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- 2021-06-16 发布
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2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示
【教 目标】
1.知识与技能
(1) .了解平面向量的基本定理及其意义;
(2) .理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量 表示;
(3) .掌握平面向量正交分解。
2.过程与方法
(1) .初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
(2) .能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底 表达。
3.情感态度价值观
通过平面向量的正交分解,揭示图形(向量)与代数(坐标)之间的联系。
【教法指导】
1.教 重点 平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解;
2.教 难点 平面向量基本定理的运用.
【教 过程】
☆情境引入☆
1.在物理 中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中 ,会产生什么样的结论呢?
2.问题 如图,设、是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究与、之间的关系.
☆探索新知☆
1.给定平面内任意两个不共线的非零向量、,请你作出向量=3+2、=-2.
2.由1.可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、 表示向量,那么
平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢?
都可以
3.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使。
我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
注意 1° 、必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底;
2° 这个定理也叫共面向量定理;
3° λ1,λ2是被,,唯一确定的数量。
4. 思考 (1).若,取何值?
(2).平面内用 表示一个向量的基底有多少组?
有无数组
(3).若基底选取不同,则表示同一向量的实数是否相同?
可以相同,也可以不同
5.平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗?
平面中的任意两个向量之间都存在夹角。向量的夹角与直线的夹角不一样。
已知两个非零向量和 (如图),作=,=,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角.
注意 (1).两向量必须是同起点的。 ]
(2).当θ=0°时, 与同向;当θ=180°时, 与反向.夹角范围 [00,1800]。
(3)..
6. 思考 (1).对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量 表示?
可以
(2).把任意一个向量用两个互相垂直的向量 表示会给解决问题带 哪些方便?
可以与平面直角坐标系、坐标练习起 。
7.平面向量的正交分解定义
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解
8.平面向量的坐标表示
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y使得a=xi+yj,则把有序数对(i,j),叫做向量a的坐标.记作a=(i,j),此式叫做向量的坐标表示.
说明 以原点O为起点作,设,则向量的坐标(x,y)就是向量终点A的坐标。
【例题讲解】
例1.已知向量、 (如图),求作向量-2.5+3.[ 。 。 。X。X。 ]
★思路点拔
1. 怎样作向量-2.5、3?
2.向量加法应用什么法则?
O
N
A
BM
CM
★解答过程
解
作法 1° 取点O,作=-2.5 =3
2° 作 OACB,即为所求[ ]
例2.如图,用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标
★思路点拔
向量a,b,c,d用基底向量i , j怎么表示?
★解答过程
【解析】 由图可知,a=+=xi+yj,
∴a=(2,3).
同理,b=-2i+3j=(-2,3);
c=-2i-3j=(-2,-3);
d=2i-3j=(2,-3).[ * * *X*X* ]
【课堂练习】
( )
★解答过程
[ 。 。 ]
2. 设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=________.[ | | ]
★解答过程
【解析】 因为a=e1+2e2 ①,b=-e1+e2 ②
显然a与b不共线
①+②得a+b=3e2 所以e2=代入②得
e1=e2-b=-b=a-b 故有e1+e2=a-b++=a-b。 !
☆课堂提高☆
1.下列关于基底的说法正确的是 ( )
.平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底;.基底中向量可以是零向量;
.平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解也是唯一确定的。
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】基底必须为不共线的非零向量,所以错;根据平面向量基本定理知对。故选C.
2.如图,已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a、b表示=( )
A.a+b B.a+b
C.a-b D.a+b
【答案】 D
3.在等边三角形中,的夹角= 。
【答案】1200.
【解析】 的起点不同,其夹角为角B的补角,等于1200.
4.在△ABC中,点D在边CB的延长线上,且=4=r-s,求s+r的值.
【答案】
【解析】如图所示,由题意,得=4 ,∴=。
又∵=-,∴=(-)=-.
∴r=s=.∴s+r=.
☆课堂小结☆
1、 平面向量基本定理、两向量的夹角;
2、 对基本定理的理解
(1)基底不唯一,关键是不共线;[ ]
(2)实数对的存在性和唯一性。
3、向量的坐标的概念;
4、应用定理的关键是掌握向量的加法法则和向量共线定理。
☆课后作业☆
1.ABCD,=a,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a,b为基底分解向量.