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- 2021-06-16 发布
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第三节 圆的方程
[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
(对应学生用书第134页)
[基础知识填充]
1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心(a,b),半径r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
(D2+E2-4F>0)
圆心,
半径
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( )
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.( )
(4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F>0.( )
[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系,知(1)(3)(4)正确.
(2)中,当t≠0时,表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆,不正确.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
D [由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.]
3.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.- B.- C. D.2
A [圆x2+y2-2x-8y+13=0,得圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1,解得a=-.]
4.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是( )
A.-1<a<1 B.0<a<1
C.-1<a< D.-<a<1
D [由(2a)2+(a-2)2<5得-<a<1.]
5.(教材改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为________.
(x-2)2+y2=10 [设圆心坐标为C(a,0),
∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上,
∴|CA|=|CB|,即=,
解得a=2,所以圆心为C(2,0),
半径|CA|==,
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.]
(对应学生用书第135页)
圆的方程
(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )
A.(x-)2+(y-1)2=4
B.(x-)2+(y-)2=4
C.x2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-)2=4
(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2 B.8
C.4 D.10
(1)D (2)C [(1)设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),则有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.故选D.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,∴M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),∴|MN|=4,故选C.]
[规律方法] 求圆的方程的两种方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
易错警示:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
[跟踪训练] (1)(2018·海口调研)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的标准方程为( )
【导学号:79140274】
A.(x+3)2+(y-1)2=1
B.(x-3)2+(y+1)2=1
C.(x+3)2+(y+1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.
(1)C (2)(x-2)2+y2=9 [(1)到两直线3x-4y=0和3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得所以圆M的圆心坐标为(-3,-1),又两平行线之间的距离为=2,所以圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1,故选C.
(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,
所以圆心到直线2x-y=0的距离d==,
解得a=2,
所以圆C的半径r=|CM|==3,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.]
与圆有关的最值问题
已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值.
[解] (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又|QC|==4,
∴|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有交点,所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
∴的最大值为2+,最小值为2-.
1.(变化结论)在本例的条件下,求y-x的最大值和最小值.
[解] 设y-x=b,则x-y+b=0.
当直线y=x+b与圆C相切时,截距b取到最值,
∴=2,∴b=9或b=1.
因此y-x的最大值为9,最小值为1.
2.(变换条件)若本例中条件“点Q(-2,3)”改为“点Q是直线3x+4y+1=0上的动点”,其它条件不变,试求|MQ|的最小值.
[解] ∵圆心C(2,7)到直线3x+4y+1=0上动点Q的最小值为点C到直线3x+4y+1=0的距离,
∴|QC|min=d==7.
又圆C的半径r=2,
∴|MQ|的最小值为7-2.
[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ=形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
[跟踪训练] (1)(2018·陕西质检(一))圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )
A.1+ B.2
C.1+ D.2+2
(2)(2017·广东七校联考)圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值是( )
A.2 B.
C.4 D.
(1)A (2)D [(1)由已知得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1+,故选A.
(2)由圆x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,∵圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,∴该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0),∴+=(a+3b)=≥=,当且仅当=,即a=b时取等号,故选D.]
与圆有关的轨迹问题
已知A(2,0) 为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q
为圆上的动点.
【导学号:79140275】
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
[解] (1)设AP的中点为M(x,y),
由中点坐标公式可知,
P点坐标为(2x-2,2y).
因为P点在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程求解.
(2)定义法:根据圆的定义列方程求解.
(3)几何法:利用圆的几何性质得出方程求解.
(4)代入法(相关点法):找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解.
[跟踪训练] 已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C满足|AC|=|AB|,求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程.
[解] 由题意可知:动点C的轨迹是以(-1,0)为圆心,3为半径长的圆,方程为(x+1)2+y2=9.
设M(x0,y0),则由中点坐标公式可求得
C(2x0-1,2y0-4),
代入点C的轨迹方程得4x+4(y0-2)2=9,
化简得x+(y0-2)2=,
故点M的轨迹方程为x2+(y-2)2=.