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- 2021-06-16 发布
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专题 25 导数的应用
【标题 01】没有理解“ 0( ) 0f x 是 0x x 是极值点的必要非充分条件”
【习题 01】 3 2 2 1f x x ax bx a x 在 处有极小值10,则 a b .
【经典错解】由题得 2( ) 3 2f x x ax b ,所以 2
(1) 3 2 0
(1) 1 10
f a b
f a b a
.
所以 3 3a b 或 4 11a b ,所以 0a b 或 7a b .
【详细正解】由题得 2( ) 3 2f x x ax b ,所以 2
(1) 3 2 0
(1) 1 10
f a b
f a b a
.所以 3 3a b 或
4 11a b .
当 3 3a b 时, 2 2( ) 3 6 3 3( 1) 0f x x x x ,所以函数 ( )f x 是增函数,与题意不相符,所
以舍去. 经检验, 4 11a b 时,满足题意. 所以 7a b .
【习题 01 针对训练】已知函数 3( ) ( )f x x x m 在 2x 处取得极小值,则常数 m 的值为( )
A.2 B.8 C.2 或 8 D.以上答案都不对
【标题 02】求函数的单调性时忽略了函数的定义域的研究
【习题 02】已知函数 ln( ) 1xf x x
,试判断函数 ( )f x 的单调性.
【经典错解】由已知得 2
1 ln( ) xf x x
.令 ( ) 0f x ,得 x e .
因为当 x e 时, ( ) 0f x ;当 x e 时, ( ) 0f x .
所以函数 ( )f x 在 ( , )e 上单调递增,在[ , )e 上单调递减.
【详细正解】)函数 ( )f x 的定义域是 (0, ) .由已知 2
1 ln( ) xf x x
.令 ( ) 0f x ,得 x e .因为当
0 x e 时, ( ) 0f x ;当 x e 时, ( ) 0f x .所以函数 ( )f x 在 (0, ]e 上单调递增,在[ , )e 上单调
递减.
【习题 02 针对训练】已知函数 Raxxaxf ,1ln)( .求 )(xf 的单调区间.
【标题 03】导函数及其单调性的关系理解不到位
【习题 03】设函数 653
1)( 23 xaxxxf 在区间[1.3]上是单调减函数,则实数 a 的取值范围是( )
A. 5, B. 3, C. , 3 D. ]5,5[
【经典错解】根据题意 2( ) 2 5 0f x x ax 在区间 1,3 上恒成立,所以 2( ) 2 5f x x ax 的最大值
小于零,因为函数开口向上,故最大值在区间端点处取得,所以,
1 0,
3 0
f
f
,解得 3a ,所以选择C .
【详细正解】根据题意 2( ) 2 5 0f x x ax 在区间 1,3 上恒成立,所以 2( ) 2 5f x x ax 的最大值
小于或等于零,因为函数开口向上,故最大值在区间端点处取得,所以,
1 0,
3 0
f
f
,解得 3a ,所以
选择 B .
【深度剖析】(1)经典错解错在导函数及其单调性的关系理解不到位.(2)函数单调递减时,相应的导数
值应该小于或等于零(等于零的点为有限个孤立点),不能写成导数小于零.错解漏掉了等号.
【习题 03 针对训练】已知函数 2( ) ln ,af x x a Rx
.
(1)若函数 ( )f x 在[2, ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
(2)若函数 ( )f x 在[1, ]e 上的最小值为 3,求实数 a 的值.
【标题 04】解题不规范没有严格按照教材的要求求函数的极值
【习题 04】设函数 3( ) 12 5,f x x x x R .
(1)求 )(xf 的单调区间和极值;
(2)若关于 x 的方程 axf )( 有3个不同实根,求实数 a 的取值范围.
【经典错解】(1) 2'( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x
令 '( ) 0f x 得: 1 22, 2x x 所以 ( )f x 的增区间是 ( , 2) 和 (2, ) ,减区间是 ( 2,2) ;
当 2x 时, ( )f x 取得极大值,极大值 ( 2) 21f ;
当 2x 时, ( )f x 取得极小值,极小值 (2) 11f .
(2)由(1)得,作出函数 ( )f x 的草图如图所示:数形结合得实数 a 的取值范围是 ( 11,21) .
【详细正解】(1) 2'( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x
令 '( ) 0f x 得: 1 22, 2x x
当 x 变化时, '( ), ( )f x f x 的变化情况如下表:
x ( , 2) 2 ( 2,2) 2 (2, )
'( )f x 0 0
( )f x 增 极大 减 极小 增
所以 ( )f x 的增区间是 ( , 2) 和 (2, ) ,减区间是 ( 2,2) ;
当 2x 时, ( )f x 取得极大值,极大值 ( 2) 21f ;
当 2x 时, ( )f x 取得极小值,极小值 (2) 11f .
(2)由(1)得,作出函数 ( )f x 的草图如图所示:所以,实数 a 的取值范围是 ( 11,21) .
【习题 04 针对训练】已知函数 ax
axxf (ln)( R).
(1)若曲线 )(xfy 在点 ))1(,1( f 处的切线与直线 01 yx 平行,求 a 的值;
(2)在(1)条件下,求函数 )(xf 的单调区间和极值;(3)当 1a ,且 1x 时,证明: .1)( xf
【标题 05】对于函数的图像分析不透彻推理不严谨碰巧做对了
【习题 05】已知函数 .ln)(,2)2
3ln()( xxgxxxf
(1)求函数 ( )f x 的单调区间;(2)如果关于 x 的方程 mxxg
2
1)( 有实数根,求实数 m 的取值集合;
(3)是否存在正数 k ,使得关于 x 的方程 )()( xkgxf 有两个不相等的实数根?如果存在,求 k 满足的条
件;如果不存在,说明理由.
【经典错解】(1)函数 )(xf 的定义域是 ).,0()0,2
3(
对 )(xf 求导得
)2
3(
)3)(1(2
2
3
1)(
2
2
xx
xx
xx
xf
由 312
30)( xxxf 或,得 ,由 .30010)( xxxf 或,得
因此 )3)1,2
3( ,和( 是函数 )(xf 的增区间; ( 1,0) 和 (0,3) 是函数 )(xf 的减区间.
(2)因为 .2
1ln2
1ln2
1)( xxmmxxmxxg
所以实数 m 的取值范围就是函数 xxx 2
1ln)( 的值域
对 .2
11)()(
xxx 求导得
令 0)(20;0)(220)( xxxxxx 时,当时,,并且当,得
∴当 2x 时 )(x 取得最大值,且 .12ln)2()( max x
因此函数 xxx 2
1ln)( 的值域是 ]12ln,( ,即实数 m 的取值范围是 ]12ln,( .
(3)结论:这样的正数 k 不存在. 下面采用 反证法来证明:假设存在正数 k ,使得关于 x 的方程
)()( xkgxf 有两个不相等的实数根 21 xx 和 ,则
②
①
.ln2)2
3ln(
,ln2)2
3ln(
)()(
)()(
2
2
2
1
1
1
22
11
xkxx
xkxx
xkgxf
xkgxf
根据对数函数定义域知 21 xx 和 都是正数.
又由(1)可知,当 0x 时, 03
2)2
33ln()3(f)x(f min
∴ )( 1xf = 0x
3)2
3xln(
1
1 , )x(f 2 = 0x
3)2
3xln(
2
2 ,
再由 k>0,可得 .1,10ln)(,0ln)( 212211 xxxxgxxg
由于 所以,21 xx 不妨设 211 xx ,
由①和②可得
2
2
2
1
1
1
ln
2)2
3ln(
ln
2)2
3ln(
x
xx
x
xx
利用比例性质得
2
2
2
2
1
1
1
1
ln
ln2)2
3ln(
ln
ln2)2
3ln(
x
xxx
x
xxx
即 .(*)ln
2)2
31ln(
ln
2)2
31ln(
2
22
1
11
x
xx
x
xx
由于 ),1(ln 是区间x 上的恒正增函数,且 .1ln
ln,1
2
1
21
x
xxx
又 ),1(2)2
31ln( 是区间
xx
上的恒正减函数,且 .1 21 xx ∴ .12)2
31ln(
2)2
31ln(
22
11
xx
xx
∴
2
22
1
11
22
11
2
1
ln
2)2
31ln(
ln
2)2
31ln(
2)2
31ln(
2)2
31ln(
ln
ln
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
,这与(*)式矛盾.因此满足条件的
正数 k 不存在 .
【详细正解】(1)同上
(2)因为 .2
1ln2
1ln2
1)( xxmmxxmxxg
所以实数 m 的取值范围就是函数 xxx 2
1ln)( 的值域. 对 .2
11)()(
xxx 求导得
令 0)(20;0)(220)( xxxxxx 时,当时,,并且当,得
∴当 2x 时 )(x 取得最大值,且 .12ln)2()( max x
又当 x 无限趋近于 0 时, xln 无限趋近于 x2
1, 无限趋近于 0 ,
进而有 xxx 2
1ln)( 无限趋近于-∞.因此函数 xxx 2
1ln)( 的值域是 ]12ln,( ,即实数 m 的
取值范围是 ]12ln,(
(3)同上.
【习题 05 针对训练】已知函数 ( ) , ( ) ln( )xf x e g x x m .直线 :l y kx b 经过点 ( 1 0)P , 且与曲线
( )y f x 相切.
(1)求切线l 的方程;(2)若关于 x 的不等式 ( )kx b g x 恒成立,求实数 m 的最大值.
(3)设 ( ) ( ) ( )F x f x g x ,若函数 ( )F x 有唯一的零点 0x ,求证 0
11 2- x .
【标题 06】求函数的极值时忽略了函数的定义域
【习题 06】已知函数 2( ) 2 lnf x x a x .
(1)若 4a ,求函数 ( )f x 的极小值;
(2)设函数 23( ) 12g x x a x ,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量 ( 1,2,3)ix i 使得
i if x g x 的值相等,若存在,请求出 a 的范围,若不存在,请说明理由?
【经典错解】(1)由已知得
24 4( 1)( ) 4 xf x x x x
, 令 ( ) 0 1 1f x x x 或
则当 1 1x 时 ( ) 0f x , ( )f x 在 ( 1,1) 上是减函数,
当 1x 时或 1x 时 ( ) 0f x , ( )f x 在 ( , 1) , (1, ) 上是增函数,
故函数 ( )f x 的极小值为 (1) 2f .
(2)若存在,设 ( 1,2,3)i if x g x m i ,
则对于某一实数 m 方程 ( ) ( ) 0f x g x m 在 (0, ) 上有三个不等的实根,
设 2 23( ) ( ) ( ) 2 ln (1 )2F x f x g x m x a x x a x m ,
则函数 ( ) ( ) 0f x g x m 的图象与 x 轴有三个不同交点,
即
2 (1 )( ) 4 3 1a x a x aF x x x ax x
在 (0, ) 有两个不同的零点.
显然
2 (1 ) ( 1)( )( ) x a x a x x aF x x x
在 (0, ) 上至多只有一个零点.
则函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x m 的图象与 x 轴至多有两个不同交点,则这样的 不存在.
【详细正解】(1)定义域为 (0, ) ,由已知得
24 4( 1)( ) 4 xf x x x x
,
则当 0 1x 时 ( ) 0f x , ( )f x 在 (0,1) 上是减函数,
当 1x 时 ( ) 0f x , ( )f x 在 (1, ) 上是增函数, 故函数 ( )f x 的极小值为 (1) 2f .
(2)若存在,设 ( 1,2,3)i if x g x m i ,
则对于某一实数 m 方程 ( ) ( ) 0f x g x m 在 (0, ) 上有三个不等的实根,
设 2 23( ) ( ) ( ) 2 ln (1 )2F x f x g x m x a x x a x m ,
则函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x m 的图象与 x 轴有三个不同交点,
即
2 (1 )( ) 4 3 1a x a x aF x x x ax x
在 (0, ) 有两个不同的零点.
显然
2 (1 ) ( 1)( )( ) x a x a x x aF x x x
在 (0, ) 上至多只有一个零点.
则函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x m 的图象与 x 轴至多有两个不同交点,则这样的 不存在.
【习题 06 针对训练】设 2( ) ( 5) 6lnf x a x x ,其中 a R ,曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线与 y
轴相交于点 (0,6) .
(1)确定 a 的值;(2)求函数 ( )f x 的单调区间与极值.
【标题 07】审题错误把单调函数理解为单调增函数
【习题 07】已知 0a ,且函数 2( ) ( 2 ) xf x x ax e 在[ 1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围.
【经典错解】∵ 2 2( ) e ( 2 ) e (2 2 ) e [ 2(1 ) 2 ]x x xf x x ax x a x a x a
又∵ ( )f x 在[ 1,1] 上是单调函数, ( ) 0f x 在[ 1,1] 上恒成立.即 2e [ 2(1 ) 2 ] 0x x a x a 在[ 1,1] 上
恒成立. ∵ 0xe , 2( ) 2(1 ) 2 0g x x a x a 在[ 1,1] 上恒成立.即
0)1(
12
)1(2
g
a
或
24(1 ) 8 0a a 或
.0)1(
12
)1(2
g
a
解得: a .故 ( )f x 在[ 1,1] 上不可能为单调函数.
【详细正解】 2 2( ) e ( 2 ) e (2 2 ) e [ 2(1 ) 2 ]x x xf x x ax x a x a x a
∵ ( )f x 在[ 1,1] 上是单调函数.
(1)若 ( )f x 在[ 1,1] 上是单调递增函数.
则 ( ) 0f x 在[ 1,1] 上恒成立,即 2e [ 2(1 ) 2 ] 0x x a x a 在[ 1,1] 上恒成立.
∵ 0xe .∴ 2( ) 2(1 ) 2 0g x x a x a 在[ 1,1] 上恒成立,则有 1 1
( 1) 0
a
g
或 24(1 ) 8 0a a 或 1 1
(1) 0
a
g
解得, a .
(2)若 ( )f x 在[ 1,1] 上是单调递减函数,则 ( ) 0f x 在[ 1,1] 上恒成立.
∴ 2e [ 2(1 ) 2 ] 0x x a x a 在[ 1,1] 上恒成立. ∵ 0xe .∴ 2( ) 2(1 ) 2 0h x x a x a 在[ 1,1]
上恒成立.则有 .4
3
043
01
0)1(
0)1(
aah
h ∴当 3[ , )4a 时, ( )f x 在[ 1,1] 上是单调函数.
【习题 07 针对训练】已知函数 2( ) ( ) xf x x a e .
(1)若函数 ( )f x 在 R 上不是单调函数,求实数 a 的取值范围;
(2)当 1 a 时,讨论函数 ( ) ( ) 4 ( 1) xg x f x xe x x 的零点个数.
【标题 08】对“任意”和“存在”问题的区别没有理解到位
【习题 08】已知函数 ( ) lnf x ax x ( a R )
(1)求 ( )f x 的单调区间;
(2)设 2( ) 2 2g x x x ,若对任意 1 (0, )x ,均存在 2 [0,1]x ,使得 1 2( ) ( )f x g x ,求实数 a 的
取值范围.
【经典错解】(1) 1( ) ( 0)f x a xx
当 0a 时,由于 (0, )x , ( ) 0f x ,所以函数 ( )f x 的单调增区间为 (0, ) ,
当 0a 时,令 ( ) 0f x ,得 1x a
.
当 x 变化时, ( )f x 与 ( )f x 变化情况如下表:
x 1(0, )a
1
a
1( , )a
( )f x 0
( )f x 单调递增 极大值 单调递减
所以函数 ( )f x 的单调增区间为 1(0, )a
,函数 ( )f x 的单调减区间为 1( , )a
(2)由已知,转化为 max( ) ( )minf x g x 接下来,求函数 max( )f x 和 ( )ming x .
【详细正解】(1)同上.
(2)由已知,转化为 max max( ) ( )f x g x 因为 2 2( ) 2 2 ( 1) 1g x x x x , [0,1]x ,
所以 max( )g x =2
由(Ⅱ)知,当 0a 时, ( )f x 在 (0, ) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意.
(或者举出反例:存在 3 3( ) 3 2f e ae ,故不符合题意.)
当 0a 时, ( )f x 在 1(0, )a
上单调递增,在 1( , )a
上单调递减,
故 ( )f x 的极大值即为最大值, 1 1( ) 1 ln( ) 1 ln( )f aa a
,
所以 2 1 ln( )a ,解得 3
1a e
.
若存在 1 ,x M 存在 2 ,x N 使得 1 2( ) ( )f x g x ,等价于 min max( ) ( )f x g x ;若存在 1 ,x M 任意 2 ,x N
使得 1 2( ) ( )f x g x ,等价于 min min( ) ( )f x g x .对于这 4 个关于“任意”和“存在”的命题,大家要理解
透彻,不要死记硬背.
【习题 08 针对训练】已知函数 ( ) 2xf x e x , 2( )g x x m ( m R )
(1)对于函数 ( )y f x 中的任意实数 x,在 ( )y g x 上总存在实数 0x ,使得 0( ) ( )g x f x 成立,求实数 m
的取值范围;
(2)设函数 ( ) ( ) ( )h x af x g x ,当 a 在区间[1,2] 内变化时,
(1)求函数 ( )y h x [0,ln 2]x 的取值范围;
(2)若函数 ( )y h x [0,3]x 有零点,求实数 m 的最大值.
【标题 09】对命题 ( ) ( )f x g x 恒成立错误理解为 min max( ) ( )f x g x
【习题 09】已知 2( ) ln , ( ) 3f x x x g x x ax .
(1)求函数 ( )f x 在[ , 1] ( 0)t t t 上的最小值;
(2)对一切 (0, ),2 ( ) ( )x f x g x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(3)证明:对一切 (0, )x ,都有 1 2ln xx e ex
成立.
【经典错解】(1) ( ) ln 1f x x .
当 1(0, ), ( ) 0, ( )x f x f xe
单调递减,当 1( , ), ( ) 0, ( )x f x f xe
单调递增.
10 1t te
,即 10 t e
时, min
1 1( ) ( )f x f e e
;
1 1t te
,即 1t e
时, ( )f x 在[ , 1]t t 上单调递增, min( ) ( ) lnf x f t t t .
所以 min
1 1,0 .
( ) 1ln ,
te ef x
t t t e
.
(2)对一切 (0, ),2 ( ) ( )x f x g x 恒成立,等价于 min max(0, ),[2 ( )] ( )x f x g x ,
接下来求 min max[2 ( )] , ( )f x g x ,再解答.
(3)问题等价于证明 2ln ( (0, ))x
xx x xe e
,
由(1)可知 ( ) ln ( (0, ))f x x x x 的最小值是 1
e
,当且仅当 1x e
时取到
设 2( ) ( (0, ))x
xm x xe e
,则 1( ) x
xm x e
,易知
max
1( ) (1)m x m e
,当且仅当 1x 时取到,从而对一切 (0, )x ,都有 1 2ln xx e ex
成立.
【详细正解】(1) ( ) ln 1f x x .
当 1(0, ), ( ) 0, ( )x f x f xe
单调递减,当 1( , ), ( ) 0, ( )x f x f xe
单调递增
10 1t te
,即 10 t e
时, min
1 1( ) ( )f x f e e
;
1 1t te
,即 1t e
时, ( )f x 在[ , 1]t t 上单调递增, min( ) ( ) lnf x f t t t .
所以 min
1 1,0 .
( ) 1ln ,
te ef x
t t t e
.
(2) 22 ln 3x x x ax ,则 32lna x x x
,
设 3( ) 2ln ( 0)h x x x xx
,则 2
( 3)( 1)( ) x xh x x
,
① (0,1), ( ) 0, ( )x h x h x 单调递减,② (1, ), ( ) 0, ( )x h x h x 单调递增,
所以 min( ) (1) 4h x h ,对一切 (0, ),2 ( ) ( )x f x g x 恒成立,所以 min( ) 4a h x .
(3)同上.
【习题 09 针对训练】已知函数 xaxxf ln2
1)( 2 , xaxg )1()( .
(1)若直线 )(xgy 恰好为曲线 )(xfy 的切线时,求实数 a 的值;
(2)当
ex 1[ , ]e 时(其中无理数 71828.2e ), )()( xgxf 恒成立,试确定实数 a 的取值范围.
【标题 10】函数在区间(-1,1)上为减函数和减区间为(-1,1)没有区分清楚
【习题 10】已知函数 3( ) 1f x x ax 的单调减区间为 ( 1,1) ,求 a 的取值范围.
【经典错解】 2 2( ) 3 3 0 -1,1f x x a x a 由题得 在( )上恒成立
所以 23 -1,1 3a x a 在( )上恒成立 所以 a 的取值范围为[3, ) .
【详细正解】 2 2 2( ) 3 3 0 3 0 3 3
a af x x a x a x a a x 令 由题得
所以 1 33
a a 所以 a 的取值范围为 3a .所以 23 -1,1 3a x a 在( )上恒成立 所以
a 的取值范围为[3, ) .
【习题 10 针对训练】已知函数 xx
axxf ln)( , a R .
(Ⅰ)若 ( )f x 在 1x 处取得极值,求 a 的值;
(Ⅱ)若 )(xf 在区间 )2,1( 上单调递增, 求 a 的取值范围;
(Ⅲ)讨论函数 xxfxg )()( 的零点个数.
高中数学经典错题深度剖析及针对训练
第 25 讲:导数的应用参考答案
【习题 01 针对训练答案】 B
【习题 01 针对训练解析】 3 2 2' 3 4f x x m x x m x m x m ,
由题意可知 2' 2 2 8 0f m m ,解得 2m 或 8m .
当 2m 时,在 2x 两侧 'f x 均为正,此时 2x 不是函数 f x 的极值点,故舍,所以 8m ,故选 B .
【习题 02 针对训练答案】当 0a 时, ( )f x 减区间为 (0, ) ;当 0a 时, ( )f x 递增区间为 0,a ,递
减区间为 ,a .
【习题 03 针对训练答案】(1) ( ,1] ;(2) a e .
【习题 03 针对训练解析】(1)∵ 2( ) ln af x x x
,∴ 2
1 2( ) af x x x
∵ ( )f x 在[2, ) 上是增函数
∴ 2
1 2( ) af x x x
≥0 在[2, ) 上恒成立,即 a ≤
2
x 在[2, ) 上恒成立
令 ( ) 2
xg x ,则 a ≤ min( ) , [2, )g x x
∵ ( ) 2
xg x 在[2, ) 上是增函数,∴ min( ) (2) 1g x g
∴ 1a .所以实数 a 的取值范围为 ( ,1]
(2)由(1)得 2
2( ) x af x x
, [1, ]x e
【习题 04 针对训练答案】(1) 0a ;(2)详见解析;(3)证明见解析.
【习题 04 针对训练解析】(1)函数 ( ) { | 0},f x x x 的定义域为
所 以 2
1 ln( ) .x af x x
又 曲 线 ( ) (1, (1))y f x f 在点 处 的 切 线 与 直 线 1 0x y 平 行 , 所 以
(1) 1 1, 0.f a a 即
(2)令 ( ) 0,f x x e 得
当 x 变化时, ( ), ( )f x f x 的变化情况如下表:
由表可知: ( )f x 的单调递增区间是 (0, )e ,单调递减区间是 ( , )e
x (0, )e e ( , )e
( )f x + 0 —
( )f x 极大值
所以 ( )f x x e在 处取得极大值, ln( ) ( ) .ef x f e e
极大值
(3)当 ln 11 , ( ) .xa f x x
时 由于 ln 11, , ( ) 1,xx f x x
要证
只需证明 ln 1 .x x
令 1 1( ) ln 1, ( ) 1 .xh x x x h x x x
则
因为 1x ,所以 ,1)(,0)(' 在故 xhxh 上单调递增,
当 ,0)1()(,1 hxhx 时 即 xx 1ln 成立.
故当 1x 时,有 .1)(,11ln xfx
x 即
因此要使不等式成立,则 (1 ) 2 0h m m ,所以 m 的最大值是 2 .
(3)由题设条件知,函数 2
1 1( ) ( ), ( ) 0( )
x xF x e x m F x ex m x m
,
则 0( , )x m x 时, 0( ) 0, ( , )F x x x 时, ( ) 0F x
所以函数 ( )F x 有唯一的极小值,也是最小值.
当 x m 时, ( ) ,F x 当 x 时, ( ) ,F x
所以函数 ( )F x 有唯一零点的充要条件是其最小值为 0 .
即 0( ) 0F x ,故 0
0ln( ) 0xe x m ,由于 0
0
1 xex m
,所以 0
0 0xe x
设 ( ) , ( ) 1 0x xH x e x H x e ,又因为
1
21 1 1( ) 0, ( 1) 1 02 2H e H e
由零点存在性定理知 0
11 2x .
当 0 2x 或 3x 时, ( ) 0f x ,故 ( )f x 在 (0,2) , (3, ) 上为增函数;当 2 3x 时, ( ) 0f x ,
故 ( )f x 在 (2,3) 上为减函数.
由此可知 ( )f x 在 2x 处取得极大值 9(2) 6ln 22f ,在 3x 处取得极小值 (3) 2 6ln3f .
【习题 07 针对训练答案】(1) 1
2
a ;(2)只有一个零点
【习题 07 针对训练解析】(1) 2( ) ( 2 ) xf x x x a e ,由题意知方程 2 2 0 x x a 有两个不同的实数解,
=4+8 0 所以 a ,解得 1
2
a .因此,实数 a 的取值范围是 1
2
a .
(2) 2( ) ( 1) ( 1) xg x x e x x , 2( ) ( 1) 1 xg x e x .
设 2( ) ( 1) 1( 1) xh x e x x , 2( ) ( 2 1) xh x e x x ,
因为 1x ,所以 ( ) 0 h x ,故 ( )h x 在 (1, ) 上是增函数,
又 (1) 1 0 h , 2(2) 3 1 0 h e ,因此在 (1,2) 内存在唯一的实数 0x ,使得 0( ) 0h x ,
因为 ( )h x 在 (1, ) 上市增函数,所以在 (1, ) 内存在唯一的实数 0x ,使得 0( ) 0h x .
( )h x 与 ( )h x 随 x 的变化情况如下表:
x 0(1, )x 0x 0( , )x
( )g x 0
( )g x 极小值
由上表可知, 0( ) (1) 1 0 g x g ,又 2(2) 2 0 g e ,
故 ( )g x 的大致图象右图所示:
所以函数 ( )g x 在 (1, ) 内只有一个零点.
【习题 08 针对训练答案】(1) 2 2ln 2m ;(2)(1) 2, 1 ;(2) 32 21e
当 [ln 2,3]x 时,因为 2 0xe , [1,2]a ,故 ( )h x 的值在区间[( 2) 2 ,2( 2) 2 ]x xe x e x 上变化,
此时,对于函数 ( )M x ,存在 0 [ln 2,3]x , ( )M x 在 0[ln 2, ]x x 单调递减,在 0[ ,3]x x 单调递增,所以,
( )h x 在 [ln 2,3]x 的最大值为 3(3) ( 6) 9h a e m ,因为 [1,2]a , 3(3) (0) ( 7) 9 0h h a e ,
所以 (3) (0)h h ,故 ( )h x 的最大值是 3(3) ( 6) 9h a e m ,又因为 [1,2]a ,故当函数 ( )y h x 有零
点时,实数 m 的最大值是 32( 6) 9m e 32 21e .
【习题 09 针对训练答案】(1)
2
1a ;(2)实数 a 的取值范围是[ ),
)1(2
22
e
ee .
【习题 09 针对训练解析】(1)设切点为 )0(), 000 xyxP( ,由题意得:
00
0
)1()(
1)(
xaxf
axf ,即
)2()1(ln2
1
)1(1
00
2
0
0
0
xaxax
ax
ax
,
所以不等式(4)可化为:
xx
xx
a ln
2
1 2
; 设
xx
xx
xt ln
2
1
)(
2
,
ex 1[ , ]e ,
22
2
)ln(
)ln12
1)(1(
)ln(
)2
1)(11()ln)(1(
)(
xx
xxx
xx
xxxxxx
xt
当 1(x , ]e 时, 0ln12
1)(,01 xxx 知由 ,所以 0)( xt ;
当
ex 1[ ,1)时, 0ln12
1)(,01 xxx 知由 ,所以 0)( xt ;
所以 )(xt 在 ]1,1[e
上单调递减,在[1, e ]上单调递增,
所以 )}(),1(max{)( etetxt 最大值 ,又
)1(2
21)1(
ee
e
et ,
)1(2
2)(
2
e
eeet ,
)1)(1(2
1)3()()1(
23
eee
eeeetet ,又 718.2e ,所以 0323 ee ,
所以,
)1(2
2)()(
2
e
eeetxt 最大值 ,
所以,当
ex 1[ , ]e 时, )()( xgxf 恒成立时实数 a 的取值范围是[ ),
)1(2
22
e
ee .
【习题 10 针对训练答案】(Ⅰ) 2a ;(Ⅱ) 2a ;(Ⅲ)当 1a 时,函数 g x 无零点,当 1a 或 0a
时,函数 g x 有一个零点,当 0 1a 时,函数 g x 有两个零点.
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