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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第3节圆的方程教案

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第三节 圆的方程 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎(对应学生用书第134页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)‎ 标准 方程 ‎(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)‎ 圆心(a,b),半径r 一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ ‎(D2+E2-4F>0)‎ 圆心,‎ 半径 ‎2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:‎ ‎(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.‎ ‎(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.‎ ‎(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”).‎ ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(  )‎ ‎(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.(  )‎ ‎(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(  )‎ ‎(4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F>0.(  )‎ ‎[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系,知(1)(3)(4)正确.‎ ‎(2)中,当t≠0时,表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆,不正确.‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(  )‎ A.(x-1)2+(y-1)2=1  B.(x+1)2+(y+1)2=1‎ C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2‎ D [由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.]‎ ‎3.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(  )‎ A.-  B.- C.   D.2‎ A [圆x2+y2-2x-8y+13=0,得圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1,解得a=-.]‎ ‎4.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是(  )‎ A.-1<a<1 B.0<a<1‎ C.-1<a< D.-<a<1‎ D [由(2a)2+(a-2)2<5得-<a<1.]‎ ‎5.(教材改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为________.‎ ‎(x-2)2+y2=10 [设圆心坐标为C(a,0),‎ ‎∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上,‎ ‎∴|CA|=|CB|,即=,‎ 解得a=2,所以圆心为C(2,0),‎ 半径|CA|==,‎ ‎∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.]‎ ‎(对应学生用书第135页)‎ 圆的方程 ‎ (1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是(  )‎ A.(x-)2+(y-1)2=4‎ B.(x-)2+(y-)2=4‎ C.x2+(y-2)2=4‎ D.(x-1)2+(y-)2=4‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(  )‎ A.2       B.8‎ C.4 D.10‎ ‎(1)D (2)C [(1)设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),则有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.故选D.‎ ‎(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 则解得 ‎∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,∴M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),∴|MN|=4,故选C.]‎ ‎[规律方法] 求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.‎ (2)待定系数法:‎ ‎①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.‎ 易错警示:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2018·海口调研)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的标准方程为(  ) ‎ ‎【导学号:79140274】‎ A.(x+3)2+(y-1)2=1‎ B.(x-3)2+(y+1)2=1‎ C.(x+3)2+(y+1)2=1‎ D.(x-3)2+(y-1)2=1‎ ‎(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.‎ ‎(1)C (2)(x-2)2+y2=9 [(1)到两直线3x-4y=0和3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得所以圆M的圆心坐标为(-3,-1),又两平行线之间的距离为=2,所以圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1,故选C.‎ ‎(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,‎ 所以圆心到直线2x-y=0的距离d==,‎ 解得a=2,‎ 所以圆C的半径r=|CM|==3,‎ 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.]‎ 与圆有关的最值问题 ‎ 已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).‎ ‎(1)求|MQ|的最大值和最小值;‎ ‎(2)求的最大值和最小值.‎ ‎[解] (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,‎ 可得(x-2)2+(y-7)2=8,‎ ‎∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.‎ 又|QC|==4,‎ ‎∴|MQ|max=4+2=6,‎ ‎|MQ|min=4-2=2.‎ ‎(2)可知表示直线MQ的斜率k.‎ 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.‎ 由直线MQ与圆C有交点,所以≤2,‎ 可得2-≤k≤2+,‎ ‎∴的最大值为2+,最小值为2-.‎ ‎1.(变化结论)在本例的条件下,求y-x的最大值和最小值.‎ ‎[解] 设y-x=b,则x-y+b=0.‎ 当直线y=x+b与圆C相切时,截距b取到最值,‎ ‎∴=2,∴b=9或b=1.‎ 因此y-x的最大值为9,最小值为1.‎ ‎2.(变换条件)若本例中条件“点Q(-2,3)”改为“点Q是直线3x+4y+1=0上的动点”,其它条件不变,试求|MQ|的最小值.‎ ‎[解] ∵圆心C(2,7)到直线3x+4y+1=0上动点Q的最小值为点C到直线3x+4y+1=0的距离,‎ ‎∴|QC|min=d==7.‎ 又圆C的半径r=2,‎ ‎∴|MQ|的最小值为7-2.‎ ‎[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如μ=形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.‎ (2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.‎ (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2018·陕西质检(一))圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(  )‎ A.1+ B.2‎ C.1+ D.2+2 ‎(2)(2017·广东七校联考)圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值是(  )‎ A.2 B. C.4 D. ‎(1)A (2)D [(1)由已知得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1+,故选A.‎ ‎(2)由圆x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,∵圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,∴该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0),∴+=(a+3b)=≥=,当且仅当=,即a=b时取等号,故选D.]‎ 与圆有关的轨迹问题 ‎ 已知A(2,0) 为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. ‎ ‎【导学号:79140275】‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程;‎ ‎(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.‎ ‎[解] (1)设AP的中点为M(x,y),‎ 由中点坐标公式可知,‎ P点坐标为(2x-2,2y).‎ 因为P点在圆x2+y2=4上,‎ 所以(2x-2)2+(2y)2=4.‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x,y),‎ 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,‎ 设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,‎ 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.‎ ‎[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程求解.‎ (2)定义法:根据圆的定义列方程求解.‎ (3)几何法:利用圆的几何性质得出方程求解.‎ (4)代入法(相关点法):找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解.‎ ‎[跟踪训练] 已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C满足|AC|=|AB|,求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程.‎ ‎[解] 由题意可知:动点C的轨迹是以(-1,0)为圆心,3为半径长的圆,方程为(x+1)2+y2=9.‎ 设M(x0,y0),则由中点坐标公式可求得 C(2x0-1,2y0-4),‎ 代入点C的轨迹方程得4x+4(y0-2)2=9,‎ 化简得x+(y0-2)2=,‎ 故点M的轨迹方程为x2+(y-2)2=.‎