【数学】2019届一轮复习北师大版概率、随机变量及其分布列学案 15页

专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明 第二讲 概率、随机变量及其分布列 高考导航 ‎1．考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容．‎ ‎2．综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题.‎ ‎1．(2017·济南模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )‎ A．0.8 B．0.75 ‎ C．0.6 D．0.45‎ ‎[解析] 设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝＝＝＝0.8，故选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部色和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[解析] 设正方形的边长为2，则正方形的内切圆半径为1，其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为，所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率P＝＝，故选B.‎ ‎[答案] B ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.‎ ‎[解析] 由题意知，X～B(100,0.02)，‎ ‎∴D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98‎ ‎＝1.96.‎ ‎[答案] 1.96‎ ‎4．(2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．‎ ‎(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；‎ ‎(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．‎ ‎[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，‎ 则P(M)＝＝.‎ ‎(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望是 E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.‎ 考点一 古典概型、几何概型、条件概率 ‎1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝.‎ ‎2．几何概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎3．条件概率 在A发生的条件下B发生的概率 P(B|A)＝＝.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2017·山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )‎ A. B. ‎ ‎. D. ‎[解析] 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n＝9×8＝72，抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m＝CCA＝40，所以所求概率P＝＝＝.故选C.‎ ‎[答案] C ‎2．在区间上随机取一个数x，则cosπx的值介于与之间的概率为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[解析] 区间的长度为1，满足cosπx的值介于与之间的x∈∪，区间长度为，由几何概型概率公式得P＝＝.‎ ‎[答案] D ‎3．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为________．‎ ‎[解析] 解法一：记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，‎ 事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．‎ 由题意可得P(AB)＝＝，P(A)＝＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ 解法二：记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，‎ 事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．‎ 由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6种，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎[答案] ‎4．(2017·郑州一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．‎ ‎[解析] 设银行的营业时间为x，甲去银行的时间为y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P＝＝.‎ ‎[答案] ‎ 解答几何概型、古典概型、条件概率的关键 ‎(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．‎ ‎(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．‎ ‎(3)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎(4)求条件概率时，关键弄清在哪种条件下发生的概率，以便正确使用公式求解．‎ ‎【易错提醒】 在几何概型模型中，当问题中涉及两个变量时，可以考虑构造坐标平面上的区域解决．‎ 考点二 相互独立事件与独立重复试验 概型 特点 概率求法 相互独立事件同时发生 事件互相独立 P(AB)＝P(A)P(B)(A，B相互独立)‎ 独立重复试验 一次试验重复n次 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(p为发生的概率)‎ 角度1：相互独立事件同时发生的概率问题 ‎ [思维流程] ‎ ‎(1)―→―→‎ ―→ ‎(2)―→―→ ‎[解] (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝.‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋ ＝1)＝P(Y＝0， ＝1)＋P(Y＝1， ＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P( ＝1)＋P(Y＝1)P( ＝0)‎ ‎＝×＋× ‎＝.‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ 角度2：独立重复试验概率问题 ‎[思维流程] ‎ ‎(1)―→―→ ‎(2)―→―→―→ ‎[解] 记第i名工人选择的项目属于基础设施类，‎ 民生类，产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.‎ 由题意知A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3均相互独立．‎ 则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，‎ ‎(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：‎ P1＝AP(A1B2C3)＝6×××＝.‎ ‎(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：‎ P2＝＝，‎ 由X～B，‎ 得P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望E(X)＝3×＝2.‎ ‎ 求复杂事件概率的2种方法 ‎(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．‎ ‎(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1．[角度1](2017·湖北黄冈模拟)已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止，方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．‎ ‎(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率；‎ ‎(2)首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？‎ ‎[解] (1)方案乙中所需化验次数恰为2次有两种情况：‎ ‎①先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个进行化验，则恰含有病毒的概率为×＝.‎ ‎②先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验．恰第一个样品含有病毒的概率为×＝.‎ ‎∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为＋＝.‎ ‎(3)设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能取值为1,2,3,4,5，对应的化验费为η元．‎ 则P(ξ＝1)＝P(η＝10)＝.‎ P(ξ＝2)＝P(η＝18)＝×＝.‎ P(ξ＝3)＝P(η＝24)＝××＝.‎ P(ξ＝4)＝P(η＝30)＝×××＝.‎ P(ξ＝5)＝P(η＝36)＝×××＝.‎ ‎∴η的分布列为 η ‎10‎ ‎18‎ ‎24‎ ‎30‎ ‎36‎ P 用方案甲平均需要化验费 E(η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．‎ ‎2．[角度2](2017·湖北省七市(州)高三联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.‎ ‎(1)求进入决赛的人数；‎ ‎(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人，记X表示2人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；‎ ‎(3)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．‎ ‎[解] (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，‎ ‎∴总人数为＝50.‎ 由题图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.‎ ‎(2)由题意知X的可能取值为0,1,2，∵进入决赛的概率为＝，∴X～，‎ P(X＝0)＝C×2＝，‎ P(X＝1)＝C××＝，‎ P(X＝2)＝C×2＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝2×＝，即X的数学期望为.‎ ‎(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足 设事件A为“甲比乙跳得远”，则x>y，作出可行域如图中阴影部分所示，‎ ‎∴由几何概型得P(A)＝＝，即甲比乙跳得远的概率为.‎ 考点三 随机变量的分布列、均值与方差 ‎1．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．‎ ‎2．两点分布与二项分布的均值、方差 ‎(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；‎ ‎(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．‎ ‎【例2】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．‎ ‎[思维流程] ‎ ‎(1)―→ ‎(2)―→―→―→ ‎(3)―→ ‎[解] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.‎ ‎(2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．‎ ‎ 求解随机变量分布列问题的两个关键点 ‎(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．‎ ‎(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．‎ ‎[对点训练]‎ ‎ (2017·武汉二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：‎ 投资股市：‎ 投资结果 获利40 ‎ 不赔不赚 亏损20 ‎ 概率 购买基金：‎ 投资结果 获利20 ‎ 不赔不赚 亏损10 ‎ 概率 p q ‎(1)当p＝时，求q的值；‎ ‎(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；‎ ‎(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．‎ ‎[解] (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，‎ 所以p＋＋q＝1.‎ 又因为p＝，所以q＝.‎ ‎(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，‎ 则C＝A∪B∪AB，且A，B独立．‎ 由题表可知，P(A)＝，P(B)＝p.‎ 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)‎ ‎＝·(1－p)＋p＋p ‎＝＋p.‎ 因为P(C)＝＋p>，‎ 所以p>.‎ 又因为p＋＋q＝1，q≥0，‎ 所以p≤.所以E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．‎ 热点课题22 求离散型随机变量的分布列与均值 ‎ [感悟体验]‎ ‎ (2016·甘肃张掖一诊)近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米的空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．张掖市2015年10月1日至10日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．‎ ‎(1)在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；‎ ‎(2)某游客在此期间有2天在张掖市旅游，这2天张掖市的PM2.5监测数据均未超标，请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；‎ ‎(3)从所给10天的数据中任意抽取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．‎ ‎[解] (1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，‎ P(A)＝＝.‎ ‎(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，‎ P(B)＝＝.‎ ‎(3)ξ的可能值为0,1,2,3，‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ 其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎