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- 2021-06-16 发布
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2021 届贵州省遵义市高三上学期第一次联考理科数学试题
一、单选题
1.已知复平面内点 M,N 分别对应复数 1 2 iz 和 2 1 iz ,则向量 MN
的模长为( )
A.1 B. 3 C. 5 D.3
2.袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球,每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”
这五个数,现从中随机选取三个小球,则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是
( )
A. 3
10 B. 1
5 C. 1
10 D. 1
20
3.已知
31
2a
, 20.3b , 1
2
log 2c ,则 a,b,c 的大小关系( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c
4.如下折线图统计了 2020 年 2 月 27 日至 2020 年 3 月 11 日共 14 天全国(不含湖北)新冠肺炎新
增确诊人数和新增疑似人数,2020 年 2 月 27 日至 2020 年 3 月 11 日记为 t t N 的取值,对应
如下表,
日期 2.27 2.28 2.29 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
增确诊人数记为 f t ,新增疑似人数记为 g t ,则下列结论正确的是( )
A. f t 与 g t 值域相同 B. 9 11f g
C.存在 0 0 0,t f t g t D.任意 ,t f t g t
5.执行如图所示的程序框图,若输入 4N ,则输出的数等于( )
A. 5
4 B. 4
5 C. 5
6 D. 6
5
6.在 ABC 中,G 是 ABC 的重心,且 3 03aGA bGB cGC ,其中 a ,b ,c 分别是角 A ,
B ,C 的对边,则 A ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
7.已知实数 0p ,直线 4 3 2 0x y p 与拋物线 2 2y px 和圆
2 2
2
2 4
p px y
从上到下
的交点依次为 A,B,C,D,则 AC
BD
的值为( )
A. 1
8 B. 5
6 C. 3
8 D. 7
16
8.已知偶函数 f x 的图象如图所示(网格中小正方形边长为1),则 g x f f x 的图象可
能是( )
A. B.
C. D.
9.函数 ln | | 1y x x 的图象大致是( )
A. B. C.
D.
10.已知 ABC 中,内角 A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c,且 7
2c , 11
2
a b = ,
3 tan tan tan tan 3A B A B ,则 ABC 的面积为( )
A. 3
2 B. 3 3
2
C.3 D.3 3
11.已知集合 | lg 3A x y x , | 2B x x ,则下列结论正确的是( )
A. 3 A B.3 B C. A B B D. A B B
12.已知四面体 ABCD 中,棱 AD , BC 所在直线所成角为 60,且 1AD , 2BC ,
60ACD ,面 BAD 和面 ACD 所成的锐二面角为 ,面 BAC 和面 ACD 所成的锐二面角为 ,
当四面体 ABCD 的体积取得最大值时( ).
A. B. C. D.不能确定
二、填空题
13.若数列 na 满足 2 1 3 2 1
1 1 1
2 2 2n na a a a a a ,则称数列 na 为“差半递增”数
列.若数列 na 为“差半递增”数列,且其通项 na 与前 n 项和 nS 满足 *2 2 1n nS a t n N ,则
实数 t 的取值范围是______.
14.三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,AB BC AC ,侧棱 1AA ⊥底面 ABC ,且三棱柱的侧面积为 6 3 .
若该三棱柱的顶点都在球O 的球面上,则球O 体积的最小值为______.
15.已知实数 x , y 满足不等式组
2 0
3 0
2 6
x y
x y
x y
,则 2z x y 的最小值为__________.
16.若二项式 1(2 ) nx
x
展开式中的第 5 项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为
__________.
三、解答题
17.已知:在 ABC 中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 2cos cos 3a B b A c
.
(1)求角 A ;
(2)设 3a ,求 ABC 周长的取值范围.
18.已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的短轴长为 2 ,且椭圆的一个焦点在圆
2 22 3 18x y 上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的焦距小于 4 ,过椭圆的左焦点 F 的直线l 与椭圆相交于 ,A B 两点,若 3AF FB ,
求 .AB
19.如图,正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, ,E F 分别为 AB 与 1BB 的中点.
(Ⅰ)求证: EF 平面 1 1A D B ;
(Ⅱ)求二面角 F DE C 的正切值.
20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为: 1 2cos
2sin
x
y
( 为参数),直线
: 0l y kx k ,以坐标原点O 为极点, x 轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 的极坐标方程;
(2)若直线l 与曲线C 交于 A , B 两点,求 OA OB 的取值范围.
21.随着运动 app 和手环的普及和应用,在朋友圈、运动圈中出现了每天 1 万步的健身打卡现象,
“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友
(共 500 人)的走路步数,并整理成下表:
分组(单
位:千步)
[0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32]
频数 60 240 100 60 20 18 0 2
(1)请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点
值作代表);
(2)若用 A 表示事件“走路步数低于平均步数”,试估计事件 A 发生的概率;
(3)若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人”,小王朋友圈中岁数在 40 岁以上的中老年人
共有 300 人,其中健步达人恰有 150 人,请填写下面 2 2 列联表.根据列联表判断,有多大把握认
为,健步达人与年龄有关?
健步达人 非健步达人 合计
40 岁以上
不超过 40 岁
合计
附:
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
.
2P K k
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
22.已知函数 ( )f x ax lnx , (0x , ]e , ( ) lnxg x x
,其中 e 是自然对数的底数, a R .
(1)当 1a 时,求 ( )f x 的单调区间;
(2)设函数 ( ) lnF x x x ax a .
①求函数 ( )F x 在区间[1, ]e 上的最大值;
②求证: 1a 是函数 ( )F x 有两个零点的充分条件.
23.完成下列证明:
(Ⅰ)求证: 2x y 52 4x y x
;
(Ⅱ)若 1
2m ,求证: 2
1 1 3
4 2 4 1 2m m m
.
【答案与解析】
1.C
先由复数的代数形式,求得其对应的点的坐标,再由向量的模的公式,求得模长
由 M,N 分别对应复数 1 2 iz 和 2 1 iz ,得 (2,1), (1, 1)M N ,则 ( 1, 2)MN ,
则 2 2( 1) ( 2) 5MN
.
故选:C.
本题考查了根据复数的代数形式,求其对应的点的坐标,还考查了向量的模的公式,属于容易题.
2.A
找出五个数中成等差数列的数组数,求出基本事件个数,求比值即可.
“1”“2”“3”“4”“6”这五个数中成等差数列的数有“1,2,3”,“2,3,4”,“2,4,6”三组,从五个数中随机
选取三个小球有 3
5 =10ð ,故所求概率为 3
10P .
本题考查主要考查古典概型的应用.
3.D
利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断.
因为
31 1
2 8a
, 2 00.3 0.3 1b , 1
2
log 2 1c ,
所以 b>a>c
故选:D
本题主要考查指数、对数和幂的大小比较,属于基础题.
4.D
根据折线图及函数的概念,逐项分析即可求解.
由图象可知,
f t 与 g t 值域显然不相同,故 A 错误; 9 =30 11f g ,故 B 错误;
( )f t 的最大值小于 ( )g t 的最小值,所以不存在 0t ,使得 0 0f t g t 且任意 ,t f t g t 成立,
故 C 错误,D 正确.
故选:D
本题主要考查了函数图象的识别,利用函数图象处理实际问题,属于中档题.
5.B
模拟执行循环体的过程,即可得到结果.
根据程序框图,模拟执行如下:
4, 1, 0N k S
1
2S ,满足 4k , 2k
2
3S ,满足 4k , 3k
3
4S ,满足 4k , 4k
4
5S ,不满足 4k ,输出 4
5S .
故选:B.
本题考查程序框图中循环体的执行,属基础题.
6.A
根据重心的向量关系 0GA GB GC ,结合题意有 3
3a b c ,根据余弦定理即可求解.
在 ABC 中,G 是 ABC 的重心,根据三角形重心性质有 0GA GB GC ,
由题: 3 03aGA bGB cGC ,所以 3
3a b c ,
由余弦定理得
2 2 2 2
2
3cos 2 232 3
b c a cA bc c
,
在 ABC 中, 30A
故选:A
此题考查三角形重心的向量表示,根据三角形边的关系利用余弦定理求三角形的内角.
7.C
设 1 1,A x y , 2 2,D x y ,抛物线的焦点为 F ,由题得| | | | 2
pBF CF .由抛物线的定义得:
1 1| | | | | | 2 2
p pAC AF CF x x p ,同理得 2| |BD x p .联立直线 4 3 2 0x y p 与抛物线
2 2y px 且消去 x 解出 1 2
py , 2 2y p ,所以 1 8
px , 2 2x p ,进而得到答案.
解:设 1 1,A x y , 2 2,D x y ,易知 1 2x x ,抛物线的焦点为 F,由题意得
2
pBF CF ,
由抛物线的定义得: 1 12 2
p pAC AF CF x x p ,同理得 2BD x p .
联立直线 4 3 2 0x y p 与抛物线 2 2y px 消去 x 得: 2 22 3 2 0y py p ,
解得: 1 2
py , 2 2y p ,所以 1 8
px , 2 2x p ,
所以
9
38
3 8
pAC
BD p
.
故选:C.
解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉,即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相
等,属于中档题.
8.D
设函数 y f x 的两个零点分别为 0x 、 0 0 1x x ,利用复合函数法以及奇偶性求出函数
y g x 的单调区间,并结合最值可判断出函数 y g x 的图象.
设函数 y f x 的两个零点分别为 0x 、 0 0 1x x ,
①当 0x x 时, 0f x ,内层函数 u f x 单调递增,外层函数 y f u 单调递增,此时,
函数 y g x 单调递增;
②当 0 0x x 时, 0f x ,内层函数 u f x 单调递增,外层函数 y f u 单调递减,此
时,函数 y g x 单调递减.
又 g x f f x f f x g x ,函数 y g x 是偶函数,所以函数 y g x 的单
调增区间为 0, x 和 00, x ,单调递减区间为 0,0x 和 0,x .
0 0max 0 1g x g x f f x f (或 0maxg x g x ),故选:D.
本题考查函数图象的识别,一般从函数的以下几个方面来进行排除:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)
单调性;(4)零点;(5)特殊函数值符号.
9.A
根据奇偶性的定义,可判断函数 f x 是奇函数;然后再分段判断当 1x , 时, ' 0f x ,
函数 f x 单调递增;当 01x , 时, ' 0f x ,函数 f x 单调递减;结合选项,即可求出结
果.
设 ln | | 1 0f x x x x , ,则 ln | | 1f x x x f x ,所以 f x 是奇函数;
当 0x 时, ln 1f x x x ,所以 n' lf x x ,所以当 1x , 时, ' 0f x ,函数 f x
单调递增;当 01x , 时, ' 0f x ,函数 f x 单调递减;结合选项可知,函数 ln | | 1y x x
的图象大致是 A.
故选:A.
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用,考查了数形结合能力,属于基础题.
10.B
利用和差公式得到 2
3A B ,利用余弦定理得到 6ab ,再计算面积得到答案.
3 tan tan tan tan 3A B A B ,故 tan tantan 31 tan tan
A BA B A B
,
故 2
3A B ,故
3C .
根据余弦定理: 2 2 2 2 cosc a b ab C ,即 249 34 a b ab ,故 6ab .
1 sin 3 3
22S ab C .
故选: B .
本题考查了和差公式,余弦定理,面积公式,意在考查学生的综合应用能力.
11.C
试题分析: | lg 3 | 3A x y x x x , | 2B x x ,故 A 选项错误,B 选项错误,
B A ,所以 A B B ,故 C 选项正确, A B A ,D 选项错误,故选 C.
考点:1.函数的定义域;2.集合间的包含关系
12.A
利用余弦定理及基本不等式,求出 1AC CD ,进而得到当 ACD 为等边三角形时, ACD 的
面积取到最大值,再根据面面垂直的性质定理及二面角的定义,即可得到结果.
2 2 2
cos 2
AC CD ADACD AC CD
,即
2 2 21cos60 2
AC CD
AC CD
,
整理得 2 2 2 21 2 1AC CD AC CD AC CD ,
解得 1AC CD ,当且仅当 1AC CD 时,等号成立,
所以, 1 1 3 3sin 60 1 12 2 2 4ACDS AC CD △ ,
所以,当 ACD 为等边三角形时, ACD 的面积取到最大值.
过C 作CE ∥ AD ,且CE AD ,连接 ED , BE ,
则四边形 ACED 为菱形,
因为 AD , BC 所在直线所成角为 60,所以 60BCE ,
当面 BCE 面 ACD 时,四面体 ABCD 的高取得最大值,
2 2 2
cos 2
BC CE BEBCE BC CE
,即
2 2 22 1cos60 2 2 1
BE
,解得 3BE ,
因为 2 2 23 1 2 ,即 2 2 2BE CE BC ,所以 90BEC ,即 BE EC ,
又因为面 BCE 面 ACD EC ,所以 BE面 ACD ,
过 E 作 EF AD 交 AD 于点 F ,过 E 作 EP AC 交 AC 于点 P ,
连接 BF , BP ,则 BF AD , BP AC ,
所以 BFE 为面 BAD 和面 ACD 所成的二面角,
BPE 为面 BAC 和面 ACD 所成的锐二面角,
即 =BFE Ð , =BPE ,
因为 90FED CED , 90PEC CED ,所以 FED PEC ,
又因为 ED EC ,所以 tan tanED FED EC PEC ,即 EF EP ,
所以 BE BE
EF PE
,即 tan tan ,所以 .
故选:A.
本题考查了余弦定理的应用、异面直线所成的角、面面垂直的性质定理及二面角的定义,其中涉及
到基本不等式的应用,考查了学生的逻辑推理能力,综合性较强,难度较大.
13. 1, 2
根据 2 2 1n nS a t ,利用递推公式求得数列 na 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式
即可求得实数 t 的取值范围.
因为 *2 2 1n nS a t n N
所以当 2n 时, 1 12 2 1n nS a t
两式相减可得 12 2n n na a a ,即
1
2n
n
a
a
,所以数列 na 是以公比 2q = 的等比数列
当 1n 时, 1 1 2a t
所以 11 2 2n
na t
则 1 2 2
1
1 1 31 2 2 1 2 2 3 22 2 2
n n n
n na a t t t
1 1
1
1 1 31 2 2 1 2 2 3 22 2 2
n n n
n na a t t t
由“差半递增”数列的定义可知
2 13 33 2 3 22 2
n nt t
化简可得 3 33 2 32 2t t
解不等式可得 1
2t <
即实数 t 的取值范围为 1, 2
故答案为: 1, 2
本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.
14. 8 2
3
根据三棱柱侧面积可得到三棱柱底面三角形边长和三棱柱高的关系,根据外接球的性质和勾股定理
可表示出球的半径,利用基本不等式求得半径的最小值,根据球的体积公式求得结果.
设 2AB BC AC a ,三棱柱高为 h
1AA 底面 ABC 三棱柱侧面积 6 6 3S ah 3h a
取 BC 中点 D ,作 OG 平面 ABC 于点G ,则G 为 ABC 的中心且 2
3AG AD
2 22 2 343 3AG a a a ,又 3
2 2
hOG a
球O 的半径 2 2 2 2
2 2
4 3 4 32 23 4 3 4R OA AG OG a aa a
(当且仅当
2
2
4 3
3 4
a
a
,即 3
2a 时取等号)
球O 体积的最小值 3
min
4 8 223 3V
故答案为: 8 2
3
本题考查棱柱外接球体积最值的求解问题,关键是能够利用基本不等式求得外接球半径的最小值,
进而代入球的体积公式求得结果.
15.-6
由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线 1
2 2
zy x 经过点 A(0,3)时,直线
的纵截距
2
z 最大,z 最小.所以 min 0 2 3 6.z 故填-6.
16.64
4 4 4 4
5
1(2 ) ( ) 2n
n nT C x C
x
4 6n nx ,令 6 0n ,解得 n .再利用展开式中各项的二项式系数之和
为 2n ,即可得出.
4 4 4 4
5
1(2 ) ( ) 2n
n nT C x C
x
4 6n nx ,
令 6 0n ,解得 6n .
展开式中各项的二项式系数之和为 62 64 .
故答案为:64.
本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
17.(1)
3A ;(2) (6,9].
(1)根据已知条件结合正弦定理,将条件等式化边为角,再由三角恒等变换化简,即可求出角 A ;
(2)要求 ABC 周长范围,即求b c 范围,由 a 边和 A 角,结合正弦定理,将 ,b c 边化成角,
再把C 用 B 表示,由三角恒等变换把b c 化为关于 B 的正弦型函数,根据正弦函数的性质,即可
求出结论.
(1)由正弦定理得 2sin cos sin cos sin3A B B A C
,
即 2sin cos sin cos sin( )3A B B A A B
sin cos sin cosA B B A ,
0 ,sin 0B B ,∴ 2cos cos3 A A
,
1 3 3 3cos sin cos , sin cos2 2 2 2A A A A A ,
∴ tan 3A ,∵ (0, )A ,∴
3A .
(2)∵ 3a ,
3A ,
sin sin sin
a b c
A B C
,
∴ 2 3sinb B , 2 3sinc C ,
∵ 2
3B C A ,
∴ 3 2 3(sin sin )a b c B C
3 3os 3 3sinB B
3 6sin 6B
.
又∵ 20, 3B
,∴ 5,6 6 6B
,
∴ 1sin ,16 2B
,∴ (6,9]a b c+ + Î ,
ABC 周长取值范围是 (6,9].
本题考查正弦定理解三角形,三角恒等变换以及三角函数性质的应用是解题的关键,考查计算求解
能力,属于中档题.
18.(1)
2
2 12
x y 或
2
2 126
x y .(2) 4 2
3
(1)由题意可知:b=1,由焦点在圆上,可求得 c,进而求得 a,即可求得椭圆方程;
(2 设出直线 l 的方程,代入椭圆,得到 A、B 的纵坐标的关系,利用向量转化的纵坐标的关系,
求得直线方程,利用弦长公式可得所求.
(1)因为椭圆的短轴长为 2 ,所以 2 2b ,则 1b .
圆 2 22 3 18x y 与 x 轴的交点为 1,0 , 5,0 ,
故 1c 或5,
从而 2 2 2 2a b c 或 26 ,
故椭圆的方程为
2
2 12
x y 或
2
2 126
x y .
(2)设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,由 3AF FB ,得 1 23y y .
因为椭圆的焦距小于 4 ,所以椭圆的方程为
2
2 12
x y ,
当直线l 的斜率为 0 时,AF= 2 1 ,BF= 2 1 ,不满足题意,
所以将l 的方程设为 1x my ,代入椭圆方程,消去 x ,得 2 22 2 1 0m y my ,
所以 1 2 2
2
2
my y m
, 1 2 2
1
2y y m
,
将 1 23y y 代入,得 2 1m .
故 22
1 2 1 21 4AB m y y y y 4 1 4 22 49 3 3
.
本题考查椭圆标准方程的求法,考查椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,
弦长公式,考查计算能力,属于中档题.
19.(I)证明见解析;(II) 5
2
.
(I)由线面垂直的性质可证明 1 1A D EF ,由 1 1 1, / /A B AB EF AB ,可得 1A B EF ,从可得
结果;(Ⅱ)延长 DE、CB 交于 N,过 B 作 BM⊥EN 交于 M,连 FM,由 FB⊥平面 ABCD,可得
FM⊥DN,则∠FMB 为二面角 F—DE—C 的平面角,利用直角三角形的性质可得结果.
(I) 1 1A D 平面 1 1A B BA EF 平面 1 1AA BB ,
1 1A D EF
1 1 1, / /A B AB EF AB ,
1A B EF
EF 平面 1 1A D B ;
(Ⅱ)延长 DE、CB 交于 N,∵E 为 AB 中点,∴△DAE≌△NBE
过 B 作 BM⊥EN 交于 M,连 FM,∵FB⊥平面 ABCD
∴FM⊥DN,∴∠FMB 为二面角 F—DE—C 的平面角
设 AB=a,则
5
BE BN aBM EN
又
2
aBF
52tan FMB 2
5
a
FB
aBM
,即二面角 F—DE—C 大小的正切值为 5
2
.
本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理及二面角的求法,属于难题.解答空间几何体中
垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化,转化时要
正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理;证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判
定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质;(4)利用面面垂直的性质,当两个
平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
20.(1) 2 2cos 3 0 ; (2) 2 3,4
(1)将曲线C 的参数方程消去参数,可得曲线C 的普通方程,再将 cosx , siny 代
入普通方程,即可得解;
(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程,借助韦达定理,可求得
2cos2 14OA OB ,再利用三角函数的性质即可求出 OA OB 的取值范围.
(1)由曲线C 的参数方程 1 2cos
2sin
x
y
消去参数 ,
得曲线C 的普通方程为: 2 21 4x y ,即 2 2 2 3 0x y x ,
将 cosx , siny 代入 2 2 2 3 0x y x ,
得曲线C 的极坐标方程为: 2 2cos 3 0 .
(2)由直线 0y kx k 可得其极坐标方程: = 0 2
, , ,
将 = 代入曲线C 的极坐标方程得: 2 2cos 3 0 ,
1 2 2cos , 1 2 3 , 1 2, 异号,
故 2
1 2 1 2= + = 2cos 4 3OA OB
24cos 12 2cos2 14 ,
1 cos2 1 , 2 3,4OA OB .
本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化,极坐标方程的几何意义,三角函数的取值
范围等知识.参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化;普通方程化为
极坐标方程,将 cosx , siny 代入普通方程,即可化为极坐标方程;极坐标方程转化
为普通方程,要巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有 cos ,
sin , 2 的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.
21.(1)8.432 ;(2)0.6216;(3)见解析.
(1)由数据和平均值的计算公式可得答案,(2)由频率估计概率可得答案,(3)根据题目所给的
数据填写 2×2 列联表即可,计算 K2,对照题目中的表格,得出统计结论.
(1)由题意可得这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为:
1 2 60 6 240 10 100 14 60 18 20 22 18 30 2 8.432500x ,
所以这一天小王 500 名好友走路的平均步数约为 8.432 步.
(2)由频率约等概率可得: 1 0.43260 240 100 0.6216500 4p A
,
所以事件 A 的概率约为 0.6216.
(3)根据题目所给的数据填写 2×2 列联表如下:
健步达人 非健步达人 合计
40 岁以上 150 150 300
不超过 40 50 150 200
岁
合计 200 300 500
2 2
2 500 22500 7500 31.25 10.828200 300 300 200
n ad bcK a b c d a c b d
> ,
∴有 99.9%以上的把握认为,健步达人与年龄有关.
本题考查独立性检验,平均值的计算,统计概率的应用问题,也考查了计算能力的应用问题,是中
档题目.
22.(1)单调增区间为 (1, )e ,单调减区间为 (0,1) ;
(2)①当 0 1
ea e
时, ( )F x 最大值为 ( )F e e a ae ,
当
1
ea e
时, ( )F x 最大值为 (1) 0F ;②证明见解析.
(1)求出 1 1( ) 1 xf x x x
,判断函数的单调性推出结果即可.
(2) ( )F x xlnx ax a ,求出① ( ) 1F x lnx a ,令 ( ) 0F x ,求解函数的单调区间.
(ⅰ)当 1 1ae
,求解函数的最值;(ⅱ)当 1ae e
,求解函数的最值;
(ⅲ)当 11 ae e ,即1 2a 时, ( )F x 的最大值为 ( )F e 和 (1)F 中较大者:
令 ( ) (1) 0F e F e a ae ,求出 ( )F x 最大值;
②“函数 ( )F x 有两个零点”等价于“方程 0xlnx ax a 两个根”,由于 0x ,也等价于“函
数 ( ) aG x lnx a x
有两个零点”利用导函数求解函数的最值,推出结果.
(1) ( )f x x lnx , 1 1( ) 1 xf x x x
,
当 0 1x 时, ( ) 0f x ,此时 ( )f x 单调递减;
当1 x e 时, ( ) 0f x ,此时 ( )f x 单调递增.
( )f x 的单调增区间为(1, )e ,单调减区间为 (0,1) .
(2) ( )F x xlnx ax a ,
① ( ) 1F x lnx a ,令 ( ) 0F x ,得 1ax e ,
所以在区间 1(0, )ae 上, ( ) 0F x , ( )F x 单调递减,
在区间 1( , )ae 上, ( ) 0F x , ( )F x 单调递增.
(ⅰ)当 1 1ae
,即 0 1a 时,在区间[1, ]e 上, ( )F x 单调递增,
所以 ( )F x 最大值为 ( )F e e a ae .
(ⅱ)当 1ae e
,即 2a
时,在区间[1, ]e 上, ( )F x 单调递减,
所以 ( )F x 最大值为 (1) 0F .
(ⅲ)当 11 ae e ,即1 2a 时, ( )F x 的最大值为
( )F e 和 (1)F 中较大者:
令 ( ) (1) 0F e F e a ae ,解得
1
ea e
,
所以当1 1
ea e
时, ( )F x 最大值为 ( )F e e a ae ,
当 21
e ae
时, ( )F x 最大值为 (1) 0F ,
综上所述,当 0 1
ea e
时, ( )F x 最大值为 ( )F e e a ae ,
当
1
ea e
时, ( )F x 最大值为 (1) 0F .
②“函数 ( )F x 有两个零点”等价于“方程 0xlnx ax a 两个根”,
由于 0x ,也等价于“函数 ( ) aG x lnx a x
有两个零点”.
则 2( ) x aG x x
,令 ( ) 0G x 得 x a ,令 ( ) 0G x 得 x a ,
即函数 ( )G x 的单调递增区间为 ( , )a ,单调递减区间为 (0, )a ,
因此, ( )minG x ( )G a 1 0lna a ,又 (1) 0G ,
当 1a 时,由于 ( ) 0, ( ) 0a
a
aG a G e e
,故函数 ( )G x 有两个零点,
所以 1a 是函数 ( )F x 有两个零点的充分条件.
本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值的求法,构造法以及转化思想的应用.
23.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.
(Ⅰ)运用分析法,两边平方,化简配方即可得证;(Ⅱ)运用变形和基本不等式,即可得证.
(I)要证: 2x y ≥ 52 4x y x
只需证: 2x y ≥ 8 5
2
x y x ,
即证: 24 2 8 5x y x y x ,
即证: 2 2 24 16 16 8 5x xy y xy x +
,
即证: 2 29 24 16 0x xy y +
,即证: 23 4 0x y
,
这显然成立,故 52 2 4x y x y x
.
(II)依题意, 2
1 1 1
4 2 4 1 4 2m mm m m
+ + = + ++ +
1 1 1 1
2 2 1 2 1 4 2mm m m
= ++
1 1 14 24 4 2 2m m
= + +
因为 1
2m> ,故 4 2 0m > ,
故 1 1 1 1 1 1 34 2 2 4 24 4 2 2 4 4 2 2 2m mm m
+ + + =
当且仅当 1 14 24 4 2m m
= ,即 24 2 4m = ,
即 1m= 时等号成立.
本题主要考查不等式的证明的方法——分析法和综合法,意在考查学生运用分析法和使用基本不等
式时涉及到的变形能力,化简能力以及推理能力.
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