高中数学第三章不等式3-4基本不等式第2课时基本不等式的应用达标检测含解析新人教A版必修5 5页

基本不等式的应用 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．下列命题正确的是(　　)‎ A．函数y＝x＋的最小值为2‎ B．若a，b∈R且ab>0，则＋≥2‎ C．函数＋的最小值为2‎ D．函数y＝2－3x－的最小值为2－4 解析：A错误，当x<0时或x≠1时不成立；B正确，因为ab>0，所以>0，>0，且＋≥2；C错误，若运用基本不等式，需()2＝1，x2＝－1无实数解；D错误，y＝2－(3x＋)≤2－4.‎ 答案：B ‎2．已知x≥，则f(x)＝有(　　)‎ A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1‎ 答案：D ‎3．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为(　　)‎ A．6 B． B．4 C．2 D．2 解析：2a＋2b≥2＝4.‎ 答案：B ‎4．(多选)已知函数f(x)＝(x∈R)的值域为[m，＋∞)，则实数a与实数m的取值可能为(　　)‎ A．a＝0，m＝0 B．a＝1，m＝1‎ C．a＝3，m＝3 D．a＝，m＝ - 5 -‎ 解析：f(x)＝＝＝x2＋1＋，‎ 设x2＋1＝t，t≥1，则y＝t＋.‎ 当a＝0时，y＝t－在[1，＋∞)上单调递增，t＝1时，y＝0，故y∈[0，＋∞)，A项正确；‎ 当a＝1时，y＝t在[1，＋∞)上单调递增，t＝1时，y＝1，故y∈[1，＋∞)，B项正确；‎ 当a＝3时，y＝t＋在上单调递减，在上单调递增，故ymin＝2，C项错误；‎ 当a＝时，y＝t＋在[1，＋∞]上单调递增，t＝1时，y＝，故y∈，D项正确．‎ 答案：ABD ‎5．已知不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．－6‎ 解析：(x＋y)＝4＋a＋，因为x>0，y>0，a>0，所以＋≥2＝4，当且仅当＝时取等号．由已知可得4＋a＋4≥16，即a＋4－12≥0，解得≥2或≤－6(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．‎ 解析：因为x>0，a>0，‎ 所以f(x)＝4x＋≥2＝4，‎ 当且仅当4x＝时，等号成立，‎ 此时a＝4x2，因为x＝3时函数取得最小值，‎ 所以a＝4×9＝36.‎ 答案：36‎ - 5 -‎ ‎7．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．‎ 解析：因为a，b为正数，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，‎ 所以(－3)(＋1)≥0，‎ 所以≥3，所以ab≥9.‎ 答案：[9，＋∞)‎ ‎8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．‎ 解析：x＋≥a恒成立⇔≥a，‎ 因为x＞1，即x－1＞0，‎ 所以x＋＝x－1＋＋1≥2 ＋1＝3，‎ 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．‎ 所以a≤3，即a的最大值为3.‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎9．已知x，y>0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范围．‎ 解：因为x，y是正实数，故30＝x＋2y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝2y，‎ 即x＝6，y＝3时，等号成立．‎ 所以xy＋2－30≤0.‎ 令＝t，则t>0，得t2＋2t－30≤0，‎ 解得－5≤t≤3.‎ 又t>0，知0<≤3，即xy的范围是(0，18]．‎ ‎10．已知x，y是正实数，且2x＋5y＝20.‎ ‎(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；‎ ‎(2)求＋的最小值．‎ 解：(1)因为x>0，y>0，‎ 所以由基本不等式，得≥＝.‎ 因为2x＋5y＝20，‎ 所以≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.‎ - 5 -‎ 所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.‎ ‎(2)因为x>0，y>0，‎ 所以＋＝·＝≥＝，‎ 当且仅当＝时，等号成立．‎ 由解得 所以＋的最小值为.‎ B级　能力提升 ‎1．某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为(　　)‎ A.40米，10米 B．20米，20米 C．30米，米 D．50米，8米 解析：设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝·200＋2×250·＋80×400＝400·＋32 000≥400×2＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立，此时污水池的宽为米．‎ 答案：C ‎2．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，则＋的最小值为________．‎ 解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，‎ 所以2m＋n＝1，m，n＞0，所以＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，‎ - 5 -‎ 当且仅当即时等号成立．‎ 答案：8‎ ‎3.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽约为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．‎ ‎(1)试用x表示S.‎ ‎(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．‎ 解：(1)由图形知，3a＋6＝x，‎ 所以a＝.‎ 则总面积S＝·a＋2a·＝a＝·＝1 832－，‎ 即S＝1 832－(x＞0)．‎ ‎(2)由S＝1 832－，‎ 得S≤1 832－2＝1 832－2×240＝1 352.‎ 当且仅当＝，‎ 即x＝45时等号成立．‎ 即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米．‎ - 5 -‎