2020年陕西省铜川市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析) 19页

2020 年陕西省铜川市高考数学二模试卷(文科) 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若集合 ൌ ሼሼ ሼ െ ͵ ，若 ൌ ，则集合 B 可能为 A. B. C. D. . 已知 i 是虚数单位，若 ൅ ൌ ൅ ，则 ൌ A. 5 B. C. D. 1 . 各项均为正数的等比数列 ͵ 的前 n 项和为 ，若 ൌ ， ൌ 1 ，则 等于 A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 . “ ”是“函数 ሼ ൌ ሻሼ ሼ 1 ሼ 在 1h 上为减函数”的 A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要 . 已知回归直线方程 ൌ ሼ ，如果 ሼ ൌ 时，y 的估计值是 17， ሼ ൌ 㤳 时，y 的估计值是 22， 那么回归直线方程是 A. ൌ ሼ 1 B. ൌ ሼ 1 C. ൌ ሼ 1 D. ൌ ሼ 1 6. 设 l，m 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是 ． A. ሻ ， ， ሻ B. ሻ쳌쳌 ， ሻ ， C. ሻ ， ሻ ， D. ሻ ， ， ሻ 7. 直线 ൌ 䁨ሼ 与圆 ሼ ൌ 1 有公共点，则斜率 k 的取值范围是 A. B. h h C. D. h h 㤳. 已知函数 ሼ ൌ sin ሼcos ሼ sin ሼcos ሼ 图象上的一个最低点为 A，离 A 最近的两个最高点分别为 B 与 C，则 ൌ A. B. C. D. . 若 െ 1 ， ′ ，则函数 ൌ ሼ 的图象有可能是 A. B. C. D. 1. 已知双曲线 C： 的焦点到渐近线的距离为 3，则双曲线 C 的虚轴长为 A. 3 B. 6 C. D. 1 11. 在三棱锥 中，已知 ൌ ൌ ൌ ， ൌ ൌ ， ，则三棱锥 外接球的表面积为 A. 6 B. 1 C. 6 D. 6 1. 函数 ൌ ln1 ሼ 的图象大致是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 如图所示，在梯形 ABCD 中， 쳌쳌 ， ， ൌ h ൌ ， 点 E 为 AB 的中点，若 ൌ ，则向量 在向量 方向上的 投影为______． 1. 已知 ሼ ൌ ሼ ，则曲线 ൌ ሼ 在 ሼ ൌ 1 处的切线斜率为______ ． 1. 已知圆 1 ： ሼ 1 ൌ 1 与圆 ： ሼ ሼ 1 ൌ 相交于两点 A，B，则直线 AB 的方 程为______． 16. 某容器中盛满 10kg 的纯酒精，倒出 2kg 后再补上同质量的水，混合后倒出 2kg，再补上同质量 的水，倒出 n 次后容器中纯酒精的质量为________kg． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， ൌ ， 点 D 在线段 BC 上， ൌ 6 ． Ⅰ 求 sin ， cos 的值； Ⅱ 若 ൌ ，求 的面积． 18. 某集团公司对所属的 200 家企业进行年终考评，并依据考评得分 最低 60 分，最高 100 分，可 以是小数 将其分别评定为 A、B、C、D 四个等级，标准如下表： 考评得分 6h7 7h㤳 㤳h h1评定类型 D C B A 现将各企业的考评分数进行统计分析，并将其画成一个不完整的频率分布直方图如下． 1 求得分在 7h㤳 的频率； 用分层抽样的方法从这 200 家企业中抽取 40 家作为代表进行座谈，试问其中 A、D 类企业 应分别抽取多少家？ 试根据频率分布直方图估计这 200 家企业考评得分的中位数． 19. 如图，过正方体 1111 形木块上底面内的一点 P 和下底面的对角线 BD 将木块锯开， 得到截面 BDMN． 1 请在木块的上表面作出过 P 的锯线 MN，并说明理由； 在此正方体中，若 E 为棱 1 的中点，求证：平面 平面 1 C. 20. 已知椭圆 C： ሼ ൌ 1 െ െ 的离心率为 6 ，且过点 h . 1 求椭圆 C 的方程； 已知直线 l： ൌ 䁨ሼ 被圆 O： ሼ ൌ 截得的弦长为 2，且与椭圆 C 相交于两点 A、 B 两点，求 的最大值． 21. 已知 ሼ ൌ ሼ 1 ሼ 1 ሼ ， ； ሼ ൌ ሻሼ ሼ ． 1 求 ሼ 的最大值； 若函数 ሼ 在 h 上单调，求 a 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1 ： ሼ ൌ ，曲线 ： 为参数 ， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 1 求 1h 的极坐标方程； 若曲线 的极坐标方程为 ൌ െ h ′ ′ ，且曲线 分别交 1h 于点 A，B 两点， 求 的最大值． 23. 已知函数 ሼ ൌ ሼ 1 ሼ ，若 ሼ 的最小值为 1． 1 求实数 a 的值； 若 െ ，且 m，n 均为正实数，且满足 ൌ ，求 的最小值． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 【试题解析】 本题主要考查了集合的关系，以及交集的运算，属于基础题． 根据 ൌ 可知，B 为 A 的子集，解出集合 A，即可得出集合 B 的可能取值． 解： ൌ ， ， 集合 ൌ ሼሼ ሼ െ ͵ ，解得： ൌ ሼሼ െ 或 ሼ ′ 1͵ ， 根据各选项，只有 符合条件， 故选 C． 2.答案：B 解析： 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的求模，属于基础题． 利用复数的代数形式的乘除运算可求得 z，再求模即可． 解：因为 ൌ ൅ ൅ ൌ ൅൅ ൌ 11 ൅ ， 所以 ൌ 11 ൌ ． 故选 B． 3.答案：B 解析：解：由等比数列的性质可知数列 ， ， ， ，仍成等比数列， 则 1 ൌ ， 解得： ൌ 或 ൌ 6 舍 ， 则数列 ͵ 为：3，6，12，24， ， 则 ൌ ，则 ൌ ， 故选：B． 根据等比数列的性质可得 ， ， ， ，仍成等比数列，即可求得 ൌ ，代 入即可求得 ． 本题考查等比数列前 n 项和的性质，考查计算能力，属于基础题． 4.答案：C 解析：解：函数 ሼ ൌ ሻሼ ሼ 1 ሼ ，在 1h 在为减函数， ݈ሼ ൌ 1 ሼ 1 ሼ ，在 1h 上恒成立， 1 ሼ 1 ሼ ， 设 ሼ ൌ 1 ሼ 1 ሼ ， ݈ሼ ൌ ሼ ሼ ， 当 ሼ 1h ， ݈ሼ ′ ， ሼ 为减函数， 当 ሼ h ， ݈ሼ െ ， ሼ 为增函数， ሼ൅ ൌ ൌ 1 1 ൌ 1 ， 1 ， 当 1 ，函数 ሼ ൌ ሻሼ ሼ 1 ሼ 在 1h 上为减函数， “ ”是“函数 ሼ ൌ ሻሼ ሼ 1 ሼ 在 1h 上为减函数”的必要不充分条件， 故选：C． 先根据导数和函数单调性的关系求出 a 的范围，再结合充分条件，必要条件的定义即可判断． 本题考查了导数和函数的单调性的关系和充分必要条件的定义，属于中档题． 5.答案：A 解析： 利用条件，代入计算，可得结论． 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比较基础． 解： 回归直线方程 ൌ ሼ ，如果 ሼ ൌ 时，y 的估计值是 17， ሼ ൌ 㤳 时，y 的估计值是 22， 17 ൌ ， ൌ 㤳 ， ݔሼ 1 ൅ሼ 1 1 ݔሼ ൌ ൅ሼ 1 ൌ ሼ ൌ ൅ሼݔሼ ൅ሼ൅ሼ 解析：解：由三角函数公式化简可得 8.答案：D 故选 D． ， 䁨 或 䁨 解得 ， 䁨1 1 ൌ 的距离 䁨ሼ ൌ 到直线 h 故圆心 有公共点， ൌ 1 ሼ 与圆 ൌ 䁨ሼ 由直线 ， 䁨ሼ ൌ 可化为 ൌ 䁨ሼ 解：直线 当圆心到直线的距离小于等于圆的半径时，直线与圆有公共点，即可得出结论． 本题考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属基础题． 解析： 7.答案：D 故答案为 D． ，故 D 正确， 的两个法向量垂直，可得 ， 知， ሻ ， ， ሻ 对于 D 选项，由 的一个充分条件，故 C 错误； 当 m 为两平面交线的时候，C 成立，C 选项不是 的一个充分条件，故 B 错误； 时，B 成立，B 选项不是 쳌쳌 当 的一个充分条件，所以 A 错误； 成立，A 选项不是 ሻ ， ሻ h 时， 쳌쳌 解：当 结合面面垂直的判定定理逐项判断即可． 本题考查面面垂直的判定与性质，属于中档题． 解析： 6.答案：D 故选 A． ． ൌ ሼ 1 ， ൌ 1 ， ൌ 1 ൌ sinሼ 6 1 ，令 ሼ 6 ൌ 可得 ሼ ൌ ， 可取一个最低点 h ， 同理可得 6 h 1 ， 7 6 h 1 ， ൌ h ， ൌ h ， ൌ ， 故选：D． 由三角函数公式化简可得 ሼ ൌ sinሼ 6 1 ，结合图象可得 A、B、C 的坐标，可得向量的坐标， 计算可得． 本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题． 9.答案：A 解析： 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性以及与 y 轴的交点的范围是解决本题的关键． 根据指数函数的单调性以及函数与 y 轴交点纵坐标的取值范围进行判断即可． 解：当 െ 1 时，函数为增函数，排除 B，D， 当 ሼ ൌ 时， ൌ ൌ 1 ′ 1 ，排除 C， 故选：A． 10.答案：B 解析： 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 求出双曲线的焦点坐标到直线的距离，得到方程，求出 b 即可． 解：由 ൌ ，故双曲线的焦点坐标为 ± h ，渐近线方程为 ， 由焦点到渐近线的距离为 3 得： ൌ ，解得 ൌ ， 则双曲线 C 的虚轴长为 6， 故选 B． 11.答案：A 解析：解： ൌ ൌ ൌ ， ൌ ൌ ， ， ൌ ， ൌ ， ， ， ൌ ， ൌ ， 面 ABD， 面 ABC， 面 ABD， 面 ACB； ， ， 为 DC 中点， 直角三角形中得出： ൌ ൌ ൌ ， O 为外接球的球心， 半径 ൌ 1 ൌ 6 ， 三棱锥 外接球的表面积为： 6 ൌ 6 ， 故选：A． 利用直线平面的垂直得出 ， 利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的 半径． 本题综合考查了直线平面的垂直的判断性质定理，综合运用平面知识解决空间问题的能力． 12.答案：D 解析： 本题考查了函数的奇偶性、函数图象的应用，考查对数函数的性质，属于基础题 . 根据函数的奇偶性 排除选项 B，根据函数图象经过 h ，排除 A，C，即可得结果． 解：由题意得， ሼ ൌ ሼ ，即函数 ൌ ln1 ሼ 为 R 上的偶函数， 所以函数的图象关于 y 轴对称，排除选项 B， 又因为当 ሼ ൌ 时， ൌ ሻ1 ൌ ， 所以函数图象经过 h ，即排除 A，C， 即选项 D 正确， 故选 D． 13.答案： 1 解析： 本题考查向量的投影的求法，考查平面向量等基础知识，是中档题． 以 B 为原点，BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建系，求出 D 点坐标，即可求出投影． 解：以 B 为原点，BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，如 图 ൌ ， ൌ ， h ， h ， h ， D 的纵坐标为 ， 点 E 为 AB 的中点， h ， 设 ൌ ሼ ，则 ሼh ， ൌ h ， ൌ ሼh ， ൌ ， ൌ ሼ 1 ൌ ，解得 ሼ ൌ ， ൌ 1 h ， ൌ h ， 向量 在向量 方向上的投影为： cos ′ h െ ൌ ൌ 1 ൌ 1 ． 故答案为： 1 ． 14.答案： 解析：解： ሼ ൌ ሼ 的导数为 ݈ሼ ൌ ሼ ， 由导数的几何意义可得， 曲线 ൌ ሼ 在 ሼ ൌ 1 处的切线斜率为 䁨 ൌ 1 ൌ ． ， 1 ൌ ݔ ൌ ݔ ൌ ݔ 故 故 ， ൅ ൌ ൅ ൌ ൅ݔ 因为 ， ൅ ൌ ൅ 故 ， ൌ 㤳൅൅ sin 故 因为 ， Ⅰ 17.答案：解： ． 1 㤳 故答案为 ． 䁨 1 㤳 所以倒出第 n 次后，容器中纯酒精的质量为 为公比的等比数列， 因此容器中的纯酒精的质量构成以 8 为首项，以 ， 解：由题意，第一次倒出后，剩下的纯酒精为 8kg，以后每次倒出 2kg 后，酒精剩下原来的 根据题意，求解即可． 建立数列模型，等比数列的应用，属于基础题． 本题主要考查数学建模 解析： 1 㤳 16.答案： ． ሼ 1 ൌ 故答案为： ． ሼ 1 ൌ ：得： 1 那么直线 AB 的方程为： 相交于两点 A，B， ሼ 1 ൌ ሼ ： 与圆 ൌ 1 1 ሼ ： 1 解：圆 本题考查两个圆的公共直线性质，属于基础题． 根据两圆相交的公共直线性质，两圆方程相减可得直线 AB 的方程． 解析： ሼ 1 ൌ 15.答案： 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及运算能力，属于基础题． 的导数，运用导数的几何意义可得所求切线的斜率． ሼ 求得 ． 故答案为： 则 ൅ ൌ ． Ⅱ 由题意， ൅ ൌ ൅ ， 所以 ൌ ， 故 ൌ ， 由余弦定理得， ， 故 6 ൌ ， 解得 ൌ 11 或 ൌ 舍 ， 故 CD ൌ ， 又 ， 故 ． 解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、面积公式等． Ⅰ 利用二倍角公式化简得 ൅ ൌ ൅ ，再根据 ൌ ，求 cosC，从而可求 Ⅱ 结合 Ⅰ 和正弦定理得 b，由余弦定理求 a，从而可求． 18.答案：解： 1 根据频率和为 1，得： 得分在 7h㤳 的频率为： 1 .1 . . 1 ൌ . ； 类企业的个数为 . 1 ൌ ， B 类企业的个数为 . 1 ൌ ， C 类企业的个数为 .㤳 ， D 类企业的个数为 㤳 ൌ ； 按比例，A 类企业应抽 . ൌ 1 家， D 类企业应抽 .1 1 ൌ 6 家． 前两个小长方形的面积和为 .1 . ൌ . െ . ， 中位数应在 7h㤳 中， 设中位数为 x，则 .1 ሼ 7 . ൌ . ， 解得 ሼ ൌ 7㤳.7 ， 中位数是 7㤳.7 ． 解析： 1 根据频率和为 1，求出得分在 7h㤳 的频率； 根据频率以及样本容量，求出 A、D 类企业应抽多少家； 根据两边频率相等求出中位数． 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法与中位数的应用问题，是基础题目． 19.答案：解： 1 在上底面内过点 P 作 11 的平行线分别交 11 ， 11 于 M，N 两点， 则 MN 即为所作的锯线． 下面证明： 在正方体 1111 中， 1쳌쳌1 ，且 1 ൌ 1 ， 所以四边形 11 为平行四边形，所以 11쳌쳌 ， 又平面 쳌쳌1111 ，平面 平面 ܯ ൌ ，平面 1111 平面 ܯ ൌ ܯ ， 所以 쳌쳌ܯ ，从而 ܯ쳌쳌11 ． 记 AC 与 BD 的交点为 O， 连接 OE， 1 ，证 ， 1 ， 在三角形 AEC 中， ൌ ，O 为 AC 中点，所以 ， 在四边形 11 中， tan ൌ tan1 ൌ ， 所以 ൌ 1 ，所以 1 是直角， 1 因为 1 ൌ ，所以 平面 １ ， 因为 平面 EAC 从而平面 平面 1 C. 解析：本题考查了棱柱的结构特征和平面与平面垂直的判定．解题时利用了“如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”证得 的结论． 1 此题实际上是在平面 1111 形上找到过点 P 的线段 MN， ܯ쳌쳌 ； 欲证明平面 平面 1 ，只需证得 ， 1 ，则 平面 １ ，则平面 平面 1 ． 20.答案：解： 1 椭圆 C 的离心率为 6 ， ൌ 6 分 点 h 在椭圆上， 1 ൌ 1 ， ൌ ， ൌ 1 ， 椭圆 C 的方程为 ሼ ൌ 1. 分 直线 l 被圆 O 截得的弦长为 2， 圆心 O 到直线 l 的距离 ൌ 11 分 因此， 1䁨 ൌ 1 ，即 ൌ 1 䁨 6 分 由直线 l： ൌ 䁨ሼ 代入椭圆方程得： 1 䁨 ሼ 6䁨ሼ 1 ൌ 7 分 设 ሼ1h1 ， ሼh ，则 ሼ1 ሼ ൌ 6䁨 1䁨 ， ሼ1ሼ ൌ 1 1䁨 㤳 分 ൌ 1 䁨 ሼ1 ሼ ൌ 6䁨1䁨 1䁨 1䁨 1䁨 ൌ 1 分 当且仅当 䁨 ൌ 1 䁨 ，即 䁨 ൌ± 1 时， 有最大值 .1 分 解析： 1 利用椭椭圆 C： ሼ ൌ 1 െ െ 的离心率为 6 ，且过点 h ，建立方程，求出 a，b，即可求椭圆 C 的方程； 直线 l： ൌ 䁨ሼ 被圆 O： ሼ ൌ 截得的弦长为 2，确定 m，k 的关系，直线代入椭圆方 程，利用韦达定理、弦长公式，即可确定结论． 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能 力，属于中档题． 21.答案：解： 1 ݈ሼ ൌ 1ሼ ሼ 分 当 ሼ h1 时， ݈ሼ െ ， ሼ 为增函数；当 ሼ 1h 时， ݈ሼ ′ ， ሼ 为减函数． ሼሼ ൌ 1 ൌ 6 分 ݈ሼ ൌ ሼ 1ሼ 11 ሼ ， 当 ൌ 时， ′ ሼ ′ ， ݈ሼ ′ ，符合要求； 㤳 分 当 െ 时，记 ሼ ൌ ሼ 1ሼ 11 ， 对称轴为： ሼ ൌ 1 ′ 分 ， ൌ ， 1 6 sin 1 ൌ 则 ， ݔ൅ h ൌ ൅ 1 ൌ ， h ， 1h 设 ， ൌ െ h ′ ′ 为 曲线 ， ൌ ൅ ： ， ൅ ൌ ， ൌ 1 ൅ 1 ݔ ， ൌ ൅ ， ሼ ൌ ݔ ， ൌ 1 1 ሼ ， ； ݔ ൅ ൌ ： 1 ， ൌ ൅ ， 1 ሼ ൌ ݔ 22.答案：解： 的解法及应用，属于中档题． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了不等式 ，从而解得 a 的取值范围． 或 h上单调，只需 在区间 ሼ ，则要使 ′ 1 ሼ ൌ ，对称轴为： 1ሼ 11 ሼ ൌ ሼ 时，记 െ 当 ，符合要求； ݈ሼ ′ ， ′ ሼ ′ 时， ൌ ，当 ሼ 1ሼ 11 ݈ሼ ൌ ሼ 可求得： 的值． ሼሼ 为减函数，可得 ሼ ， ݈ሼ ′ ሼ 1h 时， 为增函数；当 ሼ ， ݈ሼ െ 时， ሼ h1 ，由于当 ሼ 1ሼ ݈ሼ ൌ 由已知可求 1 解析： 分 h 1 7 h 综上，a 的取值范围为： ′ 或 7 解得： 分 1 11 11 െ 或 െ 即 或 上单调，只需 h 在区间 ሼ 则要使 ሼ ൌ ． 解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒 等变换． 1 直接对参数方程极坐标方程转化为直角坐标方程． 直接利用关系式的变换求出结果． 23.答案：解： 1 ሼ ൌ ሼ 1 ሼ 当 െ 时，即 1 െ ， ሼ ൌ ሼ 1 hሼ ሼ 1h ′ ሼ ′ 1 ሼ 1h 1 ሼ 1 ൌ 1 ൌ െ ， 1 െ 则当 ሼ ൌ 时， ሼ min ൌ 1 ൌ 1 ， ൌ 6 ． 当 ′ 时，即 1 ′ ， ሼ ൌ ሼ 1 hሼ 1 ሼ 1h 1 ′ ሼ ′ ሼ 1h ሼ 1 ൌ 1 ൌ െ ， 1 െ ，则当 ሼ ൌ 时， ሼ min ൌ 1 ൌ 1 ， ൌ ． 当 ൌ 时，即 1 ൌ ， ሼ ൌ ሼ 1 ，当 ሼ ൌ 1 时， ሼ min ൌ 不满足题意．综上 ൌ 或 ൌ 6 ． 由题意知， ൌ ， െ ， െ ， ൌ ൌ ， 即 1 ，当且仅当 ൌ ൌ 时取“ ൌ ”， ， 的最小值为 ． 解析：本题考查分段函数的最值问题，考查运用基本不等式求最值． 1 首先按零点分类讨论，化简函数 ሼ ，再分段求函数 ሼ 的最值，进而得到 a 的值； 借助基本不等式得解．