【数学】2019届一轮复习北师大版第4章三角函数解三角形第1节学案 12页

第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；‎ ‎3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.角的概念的推广 ‎(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.‎ ‎(2)分类 ‎(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈ }.‎ ‎2.弧度制的定义和公式 ‎(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.‎ ‎(2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|＝(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°＝ rad；②1 rad＝°‎ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，记作sin α x叫作α的余弦，记作cos α 叫作α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ Ⅱ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ Ⅲ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ Ⅳ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.‎ ‎2.若α∈，则tan α>α>sin α.‎ ‎3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)小于90°的角是锐角.( )‎ ‎(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )‎ ‎(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )‎ ‎(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )‎ 解析 (1)锐角的取值范围是.‎ ‎(2)第一象限角不一定是锐角.‎ ‎(3)顺时针旋转得到的角是负角.‎ ‎(4)终边相同的角不一定相等.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.角－870°的终边所在的象限是( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限.‎ 答案 C ‎3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )‎ 解析 当k＝2n(n∈ )时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈N)，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；‎ 当k＝2n＋1(n∈ )时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈N)，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样.‎ 答案 C ‎4.(教材习题改编)已知角θ的终边过点P(－12，5)，则cos θ＝________.‎ 解析 ∵角θ的终边过点P(－12，5)，∴x＝－12，y＝5，r＝13，∴cos θ＝＝－.‎ 答案 － ‎5.已知在半径为120 mm的圆上，有一段弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.‎ 解析 由题意知α＝＝＝1.2 rad.‎ 答案 1.2‎ 考点一 角的概念及其集合表示 ‎【例1】 (1)若角α是第二象限角，则是( )‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 ‎(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.‎ 解析 (1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈ ，‎ ‎∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈ .‎ 当k为偶数时，是第一象限角；‎ 当k为奇数时，是第三象限角.‎ ‎(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.‎ 答案 (1)C (2) 规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.‎ ‎2.确定kα，(k∈N+)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.‎ ‎【训练1】 (1)(一题多解)设集合M＝，‎ N＝，那么( )‎ A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅‎ ‎(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.‎ 解析 (1)法一 由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，‎ N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.‎ 法二 由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.‎ ‎(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，‎ 所以，所求角的集合为(k∈ ).‎ 答案 (1)B (2)(k∈ )‎ 考点二 弧度制及其应用(典例迁移)‎ ‎【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积.‎ 解 由已知得α＝，R＝10，‎ ‎∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2).‎ ‎【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.‎ 解 l＝α·R＝×10＝(cm)，‎ S弓形＝S扇形－S三角形 ‎＝·l·R－·R2·sin ‎＝··10－·102· ‎＝(cm2).‎ ‎【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？‎ 解 由已知得，l＋2R＝20.‎ 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，‎ 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.‎ 规律方法 应用弧度制解决问题的方法：‎ ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.‎ ‎【训练2】 (2017·宝鸡检测)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.‎ 解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，‎ ‎∴正方形边长为r，‎ ‎∴其圆心角的弧度数是＝.‎ 答案 考点三 三角函数的概念 ‎【例3】 (1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P，则 sin α·tan α＝( )‎ A.－ B.± C.－ D.± ‎(2)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎(3)满足cos α≤－的角α的集合为________.‎ 解析 (1)由|OP|2＝＋y2＝1，‎ 得y2＝，y＝±.‎ 当y＝时，sin α＝，tan α＝－，‎ 此时，sin α·tan α＝－.‎ 当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，‎ 此时，sin α·tan α＝－.‎ ‎(2)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y轴负半轴上，由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限，故选D.‎ ‎(3)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为 .‎ 答案 (1)C (2)D ‎(3) 规律方法 1.利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.‎ ‎2.根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.‎ ‎3.利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.‎ ‎【训练3】 (2018·江西百校联考)已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为( )‎ A.27 B. C.9 D. 解析 ∵tan ＝＝m－＝，∴m－1＝33＝27，‎ ‎∴m＝，故选B.‎ 答案 B 基础巩固题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、选择题 ‎1.给出下列四个命题：‎ ‎①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.‎ 其中正确的命题有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，‎ ‎②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.‎ 答案 C ‎2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )‎ A.2kπ＋45°(k∈ ) B.k·360°＋π(k∈ )‎ C.k·360°－315°(k∈ ) D.kπ＋(k∈ )‎ 解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈ )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.‎ 答案 C ‎3.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( )‎ A.一 B.二 C.三 D.四 解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角.‎ 答案 B ‎4.(2018·吉安调研)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于( )‎ A.－3 B.3 C. D.±3‎ 解析 sin θ＝＝，解得m＝3.‎ 答案 B ‎5.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )‎ A. B. C. D. 解析 点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.‎ 答案 A ‎6.设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( )‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，‎ ‎∵＝－cos ，∴cos ≤0，综上知为第二象限角.‎ 答案 B ‎7.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α的弧度数为( )‎ A. B. C. D.2‎ 解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，∴α＝.‎ 答案 C ‎8.(2018·西安模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.‎ 答案 B 二、填空题 ‎9.(教材习题改编)一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.‎ 解析 弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为.‎ 答案 ‎10.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________.‎ 解析 由已知P(cos α，sin α)，则Q(－cos α，－sin α).‎ 答案 (－cos α，－sin α)‎ ‎11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.‎ 解析 设扇形半径为r，弧长为l，‎ 则解得 答案 ‎12.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________.‎ 解析 ∵cos α≤0，sin α>0，‎ ‎∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.‎ ‎∴∴－2