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- 2021-06-16 发布
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考点 11 三角化简和求值
【考点剖析】
1.最新考试说明:
(1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点.
(2)考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用.
(3)考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.
2.命题方向预测:
(1)考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.
(2)公式逆用、变形应用是高考热点.
(3)题型以选择题、解答题为主.
3.课本结论总结:
(1)同角三角函数的基本关系
①平方关系:sin
2α+cos
2α=1;
②商数关系:
sin α
cos α
=tan α.
(2)诱导公式
公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)= cos ,其中 k∈Z.
公式二:sin(π+α)= sin ,cos(π+α)= cos ,
tan(π+α)=tan α.
公式三:sin(-α)= sin ,cos(-α)= cos .
公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)= cos .
公式五: )
2
sin(
= cos , )
2
cos(
=sin α.
公式六: )
2
sin(
= cos , )
2
cos(
= sin
诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①C(α-β):cos(α-β)= sinsincoscos ;
②C(α+β):cos(α+β)= sinsincoscos ;
③S(α+β):sin(α+β)= sincoscossin ;
④S(α-β):sin(α-β)= sincoscossin ;
⑤T(α+β):tan(α+β)=
tan α+tan β
1-tan αtan β
;
⑥T(α-β):tan(α-β)=
tan α-tan β
1+tan αtan β
.
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①S2α:sin 2α= cossin2 ;
②C2α:cos 2α=cos
2α-sin
2α=2cos
2α-1=1-2sin
2α;
③T2α:tan 2α=
2tan α
1-tan
2α
.
4.名师二级结论:
(1)有关公式的逆用、变形等
①tan α±tan β= )tantan1)(tan( ;
②cos2α=
1+cos 2α
2
,sin2α=
1-cos 2α
2
;
③1+sin 2α=(sin α+cos α)
2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)
2
,
)
4
sin(2cossin .
(2)函数 sincos)( baf (a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2
+b2
sin(α+φ)或 f(α)=
a2
+b2
cos(α-φ),其中φ可由 a,b 的值唯一确定.
(3)三种方法
在求值与化简时,常用方法有:
①弦切互化法:主要利用公式 tanα=
sin α
cos α
化成正、余弦.
②和积转换法:利用(sin θ±cos θ)
2
=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.
③巧用“1”的变换:1=sin
2θ+cos
2θ=cos
2θ(1+tan
2θ)=tan
π
4
=….
(4)三个防范
①利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱
周-化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
②在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
5.课本经典习题:
(1)新课标 A 版第 64 页,第 A8 题(例题)已知 3tan ,计算:
(1)
sin3cos5
cos2sin4
;(2) cossin ;(3)
2)cos(sin
【经典理由】弦化切的典型例题.
(2)新课标 A 版第 130 页,第 例 4(3)题(例题)求值: 0
0
15tan1
15tan1
【解析】 360tan)1545tan(
15tan45tan1
15tan45tan
15tan1
15tan1 000
00
00
0
0
【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.
(3)新课标 A 版第 137 页,第 A5 题(例题)已知
5
3)30sin( 0 ,
00 15060 ,求 cos 的值.
【解析】
00 15060 ,
000 1803090 ;又
5
3)30sin( 0 ,
5
4)30cos( 0 ;
则 000000 30sin)30sin(30cos)30cos(30)30(coscos
10
343
2
1
5
3
2
3
5
4
.
【经典理由】1.求三角函数值时,要注意角的范围;2.注意用已知角表示所求角.
6.考点交汇展示:
(1)与三角函数的图像与性质的交汇
1.【2017 课标 3,文 6】函数
1 π π( ) sin( ) cos( )
5 3 6
f x x x 的最大值为( )
A.
6
5
B.1 C.
3
5
D.
1
5
【答案】A
【解析】由诱导公式可得: cos cos sin
6 2 3 3
x x x
,
则: 1 6sin sin sin
5 3 3 5 3
f x x x x
,
函数的最大值为
6
5
.
2.【2018 届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】已知向量 ,
,函数 的最大值为 .
(1)求 的大小;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,
得到函数 的图象,作出函数 在 的图象.
【答案】(1) ;(2)图象见解析.
试题解析:(1) = Asin xcos x+ cos 2x=A( sin 2x+ cos 2x)
=Asin(2x+ ).因为 f(x)的最大值为 6,A>0,所以 A=6.
(2)由(1)得 f(x)=6sin(2x+ ).将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y=6sin[2(x+ )+ ]
=6sin(2x+ )的图象;
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到 y=6sin(4x+ )的图象.因此
的图像如图所示.
(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇
1.【2017 浙江,18】已知函数 f(x)=sin
2x–cos
2x–2 3 sin x cos x(xR).
(Ⅰ)求 )
3
2( f 的值.
(Ⅱ)求 )(xf 的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为 ,单调递增区间为 Zkkk ]
3
2,
6
[
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由函数概念
3
2cos
3
2sin32
3
2cos
3
2sin)
3
2( 22
f ,分别计算可得;(Ⅱ)
化简函数关系式得 )sin( xAy ,结合
2
T 可得周期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增
区间.
2.【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】设函数 .
(1)求函数 的最小正周期 及最大值;
(2)求函数 的单调递增区间.
【答案】(1) , (2)
【解析】试题分析:(1) 化简为 ,周期最值易得解, (2)
利用整体思想令 解得 x 的范围即可.
试题解析:
(1) ,
∴ , .
(2)由
,
,
.
(3)与一元二次方程的交汇
【2016 高考上海文数】方程3sin 1 cos 2x x 在区间 2,0 上的解为___________ .
【答案】
5
6 6
或
【解析】3sinx 1 cos 2x ,即
23sinx 2 2sin x ,所以
22sin x 3sinx 2 0 ,解得
1sinx
2
或
sinx 2 (舍去),所以在区间 2,0 上的解为
5
6 6
或 .
(4)与平面向量的交汇
【2017 江苏,16】已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0, π].x x x a b
(1)若 a∥b,求 x 的值;
(2)记 ( )f x a b ,求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x的值.
【答案】(1)
5π
6
x (2) 0x 时, 取得最大值,为 3;
5π
6
x 时, 取得最小值,为 2 3 .
(2)
π(cos ,sin ) (3, 3) 3cos 3 sin 2 3 cos(( ) )
6
f x x x x x x a b .
因为 ,所以
π π 7π[ , ]
6 6 6
x ,
从而
π 31 cos( )
6 2
x .
于是,当
π π
6 6
x ,即 0x 时, 取到最大值 3;
当
π
6
x ,即
5π
6
x 时, 取到最小值 2 3 .
【考点分类】
热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值
1.【2018 届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】已知 , 均为锐角,
5 3cos ,sin
13 3 5
,则 cos
6
=
A.
33
65
B.
63
65
C.
33
65
D.
63
65
【答案】A
【解析】由题意可知 ,
3
都为钝角, 12 4sin ,cos
13 3 5
cos cos sin
6 3 2 3
12 4 5 3 33
13 5 13 5 65
答案为 A
2.已知 tan 2 , 1tan
7
,则 tan 的值为_______.
【答案】3
【解析】
1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 3.
21 tan( ) tan 1
7
【方法规律】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,
在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.
(1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如 tan α+
tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.
(2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的
逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形
应用后,才能真正掌握公式的应用.
【解题技巧】
在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时,要注意以下三个变换技巧:
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”,如:
3
)
3
( , )()(2 , )()(2 等
例.设 为锐角,若
3cos
6 5
,则 sin
12
.
【答案】
2
10
.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常为“化切为弦”等,
例.新课标 A 版第 146 页,第 A5(2) 题(例题)计算 )310(tan40sin 00 .
【答案】-1
【解析】 )
10cos
10cos310sin(40sin)3
10cos
10sin(40sin)310(tan40sin 0
00
0
0
0
000
1
10cos
10cos
10cos
80sin
10cos
40cos40sin2
0
0
0
0
0
00
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常
值代换”、“逆用变用公式”(同上例中 )10cos
2
310sin
2
1(210cos310sin 0000
)1030cos(2)10sin30sin10cos30(cos2)10cos30cos10sin30(sin2 0000000000 )
【易错点睛】
在化简与求值时,一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系,往往起到“事半功陪”的效果.
例.已知
3sin 2
5
( 2 )
2
,
1tan( )
2
,则 tan( ) ( )
A.-2 B.-1 C.
2
11
D.
2
11
【答案】A
【解析】可得
4cos 2
5
,则
3tan 2
4
,
tan 2 tan( )tan( ) tan[2 ( )] 2.
1 tan 2 tan( )
热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值
1.【2016 高考山东理数】函数 f(x)=( 3 sin x+cos x)( 3 cos x –sin x)的最小正周期是( )
(A)
2
π
(B)π (C)
2
3π
(D)2π
【答案】B
【解析】 2sin 2cos 2sin 2
6 6 3
f x x x x
,故最小正周期
2
2
T ,故选 B.
2.【2016 高考浙江理数】已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________.
【答案】 2 1
【解析】 22cos sin 2 2 sin(2 ) 1
4
x x x
,所以 2, 1.A b
【方法规律】
一、利用诱导公式化简求值时的原则
1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.
2.“大化小”,利用公式一将大于 360°的角的三角函数化为 0°到 360°的三角函数,利用公式二将大
于 180°的角的三角函数化为 0°到 180°的三角函数.
3.“小化锐”,利用公式六将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数.
4.“锐求值”,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.
二、利用倍角公式化简求值
二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α=
2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中
常有体现.
【解题技巧】
(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);β=
α+β
2
-
α-β
2
;
α-β
2
= )
2
()
2
( .
(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等
【易错点睛】
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
例.已知 是锐角,且
1cos( )
6 3
,则
5sin(2 )
6
的值为____________.【答案】
7
9
【解析】
5sin(2 )
6
sin[2( ) ]
6 2
cos 2( )
6
22cos ( ) 1
6
7
9
.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
例.设
1sin
4 4
,则 sin 2 ( ) A.
7
8
B.
1
8
C.
1
8
D.
7
8
【答案】D.
【解析】由已知及倍角公式得
2 1 7sin 2 cos 2 1 2sin 1 2 .
2 4 16 8
.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常
值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
例.新课标 A 版第 138 页,第 A19(3)题(例题)化简: xxx 2coscossin
【答案】
1 sin 4
4
x
【解析】 xxxxxxxxxxx 4sin
4
1
4
2cos2sin2
2
2cos2sin
2
2coscossin22coscossin .
【热点预测】
1.【2018 届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】
A. B. -1 C. D. 1
【答案】D
【解析】 ,
故选:D.
2.【2016 高考浙江文数】设函数 2( ) sin sinf x x b x c ,则 ( )f x 的最小正周期( )
A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b有关,但与 c无关
C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b无关,但与 c有关
【答案】B
3.【2016 高考新课标 3 理数】若
3tan
4
,则
2cos 2sin 2 ( )
(A)
64
25
(B)
48
25
(C) 1 (D)
16
25
【答案】A
【解析】由
3tan
4
,得
3 4sin ,cos
5 5
或
3 4sin ,cos
5 5
,所以
2 16 12 64cos 2sin 2 4
25 25 25
,故选 A.
4.已知
1sin 2
3
,则 2cos ( )
4
( )
A.
1
3
B.
1
3
C.
2
3
D.
2
3
【答案】C
【解析】
2
2sin1
2
2
2cos1
4
cos 2
3
2
2
3
11
,故选 C.
5.若 ,
2
,且3cos 2 sin
4
,则 sin 2 的值为( )
A.
1
18
B.
1
18
C.
17
18
D.
17
18
【答案】D
6.【2017 课标 II,理 14】函数 2 3sin 3 cos
4
f x x x ( 0,
2
x
)的最大值是 。
【答案】1
【解析】
7.【2017 北京,理 12】在平面直角坐标系 xOy 中,角α与角β均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y轴对
称.若
1sin
3
, cos( ) =___________.
【答案】
7
9
【解析】
8.已知 A 是角 终边上一点,且 A点的坐标为
3 4,
5 5
,则 2
1
2sin cos cos
= .
【答案】
25
33
【解析】由题意
3 4cos ,sin
5 5
,因此 2
2
1 1 25
4 3 32sin cos cos 332 ( )
5 5 5
.
9.【【百强校】2017 届河北武邑中学高三上学期周考】已知
2sin( )
3
,
1sin( )
5
,则
tan
tan
的值为__________.
【答案】
7
13
【解析】
2sin( ) sin cos cos sin
3
,
1sin( ) sin cos cos sin
5
,两式
相加得
7sin cos
30
,两式相减得
13cos sin
30
,以上两式相除,得
tan 7
tan 13
.
10.【2016 高考新课标 1 文数】已知θ是第四象限角,且 sin(θ+
π
4
)=
3
5
,则 tan(θ–
π
4
)= .
【答案】
4
3
【解析】由题意 sin sin
4 4 2
3cos
4 5
,
因为2 2 2
2
k k
k Z ,所以
72 2
4 4 4
k k
k Z ,
从而
4sin
4 5
,因此
4tan
4 3
.故填
4
3
.
11.【【百强校】2017 届河北武邑中学高三上学期周考】已知
2 5sin
5
,求
5sin( )
2tan( ) 5cos( )
2
的值.
【答案】当 为第一象限角时,
5
2
;当 为第二象限角时,
5
2
.
【解析】∵
2 5sin 0
5
,
∴ 为第一或第二象限角.
当 为第一象限角时,
2 5cos 1 sin
5
,
5sin( ) cos sin cos 1 52tan( ) tan5 sin cos sin sin cos 2cos( )
2
.
当 为第二象限角时,
2 5cos 1 sin
5
,
原式
1 5
sin cos 2
.
12.如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,点 , ,A B C 均在单位圆上 ,已知点 A在第一象限的横坐标是
3 ,
5
点 B
在第二象限 ,点 1,0 .C
(1)设 ,COA 求 sin 2 的值;
(2)若 AOB 为正三角形 ,求点 B的坐标
【答案】 241
25
3 4 3 4 3 32 ,
10 10
B
13. 【2017 山东,理 16】设函数 ( ) sin( ) sin( )
6 2
f x x x ,其中0 3 .已知 ( ) 0
6
f
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数 ( )y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平
移
4
个单位,得到函数 ( )y g x 的图象,求 ( )g x 在
3[ , ]
4 4
上的最小值.
【答案】(Ⅰ) 2 .(Ⅱ)得最小值
3
2
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简得到 ( )y f x 3(sin )
3
x
由题设知 ( ) 0
6
f
及0 3 可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ( ) 3 sin(2 )
3
f x x
从而 ( ) 3 sin( ) 3 sin( )
4 3 12
g x x x
.
根据
3[ , ]
4 4
x
得到
2[ , ]
12 3 3
x
,进一步求最小值.
试题解析:(Ⅰ)因为 ( ) sin( ) sin( )
6 2
f x x x ,
所以
3 1( ) sin cos cos
2 2
f x x x x
3 3sin cos
2 2
x x
1 33( sin cos )
2 2
x x
3(sin )
3
x
由题设知 ( ) 0
6
f
,
所以
6 3
k , k Z .
故 6 2k , k Z ,又0 3 ,
所以 2 .
14.如图,在直角坐标系 xOy中,角 的顶点是原点,始边与 x轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A,
且 , )
6 2
.将角 的终边按逆时针方向旋转
3
,交单位圆于点 B.记 ),(),,( 2211 yxByxA .
(Ⅰ)若
3
1
1 x ,求 2x ;
(Ⅱ)分别过 ,A B作 x轴的垂线,垂足依次为 ,C D.记△ AOC
的面积为 1S ,△BOD的面积为 2S .若 1 22S S ,求角 的值.
【答案】(Ⅰ) 2
1 3 1 2 6cos( ) cos sin
3 2 2 6
x
.(Ⅱ)
4
.
【解析】(Ⅰ)由三角函数定义,得 1 cosx , 2 cos( )
3
x
.………………2分
因为 , )
6 2
,
1cos
3
,
所以
2 2 2sin 1 cos
3
. ………………3分
所以 2
1 3 1 2 6cos( ) cos sin
3 2 2 6
x
. ………………5分
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