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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理11-4概率、统计综合问题的三种常用求解策略学案

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‎           概率、统计综合问题的三种常用求解策略 ‎ 公式法 ‎ 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.‎ ‎(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列;‎ ‎(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.‎ ‎【解】 (1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.‎ 依条件可知,X~B(6,),‎ P(X=k)=C·()k·()6-k(k=0,1,2,3,4,5,6).‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,‎ 则P(A)=C·()2·()4+C··()5+()6=,即教师甲在一场比赛中获奖的概率为.‎ 对于此类问题求解,若随机变量X服从二项分布B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得.  ‎ ‎ 间接法 ‎ 随机观测生产某种零件的某工厂20名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,48,37,25,45,43,31,49,34,33,43,38,32,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:‎ 分组 频数 频率 ‎[25,30]‎ ‎2‎ ‎0.10‎ ‎(30,35]‎ ‎4‎ ‎0.20‎ ‎(35,40]‎ ‎5‎ ‎0.25‎ ‎(40,45]‎ m fm ‎(45,50]‎ n fn ‎(1)确定样本频率分布表中m,n,fm和fn的值;‎ ‎(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取3人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]内的概率.‎ ‎【解】 (1)由已知数据,得区间(40,45]内的频数m=6,区间(45,50]内的频数n=3,故fm==0.3,fn==0.15.‎ ‎(2)由频率分布表,画出频率分布直方图如下图:‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]内的频率为0.2,设所取的3人中,日加工零件数落在区间(30,35]内的人数为ξ,则ξ~B(3,0.2),‎ 故P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-0.2)3=0.488.‎ 因此至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]内的概率为0.488.‎ 当复杂事件正面情况比较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解,即“正难则反”.对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解.  ‎ ‎ 对称法 ‎ 从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:‎ ‎(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);‎ ‎(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.‎ ‎①利用该正态分布,求P(187.8