【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第5章第4节数系的扩充与复数的引入学案 7页

第四节　数系的扩充与复数的引入 ‎[最新考纲]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.‎ ‎2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)．‎ ‎3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)‎ ‎(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)‎ ‎(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.(　　)‎ ‎(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)‎ A．－1　　　　　 B．0‎ C．1 D．－1或1‎ A　[∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.]‎ ‎2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)‎ A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i D　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]‎ ‎3．设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)‎ A．1　　 B．　　　　‎ C．　　　　 D．2‎ A　[＝i，则z＝＝i，‎ ‎∴|z|＝1.]‎ ‎4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.‎ ‎2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.‎ ‎∴z＝2＋i.]‎ 考点1　复数的概念 ‎　复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．‎ ‎　1.若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)‎ A．－1　 B．‎0　‎　　‎ C．1　　　 D．2‎ C　[由纯虚数的概念得得m＝1，故选C.]‎ ‎2．(2019·长沙模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)‎ A．－5 B．－1‎ C．－ D．－ D　[z＝＋i＝＋i＝＋i，‎ 因为复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－＝，解得a＝－.故选D.]‎ ‎3．(2019·唐山模拟)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)‎ A．－3－i B．－3＋i C．3＋i D．3－i C　[由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，‎ 所以＝3＋i，故选C.]‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)‎ A．0 B. C．1 D. C　[法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.‎ 法二：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故选C.]‎ ‎　解决此类时，一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ 考点2　复数的运算 ‎　复数代数形式运算问题的解题策略 ‎(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎　(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)‎ A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i ‎(2)计算：＝(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．2i D．－2i ‎(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ A．i B．i－1‎ C．－i－1 D．－i ‎(4)(2019·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝(　　)‎ A．－i B．i C．1－i D．1＋i ‎(1)D　(2)A　(3)C　(4)B　[(1)由题意得z＝＝＝1＋i，故选D.‎ ‎(2)＝＝＝2，故选A.‎ ‎(3)由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.‎ ‎(4)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以解得所以z＝i，故选B.‎ 法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意．]‎ ‎　(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；‎ ‎(2)在含有z，，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.‎ ‎　1.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)‎ A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i D　[(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]‎ ‎2．对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ C　[αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；＝＝＝－i，②正确；＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．]‎ ‎3．(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i C　[由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.]‎ ‎4．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　)‎ A．1 B．0‎ C．1＋i D．1－i D　[z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，‎ 则有a2－1＝0，a＋1≠0，‎ 得a＝1，‎ 则有＝＝＝1－i.]‎ 考点3　复数的几何意义 ‎　与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；‎ 第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．‎ ‎　(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)‎ A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1‎ C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－3,1) B．(－1,3)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)‎ ‎(1)C　(2)C　(3)A　[(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0,1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0,1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.‎ ‎(2)∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，‎ ‎∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．‎ ‎(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.]‎ ‎　复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．‎ ‎　1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，‎ 它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]‎ ‎2．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．‎ ‎2π　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以≤，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]‎ ‎3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ ‎1　[由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，‎ ＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以解得所以λ＋μ＝1.]‎