2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ创新引领微课探秘基本初等函数的命题热点动向 15页

www.ks5u.com 探秘基本初等函数的命题热点动向 ‎ 微点聚焦突破 以二次函数、幂函数、指数与对数函数为载体考查函数图象与性质，灵活利用图象、性质解决与方程(不等式)的交汇融合问题，相关参数求解与讨论一直是命题的热点，常以客观题的形式呈现，考查学生数学运算、直观想象、逻辑推理数学核心素养.‎ 类型一　基本初等函数图象的辨析 角度1　特殊值与性质检验法 ‎【例1－1】 (1)函数f(x)＝x2－的大致图象是(　　)‎ ‎(2)(2019·福州质检)函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的大致图象为(　　)‎ 解析　(1)由f(0)＝－1，知图象过点(0，－1)，排除D项.‎ 又f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，‎ ‎∴f(x)的图象过点(－2，0)，(－4，0)，排除A，C，只有B适合.‎ ‎(2)易知f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)＝f(x)，‎ ‎∴y＝f(x)的图象关于y轴对称，排除C项.‎ 又当x→e时，f(x)→－∞，排除选项B，D.‎ 答案　(1)B　(2)A 思维升华　1.求解该类问题抓住两点：(1)根据函数的奇偶性、周期性、单调性排除不符合的选项.(2)利用特殊值(点)或极限的思想，排除不可能选项.‎ ‎2.注意两点：(1)特殊点或特殊值要具备特殊性和代表性，只能否定错误的结论.(2)紧扣图象特征，揭示函数的性质.‎ ‎【训练1】 (2020·东北四校联考)函数f(x)＝的图象大致是(　　)‎ 解析　因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除A.易知函数f(x)的定义域为∪∪，f(x)＝＝，当x＝时，f(x)>0，可排除C.‎ 当x→＋∞时，f(x)→－∞，可排除D.‎ 答案　B 角度2　函数的图象变换法 ‎【例1－2】 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＝－f(x－1)，则函数f(x)在(－1，1]上的图象可能是(　　)‎ 解析　由f(x)＝－f(x－1)知，把f(x)在(－1，0)上的图象向右平移一个单位长度，再把所得的图象关于x轴作对称变换，可以得到y＝f(x)在(0，1)上的图象.结合图象特征，A，B，D不满足，只有C符合.‎ 答案　C 思维升华　1.通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；二是了解一些常见的变换形式，如平移变换、伸缩变换、翻折变换.‎ ‎2.函数图象进行左右平移变换，一定是仅仅相对于“自变量x”而言的，一定把x的系数变为1.‎ ‎【训练2】 (2020·武汉部分重点中学联考)已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象，如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是(　　)‎ 解析　由y＝sin ax＋b的图象知，周期T>2π，02π，∴00，则下列关系式不可能成立的是(　　)‎ A.<< B.<< C.<< D.＝＝ 解析　令log2x＝log3y＝log5z＝k>0，‎ 则x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1，‎ 故＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1，‎ 若01时，则f(x)＝xk－1在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴<<，选项A成立.‎ 综上，选项A，B，D都有可能成立，只有C不成立.‎ 答案　C 思维升华　1.本题考查对数定义，幂函数、指数函数的单调性及应用，着重考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养.‎ ‎2.运用基本初等函数性质求解问题，要注意不同参数取值对性质的影响，必要时要进行分类讨论.‎ ‎【训练3】 若函数f(x)＝x2，设a＝log54，b＝log，c＝2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　)‎ A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a)‎ C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(a)>f(b)‎ 解析　由b＝log＝log53，且y＝log5x是增函数，‎ ‎∴1>a>b>0，‎ 又c＝2>1，且f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f(c)>f(a)>f(b).‎ 答案　D 角度2　利用性质求函数值或范围 ‎【例2－2】 (1)(2020·安徽名校联考)已知函数y＝g(x)满足g(x＋2)＝－g(x)，若y＝f(x ‎)在(－2，0)∪(0，2)上为偶函数，且其解析式为f(x)＝则g(－2 021)的值为(　　)‎ A.－1 B.0 C. D.－ ‎(2)(2020·石家庄调研)已知函数f(x)＝2x＋log3，若不等式f>3成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(1，＋∞) B.(－∞，1)‎ C. D. 解析　(1)由g(x＋2)＝－g(x)，得g(x＋4)＝g(x)，‎ ‎∴4是函数g(x)的周期.‎ 则g(－2 021)＝g(－505×4－1)＝g(－1).‎ 又f(x)在(－2，0)∪(0，2)上是偶函数，‎ ‎∴g(－1)＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0.‎ ‎(2)由>0，得f(x)的定义域为(－2，2).‎ ‎∵y＝log3＝log3在(－2，2)上单调递增，‎ ‎∴f(x)在(－2，2)上是增函数.‎ 又f(1)＝3，f>3⇔f>f(1).‎ ‎∴解得f(x)的x的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B.(－∞，－)∪(，＋∞)‎ C.(－∞，－)∪(2，＋∞)‎ D.(－∞，－1)∪(，＋∞)‎ 解析　当x>0时，f(x)＝2x－2－x是增函数；‎ 当x≤0时，f(x)＝0.‎ 由f(x2－2)>f(x)，∴或 解得x>2或x<－.‎ 故不等式的解集为(－∞，－)∪(2，＋∞).‎ 答案　C 类型三　运用基本初等函数图象性质解零点问题 ‎【例3】 (2019·湖北重点中学联考)已知函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，2)∪(2，＋∞) B. C. D.(1，e)‎ 解析　因为f′(x)＝＝，‎ ‎∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.‎ 因此f(x)max＝f(1)＝.‎ 又当x→－∞时，f(x)→－∞；‎ 当x→＋∞时，f(x)→0且f(x)>0，又f(0)＝0，‎ 从而作出t＝f(x)的简图，如图所示.‎ 令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1.‎ 由g(t)＝0，得t＝－1或t＝1－m.‎ 当t＝－1时，f(x)＝＝－1，方程有一解.‎ 要使原方程有3个不同的实数解，必须t＝1－m与t＝f(x)的图象有两个交点.‎ 故0<1－m<，所以1－b，则(　　)‎ A.ln(a－b)>0 B.3a<3b C.a3－b3>0 D.|a|>|b|‎ 解析　法一　不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确.‎ 法二　由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，‎ 则ln(a－b)>0不一定成立，故A不一定成立.‎ 因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立.‎ 因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立.‎ 因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，D项不正确.‎ 答案　C ‎4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x2－2x，则当x∈[－3，3]时，方程2f(x)＝1的解的个数为(　　)‎ A.3 B.4 C.6 D.8‎ 解析　f(x)在R上为奇函数，知f(x)的图象关于原点对称.‎ 又f(1－x)＝f(1＋x)，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.‎ 由题设，作出函数y＝f(x)的大致图象(如图).‎ ‎∴y＝f(x)，x∈[－3，3]的图象与直线y＝有三个交点.‎ 故方程2f(x)＝1有3个解.‎ 答案　A ‎5.已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln －1，若f(a)＝1，则f(－a)＝(　　)‎ A.1 B.－1 C.3 D.－3‎ 解析　设g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln .‎ 易知g(－x)＝(e－x＋ex)ln ＝－g(x).‎ 由f(a)＝1，得g(a)＝2.‎ ‎∴g(－a)＝－2，从而f(－a)＝g(－a)－1＝－3.‎ 答案　D ‎6.函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　　)‎ 解析　由函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，知2a＝4，‎ 所以a＝2，f(x)＝x2，则g(x)＝|log2(x＋1)|，‎ 将函数h(x)＝log2x的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x轴下方的图象折上去，即可知选C.‎ 答案　C ‎7.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)‎ A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0‎ C.2－a<2c D.2a＋2c<2‎ 解析　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，‎ ‎∵af(c)>f(b)，‎ 结合图象知，‎ ‎00，‎ ‎∴0<2a<1.‎ ‎∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，‎ ‎∴f(c)<1，∴0f(c)，‎ ‎∴1－2a>2c－1，‎ ‎∴2a＋2c<2，故选D.‎ 答案　D ‎8.若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为(　　)‎ A.(－∞，－1)‎ B.(－1，2)‎ C.(0，2)‎ D.(1，2)‎ 解析　由图可知，f(x)的定义域为R，所以m>0.‎ 又因为x→＋∞时，f(x)>0，所以2－m>0⇒m<2.‎ 又因为f(x)是奇函数，所以x>0时，‎ f(x)＝＝，‎ 所以f(x)在(0，)上单调递增，(，＋∞)上单调递减，所以>1⇒m>1，‎ 综上，实数m的取值范围是(1，2).‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝________.‎ 解析　当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.‎ 解得a＝－，不合题意.‎ 当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎10.若函数f(x)＝loga(x>0，a>0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是________________.‎ 解析　设g(x)＝x＋－4(x>0)，‎ 又函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，‎ ‎∴x＋－4≤0必有解，故函数g(x)的最小值必须要小于等于零，又g(x)≥2－4，‎ 当且仅当x＝时，等号成立.‎ 要满足题意，需2－4≤0，解得a≤4.‎ 故实数a的取值范围是(0，1)∪(1，4].‎ 答案　(0，1)∪(1，4]‎ ‎11.(2020·郑州质量预测)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　如图，在同一平面直角坐标系内作出y＝f(x)和y＝－mx＋5的图象，直线y＝5－mx过定点A(0，5)，当直线y＝－mx＋5位于平行于x轴的位置和直线AB之间时，满足不等式f(x)≤5－mx恒成立，所以≤－m≤0，解得0≤m≤.‎ 答案　 ‎12.(2020·南昌调研)若对任意的t∈[1，2]，函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　由题意得(t＋1)2－4at2≥0对t∈[1，2]恒成立，‎ 所以4at2≤(t＋1)2对t∈[1，2]恒成立，‎ 则a≤对t∈[1，2]恒成立，‎ 设y＝，则y′＝－<0，‎ 故函数y＝在t∈[1，2]上单调递减，‎ ‎∴ymin＝＝.‎ ‎∴的最小值为，故a≤.‎ 答案　 B级　能力提升 ‎13.函数f(x)＝，若a＝f，b＝f(ln 2)，c＝f，则有(　　)‎ A.c>b>a B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析　f(x)＝＝＝1＋，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，‎ 易知x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，‎ 又∵ln 2>0，－<0，ln <0，∴b>0，a<0，c<0.‎ 又－＝－ln ，ln ＝－ln 3，且－ln >－ln 3，‎ ‎∴－>ln ，∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，‎ ‎∴fa，∴b>c>a.‎ 答案　D ‎14.已知函数f(x)＝则函数y＝f(e－x)的大致图象是(　　)‎ 解析　令g(x)＝f(e－x)，则g(x)＝ 即g(x)＝ 因此g(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，排除A，C；‎ 又ee－0>ln(e－0)＝1，排除D，因而B项成立.‎ 答案　B ‎15.若函数f(x)＝有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)‎ A.(－4，0) B.(－∞，0]‎ C.(－4，0] D.(－∞，0)‎ 解析　x>0时，x＝1为f(x)的零点，x≤0时，x＝0为f(x)的零点，故x<0时，f(x)不能再有其它零点，即方程＝kx2(x<0)无解，等价于＝kx(x<0)无解.‎ 作出y＝(x<0)，y＝kx(x<0)的图象如图.‎ 当k>0时，y＝kx与y＝相交.‎ ‎∴k≤0时，y＝kx与y＝不相交.‎ 此时f(x)仅有两个零点x＝0与x＝1.‎ 答案　B ‎16.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________.‎ 解析　依题意，g(x)＝f(x)＋x＋a＝0有两个实根，‎ ‎∴关于x的方程f(x)＝－x－a有两个实根.‎ 作出f(x)＝与y＝－x－a的图象.‎ 根据图象知，当－a≤1时，即a≥－1时，两图象有两个交点.‎ 故实数a的取值范围是[－1，＋∞).‎ 答案　[－1，＋∞)‎ C级　创新猜想 ‎17.(多选题)(2020·烟台调研)已知函数f(x)＝ln x＋ln(4－x)，则下列四个命题正确的是(　　)‎ A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，4)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象上存在两点关于点(2，0)对称 解析　f(x)＝ln x＋ln(4－x)＝ln x(4－x)‎ ‎＝ln[4－(x－2)2]，x∈(0，4).‎ 设z＝4－(x－2)2，x∈(0，4)，‎ 由于z＝4－(x－2)2在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，‎ y＝ln z在(0，＋∞)上单调递增.‎ ‎∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故A正确，B错误.‎ 又f(2＋x)＝ln(4－x2)为偶函数，其图象关于x＝0对称，f(x)由f(x＋2)的图象向右平移两个单位得到，所以f(x)的图象关于x＝2对称，故C正确.‎ 由f(2＋x)＋f(2－x)＝2ln(2－x)＋2ln(2＋x)＝0，得x＝±，‎ ‎∴f(x)的图象上存在两点(2－，0)，(2＋，0)关于点(2，0)对称，D正确.故选ACD.‎ 答案　ACD