高考数学黄金考点精析精训考点15平面向量的数量积理 16页

考点 15 平面向量的数量积 【考点剖析】 1.最新考试说明： （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 2.命题方向预测： 向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、 向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题， 重视数形结合与转化化归思想的考查． 3.课本结论总结： （1）两个向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OA  ＝a，OB  ＝b，则∠AOB＝θ叫做向量 a 与 b 的夹角． ②范围：向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180°,a 与 b 同向时，夹角θ＝0°；a 与 b 反向时，夹角θ＝180°. ③向量垂直：如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. （2）平面向量数量积 ①已知两个非零向量 a 与 b，则数量|a||b|·cos θ叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是 a 与 b 的夹角． 规定 0·a＝0. 向量的投影：| b | cos 叫向量 b 在向量a 方向上的投影 当 a⊥b 时，θ＝90°，这时 a·b＝0. ②a·b 的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）向量数量积的性质 ①如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a. ②a⊥b  a·b＝0. ③a·a＝|a|2， | a |= a a . ④cos θ＝ a b | a || b | .(θ为 a 与 b 的夹角) ⑤|a·b|≤|a||b|. （4）数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a. ②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. ③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． （5）数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： ①a·b＝a1b1＋a2b2. ②a⊥b  a1b1＋a2b2＝0. ③|a|＝ a2 1＋a2 2. ④cos θ＝ a b | a || b | ＝ 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b    .(θ为 a 与 b 的夹角) 4.名师二级结论： (1)向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ= | | a b a    . （2）若向量 a∥b，且 b= 1 1( , )x y ，则可设 a= 1 1( , )x y  . 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版第 108 页，习题 2.4A 组第 3 题 已知| a  |=2，|b  |=5， a  ·b  =-3，求| a  +b  |,| a  -b  |. 【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题. (2) 新课标 A 版第 108 页，习题 2.4A 组第 7 题 已知| a  |=4，|b  |=3，(2 a  -3b  )·(2 a  +b  )=61，求 a  与b  的夹角. 【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题. 6.考点交汇展示： (1)与平面几何交汇 【2017 天津，文 14】在△ABC 中， 60A   ，AB=3，AC=2.若 2BD DC  ， AE AC AB    （  R ），且 4AD AE    ，则  的值为 . 【答案】 3 11 【解析】 试题分析： 0 1 23 2 cos60 3, 3 3AB AC AD AB AC           ,则 1 2 2 1 2 3( )( ) 3 4 9 3 43 3 3 3 3 3 11AD AE AB AC AC AB                        . (2)与不等式交汇 1.对任意向量 ,a b   ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A．| | | || |a b a b     B．| | || | | ||a b a b      C． 2 2( ) | |a b a b      D． 2 2 ( )( )a b a b a b         【答案】B 2.【2016 高考浙江】已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量 e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜  6 ,则 a·b 的最大值是 ． 【答案】 1 2 【解析】 2 2 1| (a b) | | a | | b | 6 | a b | 6 | a | | b | 2a b 6 a b 2e e e                                ，即最大值为 1 2 . （3）与三角函数交汇 【2016 高考浙江】已知平面向量 a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若 e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e| 的最大值是______． 【答案】 7 【解析】由已知得 , 60a b   r r ，不妨取 (1,0)a  r ， (1, 3)b  r ，设 (cos ,sin )e   r ，则 cos cos 3sina e b e         r r r r cos cos 3 sin     2 cos 3 sin   ，取等号时 cos 与sin 同号． 所以 2 cos 3 sin 2cos 3sin      2 37 cos sin 7 7    7 sin( )   ，（其中 2 3sin ,cos 7 7    ，取 为锐角）． 显然 7 sin( ) 7   易知当 2    时， sin( )  取最大值 1，此时 为锐角，sin ,cos  同为正，因此上述不等式中 等号能同时取到．故所求最大值为 7 ． 【考点分类】 热点 1 平面向量数量积及其几何意义 1.【2017 天津，理 13】在 ABC△ 中， 60A  ∠ ， 3AB  ， 2AC  .若 2BD DC  ， ( )AE AC AB    R    ，且 4AD AE    ，则  的值为___________. 【答案】 3 11 2. 【2016 高考江苏卷】如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， ,E F 是 ,A D 上的两个三等分点， 4BC CA   ， 1BF CF    ，则 BE CE  的值是 ▲ . 【答案】 7 8 【解析】因为 2 2 2 2 4 36 44 4 AO BC FO BCBA CA           , 2 2 4 14 FO BCBF CF        , 因此 2 25 13,BC8 2FO    ， 2 2 2 2 4 16 7 4 4 8 EO BC FO BCBE CE           ． 【方法规律】 1.平面向量数量积的计算方法 ①已知向量 a，b 的模及夹角θ，利用公式 a·b＝|a||b|cosθ求解； ②已知向量 a，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解； ③用平面向量数量积的几何意义计算. 2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 【解题技巧】 1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出 来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解. 2. 计算向量 b 在向量 a 方向上的投影有两种思路：思路 1，用| b | cos 计算;思路 2，利用 a b | a | 计算. 3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何 意义计算. 【易错点睛】 1.向量的数量积不满足消去率和结合律. 2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正， 也可以为负，还可以为 0. 3.若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b,与实数乘积不同. 例 已知平面向量 a,b,c，下列说法中： ①若 a·b=a·c,则 a=c； ②a(b·c)=(a·b)c; ③若 a·b=0,则 a=0 或 b=0; ④a·b≤|a|·|b|，正确的序号为 . 【错解】①②③④ 【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性 质. 【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质. 【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故①②，因若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b，故 ③错，根据平面向量的数量积的性质知④正确，故正确的说法序号为④ 热点 2 平面向量垂直、平面向量夹角 1.【2017 课标 1，文 13】已知向量 a=（–1，2），b=（m，1）．若向量 a+b 与 a 垂直，则 m=________． 【答案】7 【解析】 2.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA  , OB  ,OC  的模分别为 1,1, 2 , OA  与 OC  的夹角为  ,且 tan =7,OB  与OC  的夹角为 45°.若 OC mOA nOB    ( , )m nR , 则 m n  . 【答案】3 3.【2017 山东，理 12】已知 1 2,e e 是互相垂直的单位向量，若 1 23 e e 与 1 2e e 的夹角为 60 ，则实数  的值是 . 【答案】 3 3 【解析】试题分析：    2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 23 3 3 3e e e e e e e e e e                       ，  2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 23 3 3 2 3 2e e e e e e e e               ，  2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 22 1e e e e e e e e                    ， 2 23 2 1 cos60 1         ，解得： 3 3   ． 【方法规律】 1.对平面向量夹角问题 (1)当 a ， b 是非坐标形式时，需要先求出 a b 及| a |、| b |或它们的关系. (2)若已知向量 a ， b 的坐标，直接利用公式求解. 2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决. 【解题技巧】 1.非零向量垂直 a,b 的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0. 2．a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题． 【易错点睛】 1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系. 2.若两个向量夹角为锐角，则 cos ＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则 cos 小于 0，反之， 不一定 3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过 移动，使其起点相同，再观察夹角． 4.a⊥b⇔a·b＝0 是对非零向量而言的，若 a＝0 时，a·b＝0，但不能说 a⊥b. 例 已知向量 (1,2), ( ,1)a b x     ，且向量 a  与b  夹角为锐角，求 x 的范围； 【错解】因为向量 a  与b  夹角为锐角，所以 a b  = x +2＞0，解得 x ＞-2. 【错因分析】从 0a b     出发解出 x 的值，忽视剔除 ,a b   同向的情况． 【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏. 【正解】因为向量 a  与b  夹角为锐角，所以 a b  = x +2＞0，解得 x ＞-2. 当 x = 1 2 时， a  与b  同向，故 x 的范围为 1 1( 2, ) ( , )2 2    . 热点 3 平面向量模 1.【2017 课标 II，文 4】设非零向量 a ， b 满足 + = -b ba a 则 A. a ⊥ b B. = ba C. a ∥ b D.  ba 【答案】A 【解析】由| | | |a b a b      平方得 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )a ab b a ab b          ，即 0ab  ，则 a b  ，故选 A. 2.【2017 课标 1，理 13】已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】 2 3 【解析】 试题分析： 2 2 2| 2 | | | 4 4 | | 4 4 2 1 cos60 4 12a b a a b b                 所以| 2 | 12 2 3a b    . 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出 2a b  的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度，则为 2 3 . 【方法规律】 对平面向量的模问题，若向量 a 是非坐标形式，用   2 2| a | a a a 求模长；若给出向量 a 的坐标，则用 | a |= 2 2 1 1x y 来求解. 【解题技巧】 1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式   2 2| a | a a a 转化为平面向 量的数量积，利用平面向量的运算法则计算. 2．对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决. 【易错点睛】 在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|. 例 已知| a  |=1，|b  |=2，向量 a  与b  夹角为 120o,求|3a b  |. 【错解】|3a b  |= 2 2 2(3 ) 9 | | 6 | |a b a a b b          = 2 29 1 6 1 2 2     =5. 【错因分析】错用 a·b＝|a||b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢. 【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式   2 2| a | a a a 和平面向 量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|. 【正解】|3a b  |= 2 2 2(3 ) 9 | | 6 | |a b a a b b          = 2 219 1 6 1 2( ) 22       = 7 . 【热点预测】 1.【2016 高考新课标 3 理数】已知向量 1 3( , )2 2BA uuv ， 3 1( , )2 2BC uuuv ，则 ABC  （ ） (A)30 (B) 45 (C)60 (D)120 【答案】A 【解析】由题意，得 1 3 3 1 32 2 2 2cos 1 1 2| || | BA BCABC BA BC           ，所以 30ABC   ，故选 A． 2．【2018 届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三 9 月月考】已知单位向量 满足 ，则 与 的 夹角是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， 即 如图 = 即是第二象限的角平分线，所以由图可见 与 的 夹角是 ，故选 D. 3．【2018 届河南省林州市第一中学高三 10 月调研】已知向量 ,a b 满足  1, 2, 3, 2a b a b      ， 则 2a b  （） A. 2 2 B. 2 5 C. 17 D. 15 【答案】C 4．【2018 届河南省洛阳市高三期中】向量 ,a b 均为非零向量，    2 , 2a b a b a b        ，则 ,a b 的 夹角为（ ） A. 3  B. 2  C. 2 3  D. 5 6  【答案】A 5．【2018 届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径 AB＝4, O 为圆心，C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 PA PB PC    的最小值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 O 为 AB 的中点， 2PA PB PO     ，从而则  2PA PB PC PO PC        2 PO PC    ， 又 2 2PO PC OC PO PC         ， 1, 2 2PO PC PO PC         ， 当且仅当 1PO PC   ，即 P 为OC 的中点时，  PA PB PC    取得最小值是 2 ，故选 D. 6．【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】若 ，且 ， ， 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图所示： ， ， ， ∵ ，∴点 C 在劣弧 AB 上运动， 表示 C、D 两点间的距离 。 的最大值是 ， 最小值为 . 故选：D. 7．【2017 课标 II，理 12】已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ( )PA PB PC    的最小值是（ ） A. 2 B. 3 2  C. 4 3  D. 1 【答案】B 【解析】 8．【2018 届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线 分别于半 径为 的圆 相切于点 ，若点 在圆 的内部（不包括边界），则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量 ，再根据向量的平方运算，求出 ，令其小于半径即可求出． 9．【2018 届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在 ABC 中， D 为 BC 边上一点，且 AD BC ， 向量 AB AC  与向量 AD 共线，若 10AC  ， 2BC  ， 0GA GB GC     ，则 AB CG    （ ） A. 3 B. 5 C. 2 D. 10 2 【答案】B 【解析】取 BC 的中点 E，则 2AB AC AE    与向量 AD 共线，所以 A、D、E 三点共线，即 ABC 中 BC 边上的中线与高线重合，则 10AB AC  .因为 0GA GB GC     ，所以 G 为 ABC 的重心，则 2 222 2.3 2 BC GA GE AC              所以 2 2 101, 1 1 2, 5. 2 AB CE CG CG            本题选择 B 选项. 10．【2018 届四川省双流中学高三上 9 月月考】已知平面向量 ,PA PB  满足 11, 2PA PB PA PB        ， 若 1BC  ，则 AC 的最大值为（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 1 【答案】D 【解析】 因为 11, 2PA PB PA PB        ，所以 1cos 2APB   ，即 2 3APB   ，由余弦定理可得 1+1 1 3AB    ，如图，建立平面直角坐标系，则 3 3,0 , ,02 2A B              ，由题设点  ,C x y 在 以 3 ,02B       为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知：点  ,C x y 运动到点 D 时， max| | 1 3 1AC AD AB     ，应选答案 D. 11．【2017 届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量 , ,a b c 满足 4, 3, 2, · 3a b c b c    ， 则       22 2 ·a b a c a b a c       最大值为( ) A. 4 3 3 7 B. 4 7 3 3 C.  2 4 3 3 7 D.  2 4 7 3 3 【答案】D 【解析】设 , ,OA a OB b OC c      ， a b  与 a c  所成夹角为 ，则：         22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin 4 ,ABC a b a c a b a c AB AC AB AC AB AC AB AC CAB S                         3, 2, 3b c b c       ，则向量 ,b c  的夹角为 60°， 设    3,0 , 1, 3B C ，则 7BC  ，故： 1 33 2 sin60 32 2OBCS       ，设 O 到 BC 的距离为 h ， 则 1 3 3 3 21,2 2 7OBCBC h S h      ， 由 4a  可知点 A 落在以 O 位圆心，4 为半径的圆上， A 到 BC 的距离的最大值为 3 214 4 7h   ， 则△ABC 的面积的最大值为： 1 3 21 3 37 4 2 72 7 2          故        22 2a b a c a b a c               最大值为   2 23 34 2 7 4 7 3 32        本题选择 D 选项. 12．【2017 届浙江省 ZDB 联盟高三一模】如图，半径为 1 的扇形 AOB 中， 2 3AOB   ， P 是弧 AB 上的一点，且满足OP OB ， ,M N 分别是线段 ,OA OB 上的动点，则 •PM PN  的最大值为（ ） A. 2 2 B. 3 2 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 •PM PN      2 PO OM PO ON PO OM PO OM ON                 0 0 3 11 cos150 cos120 1 0 0 12 2OM OM ON                          ，选 C. 13. 【2018 届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】如图，在平面斜坐标系 中， ， 斜坐标定义：如果 （其中 ， 分别是 轴， 轴的单位向量），则 叫做 的斜坐标. （1）已知 得斜坐标为 ，则 __________． （2）在此坐标系内，已知 ，动点 满足 ，则 的轨迹方程是__________． 【答案】 1 14.已知 a  、b  为非零向量， ( )m a tb t R     ，若 1, 2a b   ，当且仅当 1 4t  时， m  取得最小值， 则向量 a  、b  的夹角为___________. 【答案】 2 3  【解析】设向量 ,a b   的夹角为 ，则 2 2 2 22 22 cos 4 4 cos 1m a tb a t a b t b t t               ，构 造函数   2 2 21 14 4 cos 1 4 cos cos 12 4f t t t t            ，因为当且仅当 1 4t  时， m 取得最小 值，所以当 1 4t  时，函数  f t 有最小值，即 1 1 1cos 0 cos4 2 2       时，函数  f t 有最小值， 又  0,  ，所以解得 2 3   .