋a，则a≥.‎ 答案