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  • 2021-06-16 发布

高考数学黄金考点精析精训考点11三角化简与求值理

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考点 11 三角化简和求值 【考点剖析】 1.最新考试说明: (1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点. (2)考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. (3)考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 2.命题方向预测: (1)考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. (2)公式逆用、变形应用是高考热点. (3)题型以选择题、解答题为主. 3.课本结论总结: (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系:sin 2α+cos 2α=1; ②商数关系: sin α cos α =tan α. (2)诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)= cos ,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)= sin ,cos(π+α)= cos , tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)= sin ,cos(-α)= cos . 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)= cos . 公式五: ) 2 sin(   = cos , ) 2 cos(   =sin α. 公式六: ) 2 sin(   = cos , ) 2 cos(   = sin 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①C(α-β):cos(α-β)=  sinsincoscos  ; ②C(α+β):cos(α+β)=  sinsincoscos  ; ③S(α+β):sin(α+β)=  sincoscossin  ; ④S(α-β):sin(α-β)=  sincoscossin  ; ⑤T(α+β):tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β ; ⑥T(α-β):tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan αtan β . (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①S2α:sin 2α=  cossin2 ; ②C2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; ③T2α:tan 2α= 2tan α 1-tan 2α . 4.名师二级结论: (1)有关公式的逆用、变形等 ①tan α±tan β= )tantan1)(tan(   ; ②cos2α= 1+cos 2α 2 ,sin2α= 1-cos 2α 2 ; ③1+sin 2α=(sin α+cos α) 2, 1-sin 2α=(sin α-cos α) 2 , ) 4 sin(2cossin   . (2)函数  sincos)( baf  (a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2 +b2 sin(α+φ)或 f(α)= a2 +b2 cos(α-φ),其中φ可由 a,b 的值唯一确定. (3)三种方法 在求值与化简时,常用方法有: ①弦切互化法:主要利用公式 tanα= sin α cos α 化成正、余弦. ②和积转换法:利用(sin θ±cos θ) 2 =1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. ③巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2θ)=tan π 4 =…. (4)三个防范 ①利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱 周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. ②在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. ③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 5.课本经典习题: (1)新课标 A 版第 64 页,第 A8 题(例题)已知 3tan  ,计算: (1)   sin3cos5 cos2sin4   ;(2)  cossin ;(3) 2)cos(sin   【经典理由】弦化切的典型例题. (2)新课标 A 版第 130 页,第 例 4(3)题(例题)求值: 0 0 15tan1 15tan1   【解析】 360tan)1545tan( 15tan45tan1 15tan45tan 15tan1 15tan1 000 00 00 0 0       【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合. (3)新课标 A 版第 137 页,第 A5 题(例题)已知 5 3)30sin( 0  , 00 15060  ,求 cos 的值. 【解析】 00 15060  , 000 1803090   ;又 5 3)30sin( 0  , 5 4)30cos( 0   ; 则   000000 30sin)30sin(30cos)30cos(30)30(coscos   10 343 2 1 5 3 2 3 5 4   . 【经典理由】1.求三角函数值时,要注意角的范围;2.注意用已知角表示所求角. 6.考点交汇展示: (1)与三角函数的图像与性质的交汇 1.【2017 课标 3,文 6】函数 1 π π( ) sin( ) cos( ) 5 3 6 f x x x    的最大值为( ) A. 6 5 B.1 C. 3 5 D. 1 5 【答案】A 【解析】由诱导公式可得: cos cos sin 6 2 3 3 x x x                           , 则:   1 6sin sin sin 5 3 3 5 3 f x x x x                        , 函数的最大值为 6 5 . 2.【2018 届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】已知向量 , ,函数 的最大值为 . (1)求 的大小; (2)将函数 的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变, 得到函数 的图象,作出函数 在 的图象. 【答案】(1) ;(2)图象见解析. 试题解析:(1) = Asin xcos x+ cos 2x=A( sin 2x+ cos 2x) =Asin(2x+ ).因为 f(x)的最大值为 6,A>0,所以 A=6. (2)由(1)得 f(x)=6sin(2x+ ).将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y=6sin[2(x+ )+ ] =6sin(2x+ )的图象; 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到 y=6sin(4x+ )的图象.因此 的图像如图所示. (2)与函数的奇偶性、单调性的交汇 1.【2017 浙江,18】已知函数 f(x)=sin 2x–cos 2x–2 3 sin x cos x(xR). (Ⅰ)求 ) 3 2( f 的值. (Ⅱ)求 )(xf 的最小正周期及单调递增区间. 【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为 ,单调递增区间为 Zkkk  ] 3 2, 6 [  . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由函数概念 3 2cos 3 2sin32 3 2cos 3 2sin) 3 2( 22  f ,分别计算可得;(Ⅱ) 化简函数关系式得 )sin(   xAy ,结合  2 T 可得周期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增 区间. 2.【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】设函数 . (1)求函数 的最小正周期 及最大值; (2)求函数 的单调递增区间. 【答案】(1) , (2) 【解析】试题分析:(1) 化简为 ,周期最值易得解, (2) 利用整体思想令 解得 x 的范围即可. 试题解析: (1) , ∴ , . (2)由 , , . (3)与一元二次方程的交汇 【2016 高考上海文数】方程3sin 1 cos 2x x  在区间  2,0 上的解为___________ . 【答案】 5 6 6   或 【解析】3sinx 1 cos 2x  ,即 23sinx 2 2sin x  ,所以 22sin x 3sinx 2 0   ,解得 1sinx 2  或 sinx 2  (舍去),所以在区间  2,0 上的解为 5 6 6   或 . (4)与平面向量的交汇 【2017 江苏,16】已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0, π].x x x   a b (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 ( )f x  a b ,求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x的值. 【答案】(1) 5π 6 x  (2) 0x  时, 取得最大值,为 3; 5π 6 x  时, 取得最小值,为 2 3 . (2) π(cos ,sin ) (3, 3) 3cos 3 sin 2 3 cos(( ) ) 6 f x x x x x x        a b . 因为 ,所以 π π 7π[ , ] 6 6 6 x   , 从而 π 31 cos( ) 6 2 x    . 于是,当 π π 6 6 x   ,即 0x  时, 取到最大值 3; 当 π 6 x   ,即 5π 6 x  时, 取到最小值 2 3 . 【考点分类】 热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值 1.【2018 届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】已知 ,  均为锐角,   5 3cos ,sin 13 3 5            ,则 cos 6      = A. 33 65 B. 63 65 C. 33 65  D. 63 65  【答案】A 【解析】由题意可知 , 3     都为钝角,   12 4sin ,cos 13 3 5                  cos cos sin 6 3 2 3                                         12 4 5 3 33 13 5 13 5 65                   答案为 A 2.已知 tan 2   ,   1tan 7    ,则 tan  的值为_______. 【答案】3 【解析】 1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 3. 21 tan( ) tan 1 7                     【方法规律】 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数, 在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. (1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如 tan α+ tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. (2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的 逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形 应用后,才能真正掌握公式的应用. 【解题技巧】 在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时,要注意以下三个变换技巧: (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”,如: 3 ) 3 (   , )()(2   , )()(2   等 例.设 为锐角,若 3cos 6 5       ,则 sin 12       . 【答案】 2 10 . (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常为“化切为弦”等, 例.新课标 A 版第 146 页,第 A5(2) 题(例题)计算 )310(tan40sin 00  . 【答案】-1 【解析】 ) 10cos 10cos310sin(40sin)3 10cos 10sin(40sin)310(tan40sin 0 00 0 0 0 000   1 10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40cos40sin2 0 0 0 0 0 00      (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常 值代换”、“逆用变用公式”(同上例中 )10cos 2 310sin 2 1(210cos310sin 0000  )1030cos(2)10sin30sin10cos30(cos2)10cos30cos10sin30(sin2 0000000000  ) 【易错点睛】 在化简与求值时,一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系,往往起到“事半功陪”的效果. 例.已知 3sin 2 5   ( 2 ) 2     , 1tan( ) 2    ,则 tan( )  ( ) A.-2 B.-1 C. 2 11  D. 2 11 【答案】A 【解析】可得 4cos 2 5    ,则 3tan 2 4    , tan 2 tan( )tan( ) tan[2 ( )] 2. 1 tan 2 tan( )                      热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值 1.【2016 高考山东理数】函数 f(x)=( 3 sin x+cos x)( 3 cos x –sin x)的最小正周期是( ) (A) 2 π (B)π (C) 2 3π (D)2π 【答案】B 【解析】   2sin 2cos 2sin 2 6 6 3 f x x x x                        ,故最小正周期 2 2 T    ,故选 B. 2.【2016 高考浙江理数】已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________. 【答案】 2 1 【解析】 22cos sin 2 2 sin(2 ) 1 4 x x x      ,所以 2, 1.A b  【方法规律】 一、利用诱导公式化简求值时的原则 1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. 2.“大化小”,利用公式一将大于 360°的角的三角函数化为 0°到 360°的三角函数,利用公式二将大 于 180°的角的三角函数化为 0°到 180°的三角函数. 3.“小化锐”,利用公式六将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数. 4.“锐求值”,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得. 二、利用倍角公式化简求值 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α= 2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中 常有体现. 【解题技巧】 (1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);β= α+β 2 - α-β 2 ; α-β 2 = ) 2 () 2 (   . (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等 【易错点睛】 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. 例.已知 是锐角,且 1cos( ) 6 3    ,则 5sin(2 ) 6   的值为____________.【答案】 7 9  【解析】 5sin(2 ) 6   sin[2( ) ] 6 2     cos 2( ) 6   22cos ( ) 1 6    7 9   . (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. 例.设 1sin 4 4       ,则 sin 2 ( ) A. 7 8 B. 1 8 C. 1 8  D. 7 8  【答案】D. 【解析】由已知及倍角公式得 2 1 7sin 2 cos 2 1 2sin 1 2 . 2 4 16 8                             . (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常 值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 例.新课标 A 版第 138 页,第 A19(3)题(例题)化简: xxx 2coscossin 【答案】 1 sin 4 4 x 【解析】 xxxxxxxxxxx 4sin 4 1 4 2cos2sin2 2 2cos2sin 2 2coscossin22coscossin  . 【热点预测】 1.【2018 届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】 A. B. -1 C. D. 1 【答案】D 【解析】 , 故选:D. 2.【2016 高考浙江文数】设函数 2( ) sin sinf x x b x c   ,则 ( )f x 的最小正周期( ) A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b有关,但与 c无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b无关,但与 c有关 【答案】B 3.【2016 高考新课标 3 理数】若 3tan 4   ,则 2cos 2sin 2  ( ) (A) 64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25 【答案】A 【解析】由 3tan 4   ,得 3 4sin ,cos 5 5    或 3 4sin ,cos 5 5      ,所以 2 16 12 64cos 2sin 2 4 25 25 25       ,故选 A. 4.已知 1sin 2 3   ,则 2cos ( ) 4    ( ) A. 1 3 B. 1 3  C. 2 3 D. 2 3  【答案】C 【解析】 2 2sin1 2 2 2cos1 4 cos 2                    3 2 2 3 11    ,故选 C. 5.若 , 2       ,且3cos 2 sin 4        ,则 sin 2 的值为( ) A. 1 18 B. 1 18  C. 17 18 D. 17 18  【答案】D 6.【2017 课标 II,理 14】函数   2 3sin 3 cos 4 f x x x   ( 0, 2 x      )的最大值是 。 【答案】1 【解析】 7.【2017 北京,理 12】在平面直角坐标系 xOy 中,角α与角β均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y轴对 称.若 1sin 3   , cos( )  =___________. 【答案】 7 9  【解析】 8.已知 A 是角 终边上一点,且 A点的坐标为 3 4, 5 5       ,则 2 1 2sin cos cos   = . 【答案】 25 33 【解析】由题意 3 4cos ,sin 5 5    ,因此 2 2 1 1 25 4 3 32sin cos cos 332 ( ) 5 5 5          . 9.【【百强校】2017 届河北武邑中学高三上学期周考】已知 2sin( ) 3    , 1sin( ) 5     ,则 tan tan   的值为__________. 【答案】 7 13 【解析】 2sin( ) sin cos cos sin 3          , 1sin( ) sin cos cos sin 5           ,两式 相加得 7sin cos 30    ,两式相减得 13cos sin 30    ,以上两式相除,得 tan 7 tan 13    . 10.【2016 高考新课标 1 文数】已知θ是第四象限角,且 sin(θ+ π 4 )= 3 5 ,则 tan(θ– π 4 )= . 【答案】 4 3  【解析】由题意 sin sin 4 4 2                    3cos 4 5         , 因为2 2 2 2 k k         k Z ,所以 72 2 4 4 4 k k           k Z , 从而 4sin 4 5         ,因此 4tan 4 3         .故填 4 3  . 11.【【百强校】2017 届河北武邑中学高三上学期周考】已知 2 5sin 5   ,求 5sin( ) 2tan( ) 5cos( ) 2           的值. 【答案】当 为第一象限角时, 5 2 ;当 为第二象限角时, 5 2  . 【解析】∵ 2 5sin 0 5    , ∴ 为第一或第二象限角. 当 为第一象限角时, 2 5cos 1 sin 5     , 5sin( ) cos sin cos 1 52tan( ) tan5 sin cos sin sin cos 2cos( ) 2                        . 当 为第二象限角时, 2 5cos 1 sin 5       , 原式 1 5 sin cos 2     . 12.如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,点 , ,A B C 均在单位圆上 ,已知点 A在第一象限的横坐标是 3 , 5 点 B 在第二象限 ,点  1,0 .C (1)设 ,COA   求 sin 2 的值; (2)若 AOB 为正三角形 ,求点 B的坐标 【答案】   241 25   3 4 3 4 3 32 , 10 10 B         13. 【2017 山东,理 16】设函数 ( ) sin( ) sin( ) 6 2 f x x x      ,其中0 3  .已知 ( ) 0 6 f   . (Ⅰ)求; (Ⅱ)将函数 ( )y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平 移 4  个单位,得到函数 ( )y g x 的图象,求 ( )g x 在 3[ , ] 4 4    上的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2  .(Ⅱ)得最小值 3 2  . 【解析】试题分析:(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简得到 ( )y f x 3(sin ) 3 x   由题设知 ( ) 0 6 f   及0 3  可得. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ( ) 3 sin(2 ) 3 f x x    从而 ( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 4 3 12 g x x x        . 根据 3[ , ] 4 4 x     得到 2[ , ] 12 3 3 x       ,进一步求最小值. 试题解析:(Ⅰ)因为 ( ) sin( ) sin( ) 6 2 f x x x      , 所以 3 1( ) sin cos cos 2 2 f x x x x     3 3sin cos 2 2 x x   1 33( sin cos ) 2 2 x x   3(sin ) 3 x   由题设知 ( ) 0 6 f   , 所以 6 3 k    , k Z . 故 6 2k   , k Z ,又0 3  , 所以 2  . 14.如图,在直角坐标系 xOy中,角 的顶点是原点,始边与 x轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A, 且 , ) 6 2    .将角 的终边按逆时针方向旋转 3  ,交单位圆于点 B.记 ),(),,( 2211 yxByxA . (Ⅰ)若 3 1 1 x ,求 2x ; (Ⅱ)分别过 ,A B作 x轴的垂线,垂足依次为 ,C D.记△ AOC 的面积为 1S ,△BOD的面积为 2S .若 1 22S S ,求角 的值. 【答案】(Ⅰ) 2 1 3 1 2 6cos( ) cos sin 3 2 2 6 x          .(Ⅱ) 4   . 【解析】(Ⅰ)由三角函数定义,得 1 cosx   , 2 cos( ) 3 x    .………………2分 因为 , ) 6 2    , 1cos 3  , 所以 2 2 2sin 1 cos 3     . ………………3分 所以 2 1 3 1 2 6cos( ) cos sin 3 2 2 6 x          . ………………5分