【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案 13页

第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3．三角公式的关系 ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定．(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ ‎(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎ (教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：选B．法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.‎ 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.‎ ‎ (教材习题改编)已知sin(α－kπ)＝(k∈Z)，则cos 2α的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选A．由sin(α－kπ)＝(k∈Z)得sin α＝±.‎ 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(±)2＝1－＝.故选A．‎ ‎ (教材习题改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos(＋α)的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选A．因为cos α＝－，α是第三象限的角，‎ 所以sin α＝－＝－ ＝－，‎ 所以cos(＋α)＝cos cos α－sin sin α＝×(－)－×(－)＝.‎ ‎ (2017·高考江苏卷)若tan＝，则tan α＝________．‎ 解析：tan α＝tan＝＝＝.‎ 答案： ‎ (教材习题改编)－＝________．‎ 解析：原式＝＝＝tan 30°＝.‎ 答案： 三角函数公式的直接应用 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)已知sin＝cos，则tan α＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 B．0‎ C． D．1‎ ‎(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝__________．‎ ‎【解析】　(1)因为sin＝cos，‎ 所以cos α－sin α＝cos α－sin α.‎ 所以cos α＝sin α.‎ 所以tan α＝＝－1，故选A．‎ ‎(2)因为α∈，tan α＝2，‎ 所以sin α＝，cos α＝，‎ 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2) 三角函数公式的应用策略 ‎(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ ‎[注意]　三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知sin α＝，α∈，则＝________．‎ 解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－.‎ 所以＝＝cos α－sin α＝－.‎ 答案：－ ‎2．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，‎ 所以cos α＝－.‎ 又α∈，所以sin α＝，‎ 所以tan α＝－.‎ 所以tan 2α＝＝＝.‎ 答案： 三角函数公式的逆用与变形应用 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)计算的值为(　　)‎ A．－ B． C． D．－ ‎(2)已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　(1)＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)由sin θ－cos θ＝－得sin＝，‎ 因为θ∈，所以0＜－θ＜，‎ 所以cos＝.‎ ＝＝＝ ‎＝2cos＝.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)D ‎(1)三角函数公式活用技巧 ‎①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．‎ ‎②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．‎ ‎(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 ‎①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．‎ ‎②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)‎ A．－ B． C． D．－ 解析：选B．由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.‎ ‎2．已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)‎ A．－ B． C． D．－ 解析：选D.由cos＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，即sin α＋cos α＝‎ eq f(4 (3),5)，所以sin＝，sin＝，‎ 所以sin＝－sin＝－.‎ 角的变换 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)‎ A． B． C．或 D．或 ‎(2)对于锐角α，若sin＝，则cos＝________．‎ ‎【解析】　(1)依题意得sin α＝＝，‎ cos(α＋β)＝±＝±.‎ 又α，β均为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，‎ cos α＞cos(α＋β)．‎ 因为＞＞－，所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)由于α为锐角，且sin＝，可得cos＝，那么cos＝cos＝coscos－sinsin＝，于是cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)－ 利用角的变换求三角函数值的策略 ‎(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎[注意]　常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan的值为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B．tan＝tan＝＝＝.‎ ‎2．若sin＝，则cos＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D． 解析：选A．cos＝cos ‎＝－cos＝－＝－.‎ ‎ 两角和、差及倍角公式的逆用和变用 ‎(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．‎ ‎(2)和差角公式变形：‎ sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，‎ cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，‎ tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)，‎ ‎(3)倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，‎ 配方变形：1±sin α＝，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.‎ ‎ 三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝，＝2×等．‎ ‎(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．　　　 ‎ ‎1.的值为(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：选B．原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝.‎ ‎2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)‎ A． B．1＋ C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)‎ 解析：选C．原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C．‎ ‎3．已知sin α＋cos α＝，则sin2(－α)＝(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B．由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，‎ 解得sin 2α＝－，‎ 所以sin2(－α)＝＝＝＝.‎ ‎4．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选C．由sin＝得 sin α－cos α＝，①‎ 由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，‎ 所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝，②‎ 由①②可得cos α＋sin α＝－，③‎ 由①③可得sin α＝.‎ ‎5．已知cos(－2x)＝－，则sin(x＋)的值为(　　)‎ A． B． C．± D．± 解析：选C．因为cos[π－(－2x)]＝cos(2x＋)＝，所以有sin2(x＋)＝(1－)＝，从而求得sin(x＋)的值为±，故选C．‎ ‎6．已知cos θ＝－，θ∈，则sin的值为________．‎ 解析：由cos θ＝－，θ∈得sin θ＝－＝－，故sin＝sin θcos－cos θsin ＝－×－×＝.‎ 答案： ‎7．已知cos＝－，则cos x＋cos＝________．‎ 解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ‎＝cos x＋sin x＝cos ‎＝×＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎8．计算＝________．‎ 解析：＝＝＝＝.‎ 答案： ‎9．已知函数f(x)＝sin，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．‎ 解：(1)f＝sin＝sin＝－.‎ ‎(2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．‎ 因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝.‎ 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，‎ cos 2θ＝cos2 θ－sin2θ＝，‎ 所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝×＝.‎ ‎10．已知α∈，且sin＋cos＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ 解：(1)因为sin＋cos＝，‎ 两边同时平方，得sin α＝.‎ 又＜α＜π，所以cos α＝－＝－.‎ ‎(2)因为＜α＜π，＜β＜π，‎ 所以－＜α－β＜.‎ 又由sin(α－β)＝－，‎ 得cos(α－β)＝.‎ 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝－×＋×＝－.‎ ‎1.－＝(　　)‎ A．4 B．2‎ C．－2 D．－4‎ 解析：选D.－＝－＝＝＝＝－4，故选D.‎ ‎2．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，‎ 则cos β＝(　　)‎ A． B． C．或－ D．或 解析：选A．因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，所以sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A．‎ ‎3.＝________．‎ 解析：原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－4.‎ 答案：－4 ‎4．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．‎ 解析：因为α为锐角，cos＝，‎ 所以sin＝，sin＝，cos＝，‎ 所以sin＝sin ‎＝×－×＝.‎ 答案： ‎5．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)的值．‎ 解：因为0<α<<β<π.‎ 所以π<π＋α<π，－<－β<0.‎ 又sin＝，‎ cos＝，‎ 所以cos＝－，sin＝－，‎ 所以cos(α＋β)＝sin＝sin ‎＝sincos－cossin＝－.‎ ‎6．已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解：(1)因为coscos＝cossin ‎＝sin＝－，‎ 所以sin＝－.‎ 因为α∈，所以2α＋∈，‎ 所以cos＝－，‎ 所以sin 2α＝sin ‎＝sincos－cossin＝.‎ ‎(2)因为α∈，所以2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－.‎ 所以tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎